高校数学II 累乗根の計算—根の次数をそろえて積と商を整理する手順を身につける｜武蔵野個別指導塾

異なる次数をそろえる積と商から、偶数根を外す際に絶対値が必要な理由まで、途中式を追って確かめます。

よくあるのは、高2の人が次数の異なる根号を見て、どちらも平方根だと考えて掛けてしまう場面です。根号の中の数を掛ける前に、小さく書かれた次数に目を向けてみましょう。平方根と立方根では、元の数に戻すために必要な掛け算の回数が違います。その違いをそろえると、積と商を同じ規則で整理できます。文字を含む式では、さらに根号の値の符号が答えを左右します。

どこをそろえる問題か

出方は大きく3つあります。1つ目は次数の異なる根の積を1つの根号にまとめる問題です。2つ目は商を同じ次数に直して整理する問題です。3つ目は文字を含む偶数根を外し、文字の符号によって答えを分ける問題です。どれも、最初に次数と被開平数を読むところから始めます。

前提になるのは、正の数の平方根・立方根と、整数の累乗、最小公倍数の考え方です。ここで扱う積と商の被開平数は正とします。文字を含む偶数根の部分では、被開平数が0になる場合も明示します。負の数の奇数根を含む一般的な計算は扱いません。

数学IIでは累乗根を用いて有理数まで指数を拡張します。ここでは指数の表記を増やすより、同じ正の値を何乗すると元の数になるかに注目します。式を変形したら、答えの候補を対応する回数だけ掛けて戻すと、次数の取り違えを見つけやすくなります。

根号の値と次数を読む

正の数aのn乗根のうち正のものを「aの正のn乗根」と呼び、ⁿ√aと書きます。nは2以上の整数です。平方根の場合は2を省き√aとします。たとえば³√aは、3乗するとaになる正の数です。偶数の次数では、方程式の正負の解と、正の値を表す根号の記号を区別します。

正の数a、bと2以上の整数nについて、同じ次数なら次の関係が成り立ちます。商ではbが0でないことも必要です。

ⁿ√a ・ ⁿ√b = ⁿ√(ab)
ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b)

理由は、左辺の正の値をn乗すると、それぞれab、a/bになるからです。正のn乗根は正の範囲で1つに決まるため、右辺と一致します。どちらの式も積や商についての関係であり、和について同じ形の規則を主張していません。

異なる次数をそろえるには、各次数の公倍数を選びます。計算が小さく済みやすいのは最小公倍数です。正のaについて、nをk倍した次数へ移すときは、被開平数もk乗します。

ⁿ√a = ⁿᵏ√(aのk乗)

左辺をnk乗するとaのk乗です。右辺も同じ正の数をnk乗して得られる値がaのk乗なので一致します。次数だけを倍にして中身をそのままにすると、元の値とは別の数になることがあります。図1のように、次数と中身を同じ倍率で変えることが要点です。

図1の上段と下段はどちらも同じ正の数を表します。次数を2倍したとき、中身は2乗です。根号の外に係数があるときは、その係数まで被開平数に入れたつもりにならず、外に残して別に計算します。

文字が偶数根の中にあるときも、根号が負にならないことが出発点です。実数xならx²は0以上であり、√(x²)は0以上です。したがって√(x²) = |x|です。xが正または0なら|x| = x、負なら|x| = -xです。根号の中を2乗して符号が消えた分を、外すときに絶対値で受け止めます。

基本例題：平方根と立方根の積

正の数√2 ・ ³√4を、1つの根号で表してください。根号の次数はできるだけ小さい整数とします。

平方根の次数は2、立方根の次数は3です。最小公倍数は6なので、図2のように両方を6乗根に直します。2を3倍したことに対応して、最初の中身は3乗します。3を2倍したことに対応して、次の中身は2乗します。

√2 = ⁶√(2³)
√2 = ⁶√8
³√4 = ⁶√(4²)
³√4 = ⁶√16
√2 ・ ³√4 = ⁶√8 ・ ⁶√16
√2 ・ ³√4 = ⁶√128
√2 ・ ³√4 = ⁶√(2⁶ ・ 2)
√2 ・ ³√4 = 2⁶√2

