高校数学C 平面ベクトルの成分—座標の差を成分にして長さを計算する｜武蔵野個別指導塾

終点と始点の差、成分の演算、長さと零ベクトルの扱いを例題でたどり、向きの判定に平面ベクトルの成分を使います。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、2点を結ぶベクトルの成分を出すときに、終点から始点を引く順序を逆にする場面です。長さは符号を逆にしても同じなので、最後の数値が合っていても向きの間違いが残ります。矢印がどこからどこへ進むかを先に決め、横と縦の変化を別々に追いましょう。成分の計算から長さ、同じ向きの単位ベクトルまでを扱います。

座標の問題で見たい3つの型

1つ目は、2点の座標から矢印の成分を求める型です。始点の座標を終点の座標から引きます。負の数を引くと符号が変わるため、各座標をかっこに入れると途中の誤りを見つけやすくなります。逆向きの矢印なら2つの成分がともに逆符号です。

2つ目は、与えられたベクトルの和や実数倍を成分ごとに計算する型です。横の成分同士、縦の成分同士を合わせます。文字を含む場合も同じですが、分配した係数と符号を各成分に残すことが必要です。順序を取り違えた差は、求める矢印と逆向きになります。

3つ目は、大きさや単位ベクトルを求める型です。大きさは成分を2乗して足し、その平方根を取ります。向きが指定された単位ベクトルは、元のベクトルをその大きさで割ります。ただし、零ベクトルは大きさが0なので、この方法で割ることはできず、向きも定まりません。問題が条件を満たすかを先に見ます。

横と縦の変化を一組にする

点Aの座標を (a, b)、点Bの座標を (c, d) とします。AからBへのベクトルをここでは AB⃗ と書きます。横の変化は c − a、縦の変化は d − b なので、AB⃗ = (c − a, d − b) です。座標の数字そのものを並べるのではなく、出発点からの変化を並べています。

図1のように、横方向と縦方向の移動をつなぐと、斜めの矢印と同じ始点と終点になります。右向きと上向きを正とすれば、左向きや下向きの移動は負の成分です。どちらかの移動がないとき、その成分は0です。両方が0なら始点と終点は一致し、零ベクトルになります。

A(1, 1) から B(4, 3) への移動は右に3、上に2なので、AB⃗ = (3, 2) です。逆向きの BA⃗ は左に3、下に2なので (-3, -2) です。始点に成分を加えて終点に戻るかを試すと、順序も符号も点検できます。

成分が u = (p, q)、v = (r, s) のとき、u + v = (p + r, q + s)、u − v = (p − r, q − s) です。実数 t に対して tu = (tp, tq) となります。正の t は向きを保ち、負の t は向きを逆にします。t = 0 なら結果は零ベクトルです。成分の順番は常に横、縦の順にそろえます。

u の大きさは |u| = √(p² + q²) です。横と縦の移動を直角をはさむ2辺と見ると、斜めの長さに三平方の関係を使えます。成分に負の数があっても、2乗してから足すため長さは負になりません。u が零ベクトルでなければ、u / |u| は長さ1で u と同じ向きです。逆向きの単位ベクトルはその符号を両方変えたものです。

成分を使うと、座標が与えられていない矢印の計算も整理できます。たとえば (1, -2) に (3, 1) を加えると (4, -1) です。横は右へ1と右へ3を合わせて右へ4、縦は下へ2と上へ1を合わせて下へ1です。矢印を頭と尾でつないで考えると、成分ごとの加算が移動の合計に対応します。引き算なら、引くベクトルの向きを逆にして足します。

成分の大きさと、ベクトルの大きさも区別します。(3, -4) の縦の成分は -4 ですが、ベクトルの大きさは √(3² + (-4)²) = 5 です。各成分の符号は方向を表し、全体の大きさは距離を表します。成分を単純に足した -1 は長さではありません。2乗の前に負の成分をかっこで囲むと、符号の扱いを追えます。

単位ベクトルを作るときには、成分それぞれを別の数で割らず、2成分を同じ大きさで割ります。たとえば (3, -4) なら (3/5, -4/5) です。成分の比が保たれるため元と同じ向きです。長さ1のベクトルはほかにもありますから、長さの確認だけでなく、元のベクトルとの向きも条件に含めます。

