高校数学III 曲線と軸の間の面積—符号を調べて定積分から図形の広さを求める｜武蔵野個別指導塾

対数曲線の零点で区間を分け、軸の下側も正の広さとして数える手順から、曲線と軸の面積を読み解きます。

よくあるのは、理系の高3が演習で対数曲線とx軸の間を塗り、軸より下の部分を負の面積として答える場面です。原始関数の計算が合っていても、定積分の値と図形の広さを取り違えると、求める量は変わります。曲線が軸を横切るときには、両側を打ち消すか、両方の広さを足すかを問題文から選びます。

要点（結論から）

• 対数の真数が正で、指定された閉区間で関数が連続か確かめます。
• 零点のうち区間内にあるものを並べ、各区間の符号を調べます。
• 軸より下では縦の長さを関数値の負にして積分します。

何を境に領域を数えるか

曲線とx軸に加え、左右を縦の直線で区切った領域を考えます。求めたいのは、指定された区間で曲線と軸に挟まれる部分の広さです。曲線が軸の上にある区間では高さは関数の値、下にある区間ではその値に負号を付けたものです。高さに向きを付けて足す定積分と、負にならない広さを足す面積は、目的が異なります。

問題の形は主に3つあります。曲線が区間全体で軸の片側にある場合、軸を1回横切る場合、零点の位置によって区間を分ける必要がある場合です。どの場合も、まず式が区間で定義され連続かを確認します。特に対数では真数が正であることが出発点です。次に零点を求め、区間の中にあるかを調べます。計算に入る前に、この順番で図と式の対象をそろえます。

例えば軸より下にある部分の定積分が -2 なら、その部分の面積は 2 です。これを上側の面積 3 に加えれば全体は 5 ですが、符号付き積分の和は 1 です。数の差は計算の誤差ではなく、何を足したかの差です。問題が定積分の値を尋ねる場合には、面積に直してはいけません。

縦の切り口と符号

閉区間 a ≦ x ≦ b で連続な関数 y = f(x) を考えます。曲線、x軸、直線 x = a、x = b で挟まれる部分の面積は、縦の切り口の長さ |f(x)| を区間で積分した S = ∫[a→b] |f(x)| dx です。端点で曲線が軸と交わる場合、対応する縦の境界は長さ0になってもかまいません。連続性により、この有限区間で面積を定積分として扱えます。

図1のように、軸の上では切り口の長さが f(x)、下では -f(x) です。軸から曲線までの距離なので、下側でも長さは負になりません。図では左の領域が下、右の領域が上です。零点 c で分けて S = -∫[a→c] f(x) dx + ∫[c→b] f(x) dx と書けます。

零点を見つけても、それが区間内にあるとは限りません。外にある点で分ける必要はなく、端点と一致する場合も零点を境に区間の内部で符号が変わるとは限りません。零点が複数ある式なら、各零点を小さい順に並べ、それぞれの区間の符号を調べます。零点の間で連続な関数は、途中で符号を変えるならその間に零点を持つため、零点を漏らしていなければ各区間の代表点で符号を確認できます。

なお、∫[a→b] |f(x)| dx と |∫[a→b] f(x) dx| は一般には異なります。後者は正負を打ち消してから絶対値を取るためです。曲線が区間を通して軸の同じ側にある場合には一致しますが、横切って両側に広さがある場合には一致しません。図を描くときは、曲線の概形だけでなく、指定された縦の境界まで塗ることが必要です。

基本例題：対数曲線の下側を数える

問題。曲線 y = log x、x軸、直線 x = 1/e、x = e で囲まれる部分の面積を、e を用いた厳密な式で求めてください。ここで log は自然対数です。

まず 1/e ≦ x ≦ e では x > 0 なので、log x は閉区間で連続です。log x = 0 の解は x = 1 で、これは区間の内部にあります。log x は増加するため、1/e ≦ x < 1 では負、1 < x ≦ e では正です。図2のように、左側の広さと右側の広さを別々に求めて足します。

log x の原始関数は x log x − x です。実際に微分すると log x + 1 − 1 = log x となります。面積の式では左側だけに負号を付けます。

S = -∫[1/e→1] log x dx + ∫[1→e] log x dx
  = -[x log x - x] の 1/e から 1 までの差
    + [x log x - x] の 1 から e までの差
  = -{(-1) - (-2/e)} + {0 - (-1)}
  = 1 - 2/e + 1
  = 2 - 2/e

左の広さは 1 − 2/e、右の広さは 1 です。e > 2 なので左も正です。元の条件に戻ると、両領域は x = 1 で接し、1/e から e までを重複なく埋めます。求めた和はそれぞれの広さより大きく、下側を引いていないことも確認できます。

区間全体の符号付き積分は 2/e です。これは正負を相殺した値であり、上の答えとは別です。下側で切り口が軸から下に伸びることを、式の負号と結びつけて読むと区別できます。端点の値 log(1/e) = -1 と log e = 1 は図の高さを確認する材料にもなります。