最後の2⁶√2は、2と⁶√2の積です。図2では共通の次数へ直してから被開平数を掛けています。最終形の次数を小さくできるかも見ます。2⁶√2の6乗は2⁶ ・ 2 = 128です。被開平数を正の整数、根号の外の係数も正の整数として、次数を最小にします。元の数は2の7/6乗です。これを整数係数cと整数を中身とするk乗根の積で表せるなら、k乗した値cのk乗と被開平数の積も整数となるため、2の(7k/6)乗が整数でなければなりません。したがって7k/6は整数である必要があります。7と6は互いに素なのでkは6の倍数となり、最小次数は6です。

元の積を6乗しても、(√2)の6乗は8、(³√4)の6乗は16なので128です。両方とも正ですから、元の積と答えは一致します。根号をまとめた後にも、外に出せる完全な6乗がないか調べると整理が進みます。

標準例題：商をまとめて外へ出す

⁴√48 / √3を計算し、根号の中に4乗できる整数の因数を残さない形で表してください。

分母の√3は正であり、0ではありません。次数4と2の最小公倍数は4です。分母を4乗根に直してから割ります。

√3 = ⁴√(3²)
√3 = ⁴√9
⁴√48 / √3 = ⁴√48 / ⁴√9
⁴√48 / √3 = ⁴√(48/9)
⁴√48 / √3 = ⁴√(16/3)
⁴√48 / √3 = 2⁴√(1/3)

16は2の4乗なので、正の4乗根から2が出ます。答えの根号内は1/3です。分母に根号がない形を求められた場合には、⁴√(1/3) = ⁴√27 / 3とも書けます。今回は根号内に整数の4乗因数を残さない形を指定しているので、2⁴√(1/3)で十分です。

確かめると、元の商を4乗した値は48/9 = 16/3です。答えを4乗した値も16/3です。元の商も答えも正なので一致します。分母の次数を直すとき、3をそのまま残して⁴√3とする失敗には注意してください。それを4乗すると3であり、元の√3を4乗した9とは異なります。

発展例題：文字の符号を残す

実数xについて、√(x²) ・ ⁴√(x⁴)を、根号を使わずに表してください。またxの符号で場合分けした形も示してください。

被開平数x²とx⁴はどちらも0以上です。x = 0でも根号は定義され、積は0です。x ≠ 0なら、|x|は正で、その2乗はx²、その4乗はx⁴です。根号の値は0以上なので、x = 0も含めて次のようになります。

√(x²) = |x|
⁴√(x⁴) = |x|
√(x²) ・ ⁴√(x⁴) = |x| ・ |x|
√(x²) ・ ⁴√(x⁴) = x²

したがって答えはx²です。途中を場合分けしても同じ結論に着きます。

x ≧ 0 のとき　|x| ・ |x| = x ・ x = x²
x < 0 のとき　|x| ・ |x| = (-x) ・ (-x) = x²

各根号をxと決めてしまうと、積の最終結果が偶然x²になっても、途中式はx < 0で誤りです。たとえばx = -2では元の2つの根号はどちらも2で、積は4です。各根号を-2とする読みは元の根号の値と一致しません。x = 0では両方とも0なので、端の値も答えに含まれます。

別の考え方として、最初の根号を4乗根に直せます。√(x²) = ⁴√(x⁴)であるため、積は⁴√(x⁸)です。ここから外す際も⁴√(x⁸) = |x²| = x²と、偶数根が0以上であることを確認します。積の答えが正しいかに加え、途中の各式が元の値を保っているかが判断の分かれ目です。

和と積を混同したときの直し方

次の式は誤りです。

√9 + √16 = √25 = 5

左辺を先に計算すると3 + 4 = 7です。右辺は5なので一致しません。原因は、積についての規則を和へ移したことです。図3のように、足し算の両項はそれぞれ根号を外してから足します。

√9 + √16 = 3 + 4
√9 + √16 = 7

図3の下段は別々に計算した値です。一方、同じ根号を含む項なら、係数の和としてまとめられます。たとえば2√7 + 5√7 = 7√7です。共通する√7を1つの数と見て分配法則を使っています。中身の和を根号に入れたわけではありません。

もう1つの誤りは√(x²) = xと条件なしに書くことです。x = -3を入れると左辺は3、右辺は-3です。正しい式は√(x²) = |x|で、xの符号を指定された場合に限って絶対値を外します。反例で誤りを発見した後、元の根号が0以上という定義に戻れば修正できます。