基本例題：矢印から長さと向きを求める

点P(-2, 1)、Q(2, 4) があります。PからQへのベクトルの成分、大きさ、および同じ向きの単位ベクトルを求めてください。成分は整数の組、大きさは整数、単位ベクトルの成分は既約分数で答えます。座標の1目盛りを長さ1とします。

図2のように、まずPを始点、Qを終点と決めます。横の変化は終点の2から始点の-2を引きます。負の数を引くため、次のようになります。

横の成分 = 2 − (-2) = 2 + 2 = 4

縦の成分 = 4 − 1 = 3

したがって PQ⃗ = (4, 3) です。始点にこの成分を加えると (-2 + 4, 1 + 3) = (2, 4) となり、与えられたQに戻ります。もし (-4, -3) を得たなら、逆向きの QP⃗ を計算しています。

図2では横4、縦3が直角をはさむ辺です。長さの2乗は 4² + 3² = 16 + 9 = 25 です。長さは負にならないので、PQ⃗ の大きさは √25 = 5 です。2乗した結果の25をそのまま長さとせず、平方根を取ります。

同じ向きの単位ベクトルを e とすると、e = (4, 3) / 5 = (4/5, 3/5) です。5は正なので、割っても向きは変わりません。実際に e の長さは √((4/5)² + (3/5)²) = √(16/25 + 9/25) = √1 = 1 です。また 5e = (4, 3) なので、元の矢印の成分に戻ります。長さが1であることと、向きが合うことの両方を確かめられます。

条件が変わるときの分かれ目

u = (2, -1)、v = (-1, 2) とし、w = u + tv とします。実数 t について、w の大きさが √10 となる t を求め、各 t に対する w と、その向きの単位ベクトルを求めてください。t、w、単位ベクトルの各成分は根号を使って正確に表します。

まず成分ごとに計算します。tv = (-t, 2t) なので、w = (2 − t, -1 + 2t) です。ここで成分を足す前に大きさを足してはいけません。向きの異なる矢印を合わせるとき、合成後の長さは、それぞれの長さの和とは限らないからです。

長さの条件は √((2 − t)² + (-1 + 2t)²) = √10 です。両辺は0以上なので、2乗しても条件は同値です。展開して整理すると、

(2 − t)² + (-1 + 2t)² = 10

4 − 4t + t² + 1 − 4t + 4t² = 10

5t² − 8t − 5 = 0

となります。2つの解をそれぞれ成分に代入し、向きの異なる結果を区別します。

5t² − 8t − 5 = 0 より、t = (4 + √41)/5 または (4 − √41)/5 です。各値を w に代入すると、順に w = ((6 − √41)/5, (3 + 2√41)/5)、((6 + √41)/5, (3 − 2√41)/5) です。単位ベクトルはそれぞれの組の各成分を √10 で割ったものです。

この2つの w は、元の式 w = u + tv に各 t を戻して得られます。また 5t² − 8t − 5 = 0 を使うと、成分の2乗の和は 5t² − 8t + 5 = 10 です。したがって長さは確かに √10 です。分母は0ではないので単位ベクトルも定まります。長さの指定が0の場合は、成分が両方0になるかを調べ、単位ベクトルを作れると決めつけないことが分かれ目です。

この例では2つの t が出るので、一方だけを代入して終わらないようにします。どちらも2乗後の式から得た値ですが、元の長さの式の左辺と右辺はともに0以上なので、2乗による余分な解は生じません。それでも最後に各成分の2乗の和を調べると、代入や符号の計算まで点検できます。

長さを指定する条件は、向きを指定する条件とは異なります。同じ大きさのベクトルには異なる向きがあり、t の値が複数あることもあります。反対に、成分の2乗の和が負になる条件なら実数の t には解がありません。平方根を取る前に、長さが負でないという前提を確認することが、解の有無を判断する手がかりです。

逆向きの答えを直す

基本例題で PQ⃗ を (-4, -3) とした誤答を考えます。これは始点から終点を引いた結果で、QからPへの移動です。図3のように、矢印の頭がPに来てしまいます。大きさを計算すると √((-4)² + (-3)²) = 5 なので、長さだけでは誤りが見えません。

