高校数学II 分数指数の定義—累乗根との対応から分子と分母の役割を読み分ける｜武蔵野個別指導塾

32の3/5乗を根と整数乗に分け、負の指数や同じ分数の異なる表示を、正の底という条件から読み直せます。

よくあるのは、高2の人が分数指数の分子を根の次数と読み、計算の途中で答えが合わなくなる場面です。たとえば32の3/5乗を見て、先に3乗根を取ろうとすると、分数の上下が持つ役割を逆にしています。分母が5なら、5回掛けて元の数になる正の数を探します。その後に分子の3に対応する操作を行います。数字を順に処理する前に、それぞれが何を表すかを言葉にしてみましょう。

どのような問いで使うか

分数指数には、まず値を求める問いがあります。底を同じ数の累乗に直せるときは、根を取ってから整数乗すると計算が短くなります。負の指数なら、最後に逆数を取ることも必要です。分子と分母のどちらが何を決めるのかを意識すれば、符号の処理も整理できます。

次に、同じ数を別の分数で表しても同じ値になるかを問う形があります。3/5と6/10は同じ有理数ですから、指数として使ったときに値が変わっては困ります。このことは単に約分する約束ではなく、正の累乗根の性質から確かめられます。

さらに、分数指数を含む等式から正の底を求める問いもあります。答えの候補を出すだけでなく、途中で使った根や累乗の操作が戻せることを示すと、解を取りこぼしていないと説明できます。必要な既習事項は整数の指数法則、正の数の累乗根、平方や立方の計算です。数学IIの学習範囲には指数の有理数への拡張と指数法則が含まれます。ここでは正の底について分数指数の意味を扱い、指数関数のグラフや対数の計算には進みません。

根の次数と整数乗を分けて読む

正の数aと2以上の整数nについて、n乗するとaになる正の数を、aの正のn乗根といいます。n = 2なら正の平方根、n = 3なら正の立方根です。たとえば正の数16の正の平方根は4です。x² = 16の実数解が4と-4であることと、正の平方根が4であることは別の話です。根の記号で表す√16も4であり、±4をひとまとめに表す記号ではありません。

正の底a、有理数m/nについて、mを整数、nを正の整数として、aのm/n乗を「aの正のn乗根のm乗」と定めます。n = 1のときは正の1乗根をa自身と考え、整数乗と一致させます。負の整数乗は逆数ですから、根が正で0でないことによって意味が定まります。図1のように、分母は何乗根を取るか、分子は取った後に何乗するかを示します。

図1ではaの3/5乗を、まずaの正の5乗根を取り、その結果を3乗する手順に分けています。正の数の積についての累乗根の性質から、先にaを3乗してから正の5乗根を取っても同じ値です。ただし計算しやすい順番は底によって変わります。整数乗の計算が大きくなるときは、根を先に取る方法を選ぶと見通しがよくなります。

分子が0なら、正の根の0乗なので値は1です。分子が負なら、たとえばaの-2/5乗は、aの正の5乗根の2乗の逆数です。底aが正であるため、逆数の分母が0になる心配はありません。底が0や負の場合には、この定義をそのまま当てはめず、問題の条件に戻ります。

表示を変えても値が同じになる理由も押さえましょう。m/nを、正の整数kを使ってkm/knと書き直します。aの正のn乗根をb、正のkn乗根をcとすると、cのk乗は正で、そのn乗はaです。正のn乗根は1つなので、cのk乗はbに等しくなります。したがってcのkm乗はbのm乗です。mが負の場合も、正の数の逆数として同じ関係が成り立ちます。

同じ有理数の2つの分数表示は、分母の公倍数を使って共通の表示に直せます。上の議論をそれぞれに適用すれば、約分前でも約分後でも値は一致します。この一致があるから、指数を単なる分数の書き方ではなく、有理数として扱えます。

基本例題：根を先に取る

問題　32の3/5乗の値を整数で求めてください。

底32は正なので、分数指数の定義を使えます。分母5に注目して、まず32の正の5乗根を求めます。2を5回掛けると32ですから、その根は2です。次に分子3に対応して2を3乗します。図2のように、根を取る操作と累乗する操作を分けます。

式にすると、次の順番です。

2・2・2・2・2 = 32
32の正の5乗根 = 2
32の3/5乗 = 2³
2³ = 8

答えは8です。根が2であることは、元の32へ5乗して戻ることで確かめました。さらに、結果8はその根2を3回掛けた数です。したがって、求めた数は問題の分母と分子の両方の指示を満たしています。