手を動かす5問

各問で実数の範囲を考え、指定された形で答えてください。根号の和は項ごとに扱い、文字の条件は途中にも残してください。

1. ³√5 ・ ⁶√25を、根号の次数をできるだけ小さくした形で表してください。
2. ⁶√729 / ³√27を、根号を使わない整数で表してください。
3. √75 − 2√12を、根号内に平方数の因数を残さない形で表してください。
4. 実数tについて、√(t²) + tを絶対値を使わず、tの範囲ごとに表してください。
5. 正の数⁴√8 ・ ⁶√32を、根号の次数をできるだけ小さくし、外に出せる整数因数を出した形で表してください。

答えとたどり方

1

次数3と6の最小公倍数は6です。2つの数は正なので積の規則を使えます。

³√5 ・ ⁶√25 = ⁶√25 ・ ⁶√25
³√5 ・ ⁶√25 = ⁶√625
³√5 ・ ⁶√25 = ⁶√(5⁴)
³√5 ・ ⁶√25 = ³√(5²)
³√5 ・ ⁶√25 = ³√25

最後の等号は両辺が正で、3乗すると25になることから確かめられます。元の積を3乗しても5 ・ √25 = 25です。平方根にするには、その候補の6乗が5の4乗になる必要がありますが、平方根の中を整数とすると素因数5の指数が合いません。整数の根号内を用いる形では3が最小です。

2

729 = 3⁶、27 = 3³であり、分母は正です。

⁶√729 / ³√27 = 3 / 3
⁶√729 / ³√27 = 1

答えの1に分母の³√27 = 3を掛けると、分子の⁶√729 = 3に戻ります。根号を外す前に分母が0でないことも確かめています。

3

それぞれの被開平数から平方数を取り出します。引き算を根号の中に移す必要はありません。

√75 - 2√12 = √(25 ・ 3) - 2√(4 ・ 3)
√75 - 2√12 = 5√3 - 2 ・ 2√3
√75 - 2√12 = 5√3 - 4√3
√75 - 2√12 = √3

逆に√75 = 5√3、2√12 = 4√3なので、元の差は√3に戻ります。係数を引くのは、同じ√3が残った後です。

4

√(t²) = |t|を先に使います。0はどちらの境界にもなりますが、一方に重複なく入れて書きます。

t ≧ 0 のとき　|t| + t = 2t
t < 0 のとき　|t| + t = -t + t = 0

たとえばt = 2では元の式は2 + 2 = 4、t = -2では2 − 2 = 0です。t = 0でも元の式と答えは0です。負の場合に根号自体を負と読んでいないかを確認します。

5

次数4と6を12にそろえます。被開平数は正なので、積をまとめられます。

⁴√8 ・ ⁶√32 = ¹²√(8³) ・ ¹²√(32²)
⁴√8 ・ ⁶√32 = ¹²√(2⁹ ・ 2¹⁰)
⁴√8 ・ ⁶√32 = ¹²√(2¹⁹)
⁴√8 ・ ⁶√32 = 2¹²√(2⁷)

最後の式は2と12乗根の積です。元の積の12乗は8³ ・ 32² = 2¹⁹で、答えの12乗も同じです。両者が正であるため値も一致します。整数を根号の外に出した上で次数を小さくするには、19と12に共通の約数が必要ですが、共通する正の約数は1です。よって次数12はこれ以上小さくできません。

計算の要点

• 積と商は、正の被開平数で同じ次数にしてからまとめます。
• 次数をk倍すると、被開平数をk乗します。
• 偶数根の値は0以上なので、√(x²) = |x|です。
• 根号の和を被開平数の和へ移す規則はありません。
• 答えを元の次数で累乗し、符号も合わせて確かめます。

途中式から見えるつまずき

個別指導で確かめたいのは、正答を書けたかに加え、どの行で何をそろえたかを自分の言葉で説明できるかです。次数だけを変えた行があれば、その前後を共通の次数で累乗して比べます。文字の問題では負の値と0を入れ、根号が表す値と途中式を別々に照合します。

和の誤りが出た場合は、積の規則を言い直してから、各項を外して足す順序を確認します。最後の答えが偶然合う場合にも、途中の根号が負になっていないかを見ると、別の問題での誤りを防げます。次数と符号を一行ずつ守ることが、累乗根の計算を支えます。