修正するときは、Pの座標に誤答を加えてみます。(-2, 1) + (-4, -3) = (-6, -2) となり、Q(2, 4) に着きません。両成分の符号を直した (4, 3) を加えるとQに着きます。PQ⃗ と QP⃗ の大きさはいずれも5ですが、向きが逆なので、成分は (4, 3) と (-4, -3) に分かれます。

単位ベクトルでも、長さ1の確認だけでは向きを判定できません。(-4/5, -3/5) の長さも1ですが、PQ⃗ と反対向きです。正の数5を掛けて (4, 3) に戻るかを調べれば、求める向きかどうかも確認できます。

別の誤りとして、成分が (0, 0) なのに大きさ0で割って単位ベクトルを作ろうとする場合があります。0で割る計算は定義されず、零ベクトルには特定の向きがありません。先に大きさを求め、0なら指定された向きの単位ベクトルは存在しないと答えます。

練習：成分から条件へ戻る

次の3問は互いに独立です。成分は順に横、縦を表します。答えは各問の指定に従ってください。

1. 点A(3, -2)、B(-2, 10) について、AB⃗ の成分、大きさ、同じ向きの単位ベクトルを求めてください。成分と大きさは整数、単位ベクトルの成分は既約分数で答えます。
2. a = (-3, 4)、b = (2, 1) とします。2a − 3b の成分と大きさを求めてください。成分は整数の組、大きさは根号を使って正確に答えます。
3. 点C(6, -3) から点Dに向かうベクトルが (-2, 5) です。Dの座標と、DC⃗ と同じ向きの単位ベクトルを求めてください。座標は整数の組、単位ベクトルは根号を使って正確に答えます。

解答とたどり直し

1. 終点Bから始点Aを引くと、AB⃗ = (-2 − 3, 10 − (-2)) = (-5, 12) です。大きさは √(25 + 144) = 13 なので、求める単位ベクトルは (-5/13, 12/13) です。Aに (-5, 12) を加えるとBに戻り、単位ベクトルに13を掛けると元の成分に戻ります。長さも √(25/169 + 144/169) = 1 です。

2. 2a = (-6, 8)、3b = (6, 3) ですから、2a − 3b = (-6 − 6, 8 − 3) = (-12, 5) です。大きさは √(144 + 25) = 13 です。答えに3bを加えると (-12, 5) + (6, 3) = (-6, 8) = 2a となり、与えられた演算に戻ります。引く対象の両成分に負号を付けることが要点です。

3. Cからの変化を足して D = (6 − 2, -3 + 5) = (4, 2) です。逆向きの DC⃗ = (6 − 4, -3 − 2) = (2, -5)、その大きさは √(4 + 25) = √29 です。求める単位ベクトルは (2/√29, -5/√29) です。Dに (2, -5) を加えるとCに戻り、この単位ベクトルに正の √29 を掛けると DC⃗ に戻ります。成分の2乗の和は 4/29 + 25/29 = 1 です。

手元に残す要点

• 成分は終点の座標から始点の座標を引きます。
• 和、差、実数倍は横と縦を別々に計算します。
• 大きさは成分の2乗の和の平方根です。
• 零でないベクトルは大きさで割ると同じ向きの単位ベクトルになります。
• 求めた成分を始点に足し、終点へ戻るかを見ます。

どこで止まったかを見分ける

成分の2つとも符号が逆なら、始点と終点を取り違えていないかを矢印に戻って確かめます。片方だけ違う場合は、横と縦の引き算を紙面で別々の行に分け、負の座標にかっこを付けた式を見直します。長さだけが違う場合は、2乗の和と平方根のどちらで止まったかを区別します。

個別指導で確かめるなら、生徒が書いた座標差の各行に始点と終点の印を付け、成分を始点に加えたときに終点に着くかを本人の手で座標を順に足して試します。単位ベクトルは長さ1に加え、正の大きさを掛けて元の成分に戻るかまで確認します。矢印の向きは、計算した成分を座標に戻すと見えてきます。