別の読み方では、32の3乗の正の5乗根を考えても同じ8になります。実際に8を5乗すると32768で、32を3乗した数にも等しくなります。ただし、この順番では途中の整数が大きくなります。数を小さく保てる方法を選び、別の順序は答えの確認として使うのもよいでしょう。

分母と分子を逆にして32の正の3乗根を取ってしまうと、最初の操作から別の数を求めています。元の指数3/5を見直し、5が根の次数であることを確認してください。計算が合わないときは、答えの数値だけを修正するより、最初に取った根の次数を点検すると原因を見つけやすくなります。

標準例題：負の分子と積の整理

問題　81の-3/4乗と27の2/3乗の積を、約分した分数または整数で求めてください。

81と27はいずれも正です。それぞれの分数指数に定義を使い、最後に積を計算します。81の正の4乗根は3であり、27の正の3乗根も3です。指数の分母は別々ですが、たまたま同じ根になっています。

3⁴ = 81
81の-3/4乗 = 3⁻³
3⁻³ = 1/27
3³ = 27
27の2/3乗 = 3²
3² = 9
(1/27)・9 = 1/3

答えは1/3です。負の符号は根の次数を負にするものではなく、整数乗の逆数を取る指示として読みます。4乗根を求めた後に3乗すると27になり、その逆数が1/27です。もう一方は3の2乗なので9です。

元の表現へ戻して確かめます。正の数3の4乗が81、3乗が27ですから、各々の根の選択は問題の底に合っています。求めた2つの値1/27と9を掛けると1/3です。逆数を取る位置を間違え、積全体の逆数を取ると9まで逆数にしてしまいます。負の指数が付いているのはどの底かを囲んで読むと、この混同を防げます。

別解として、各底を3の整数乗に直してから指数法則を使っても求められます。その際も底3が正であることを確認し、指数を掛け算する順番を明記してください。定義からの方法と結果が一致すれば、負の指数の符号の点検にもなります。

発展例題：正の底を逆に求める

問題　正の実数xが、xの2/3乗 = 25を満たします。xを整数で求め、正の範囲でほかに解がないことも示してください。

xは正と指定されています。xの正の3乗根をtとおくと、tも正です。分数指数の定義によって、元の等式はt² = 25と読み直せます。平方が25となる実数は5と-5ですが、tは正なので5を選びます。

t = xの正の3乗根
xの2/3乗 = t²
t² = 25
t = 5
x = t³
x = 125

答えは125です。逆向きの確認では、125の正の3乗根が5であることを5³ = 125から確かめます。その2乗は25なので、元の条件を満たします。途中で得た等式だけではなく、問題の分数指数に戻して確認することが大切です。

解がほかにないことは、置いたtが正である点から説明できます。条件を満たすxがあれば、その正の3乗根tは必ず正で、t² = 25を満たします。正の範囲でそのようなtは5に限られ、xはt³なので125に決まります。逆に125は元の条件を満たすため、候補の漏れも余分な候補もありません。

もしt = -5も使うと、tが正の根であるという置換の条件を破ります。負の底についての別の取り決めを持ち込んだ計算は、この問題の正の範囲の解法ではありません。文字を置くときは式の変化に加え、その文字が取り得る範囲を一緒に書きます。

誤答の原因を根の定義まで戻す

分数指数の誤りには、分子と分母の取り違えのほか、底の条件を落とすものがあります。次の誤った考えを点検します。

「(-8)の1/3乗を-2とし、同じ指数1/3を2/6と書き換えれば、(-8)の2/6乗も-2である」

-8の実数の3乗根として-2を考えること自体はできます。しかし、正の底に対する有理数指数の定義を負の底へそのまま広げることはできません。2/6の分母6に従うと、最初に-8の実数の6乗根が必要です。実数の偶数乗は0以上なので、そのような根は存在しません。図3のように、同じ有理数の表示で片方だけ実数の操作ができる状況が現れます。

図3の左は3乗して-8になる実数があること、右は6乗して-8になる実数がないことを示しています。したがって、正の底で証明した表示によらない定義を、負の底に無条件で適用してはいけません。実数の奇数乗根という別の話と、有理数指数を表示によらず定める話を区別します。

もう1つの誤答は、81の-3/4乗を-27とするものです。原因は、指数の負号を答えの符号に移してしまうことにあります。正しい操作は正の4乗根3の3乗を求め、27の逆数を取ることです。底が正なら、その有理数乗も正ですから、負の値が出た時点で符号を見直せます。

練習：操作と条件を自分で選ぶ

次の5問は、各問題で示した形で答えてください。根を取る前に底が正かを確認し、負の指数や置換した文字の範囲も書いてみましょう。

1. 64の5/6乗を整数で求めてください。
2. (1/243)の-2/5乗を整数で求めてください。
3. 16の3/4乗を8の2/3乗で割った値を、約分した分数または整数で求めてください。
4. 正の実数xがxの3/4乗 = 27を満たすとき、xを整数で求めてください。
5. 正の実数aがaの2/3乗 = 4を満たすとき、aとaの4/6乗をそれぞれ整数で求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 6乗根を取ってから5乗する

64は正で、2⁶ = 64です。よって正の6乗根は2です。

64の5/6乗 = 2⁵
2⁵ = 32

答えは32です。2を6乗して元の64に戻り、さらに2を5回掛けると32になるので、問題の指数の上下と合っています。5乗根を先に取る読み方とは区別してください。

2. 逆数を最後に取る

1/243は正です。1/3を5乗すると1/243ですから、正の5乗根は1/3です。

(1/3)の5乗 = 1/243
(1/243)の-2/5乗 = (1/3)⁻²
(1/3)⁻² = 1/((1/3)²)
1/((1/3)²) = 9

答えは9です。根を5乗すると問題の底に戻り、その根の2乗1/9の逆数が9です。底が1より小さくても、負の指数は同じく逆数を取る操作です。負号を答えの前に付ける操作ではありません。

3. それぞれの根を別に求める

16も8も正です。4乗して16になる正の数は2、3乗して8になる正の数も2です。それぞれの分母を見てから根を取ります。

16の3/4乗 = 2³
2³ = 8
8の2/3乗 = 2²
2² = 4
8/4 = 2

答えは2です。根2を4乗すれば16、3乗すれば8に戻ります。問題で指定された割り算も8を4で割る形に戻して、商が2であることを確かめます。後ろの値4は正なので、割り算の分母として使えます。

4. 置換後の正の範囲を使う

xの正の4乗根をuとおきます。xが正なのでuも正です。定義によってu³ = 27となり、正の実数でこれを満たすのは3です。

u = xの正の4乗根
xの3/4乗 = u³
u³ = 27
u = 3
x = u⁴
x = 81

答えは81です。81の正の4乗根は3で、その3乗は27となり、元の条件に戻ります。uの値が決まればx = u⁴も決まるので、正の範囲に別の解はありません。3乗して27になる正の数という条件で、根の選択が確定します。

5. 等しい指数の表示を照合する

aの正の3乗根をvとおくと、vは正です。定義よりv² = 4ですから、v = 2になります。

v = aの正の3乗根
aの2/3乗 = v²
v² = 4
v = 2
a = v³
a = 8

2/3 = 4/6です。aが正なので、同じ有理数の異なる表示は同じ値を表します。したがって、aの4/6乗は4です。答えはa = 8、その4/6乗は4です。

直接の確認もできます。8の正の3乗根は2で、その2乗は4です。また8の正の6乗根をwとすると、w²は正で、その3乗が8です。よってw² = 2となり、w⁴ = 4です。どちらの表示も、元の底8から出発して4に戻ることを確かめられました。

手元に残す要点

• 正の底aのm/n乗は、aの正のn乗根のm乗です。
• 分母は根の次数、分子は根に施す整数乗を表します。
• 負の整数乗は逆数で、底が正なら値も正です。
• 同じ有理数の分数表示は、正の底では同じ値になります。
• 置換では根が正である条件を保ち、元の式へ戻します。

どこで読み違えたかを見つける

答えが違ったときは、計算の最終行から直す前に、最初の根の次数を本人の言葉で説明してみてください。分母を指して「何回掛けると底になるか」と答えられるか、負の分子を見て逆数にする対象を示せるかで、迷いの位置が見えてきます。個別指導では途中の1行を隠し、次に必要な操作と、その操作を使える底の条件を口頭で確かめることもできます。

等式を解く場合には、置いた文字の正負と、答えを元の分数指数へ戻す確認まで見ます。分数の見た目が変わっても意味が変わらない理由を説明できれば、公式を暗記するだけでは見えなかった条件の役割がつながります。