標準例題：指数曲線が軸を横切る

問題。曲線 y = eˣ − 2、x軸、直線 x = 0、x = log 4 で囲まれる部分の面積を、自然対数を用いた厳密な式で求めてください。

指数関数は指定された閉区間で連続です。軸との交点は eˣ − 2 = 0 から x = log 2 です。0 < log 2 < log 4 なので区間の内部で分けます。eˣ は増加するため、その左で曲線は負、右で正です。

原始関数を F(x) = eˣ − 2x とおきます。微分して F′(x) = eˣ − 2 なので、各端点の差を使えます。必要な値を先にそろえると、F(0) = 1、F(log 2) = 2 − 2 log 2、F(log 4) = 4 − 2 log 4 です。

S = -∫[0→log 2] (eˣ - 2) dx + ∫[log 2→log 4] (eˣ - 2) dx
  = F(0) - F(log 2) + F(log 4) - F(log 2)
  = 1 - (2 - 2 log 2) + (4 - 4 log 2) - (2 - 2 log 2)
  = 1

左の広さは 2 log 2 − 1、右の広さは 2 − 2 log 2 です。両者を足して 1 になります。交点に x = log 2 を戻すと eˣ − 2 = 0 であり、両方の切り口がそこで長さ0になります。左右の領域が境界以外で重ならないことも図形に戻した確認です。

この問題では置換 t = eˣ とする方法もありますが、元の式の原始関数がすぐに書けるため、ここでは x のまま計算しました。対数の性質 log 4 = 2 log 2 は端点の値をまとめる段階で使っています。零点を求める前に積分区間を半分に分けても、等しい幅が等しい面積を意味するわけではありません。

発展例題：零点を2つ持つ対数式

問題。曲線 y = (log x)² − 1、x軸、直線 x = 1/e²、x = e² で囲まれる部分の面積を e を用いた厳密な式で求めてください。

指定区間は正の数からなる閉区間で、関数は連続です。零点は (log x)² = 1 から log x = -1 または 1、すなわち x = 1/e、e です。どちらも区間の内部にあります。log x が増加することから、両零点の外側で式は正、その間で負です。対数の値を二乗する前に、-1 と 1 の両方を考える点が重要です。

原始関数を求めます。微分して確かめられるように、次の形を用います。

F(x) = x{(log x)² - 2 log x + 1}
F′(x) = (log x)² - 2 log x + 1 + 2 log x - 2
      = (log x)² - 1

端点と零点での値は順に F(1/e²) = 9/e²、F(1/e) = 4/e、F(e) = 0、F(e²) = e² です。各区間の符号を反映すると、次のようになります。

S = ∫[1/e²→1/e] ((log x)² - 1) dx
    - ∫[1/e→e] ((log x)² - 1) dx
    + ∫[e→e²] ((log x)² - 1) dx
  = (4/e - 9/e²) - (0 - 4/e) + (e² - 0)
  = e² + 8/e - 9/e²

3つの項は順に左、中央、右の広さです。零点へ元の式を代入するといずれも0となり、符号は例えば x = 1/e²、1、e² でそれぞれ正、負、正と確かめられます。3区間の内部は重ならず、指定区間を過不足なく覆います。面積の式はこの分割に対応しています。

別の方法として t = log x と置けば区間は -2 から 2 に変わります。ただし dx = eᵗ dt も必要で、被積分関数は (t² − 1)eᵗ です。t の区間が原点について対称でも eᵗ があるので左右の面積は等しいとは限りません。元の変数で原始関数を確認できる場合には、上のように端点の代入で進める方が分割との対応を追いやすくなります。

誤答を図から直す

基本例題で、区間を分けずに ∫[1/e→e] log x dx = 2/e と計算し、これを面積とする誤答を考えます。積分の計算自体は正しくても、図3のように下側が負として加わるため、両側の広さの和にはなりません。符号付き積分は右側の広さから左側の広さを引いた値です。

直すには、まず log x = 0 を解き、x = 1 が指定区間に入ると確認します。次に 1/e < x < 1 で log x < 0 と判定し、その区間の定積分に負号を付けます。右側は正のまま足せば、広さ 2 − 2/e に戻ります。最後に二つの部分がともに非負であることを確認します。

別の誤りとして、区間全体の定積分の絶対値を面積とする方法があります。基本例題では |2/e| = 2/e のままなので、下側の広さは復元されません。絶対値は足し合わせる前の高さに付けます。また、対数の定義域を確認せず負の x に領域を描くこともできません。描く前に端点と真数の条件を調べれば、その失敗を避けられます。

零点を解いた後にも見落としがあります。例えば方程式の解が指定区間の外にあるのに、その点まで面積を広げてしまうと、別の領域を数えます。指定された縦線を先に引き、その間にある零点だけを分割に使ってください。零点が端点なら、端点から先の符号は指定された面積に影響しません。

練習問題

各問の log は自然対数です。面積は e と自然対数を用いた厳密な式で答えてください。各曲線とx軸に加え、指定された2本の縦線で囲まれる部分を対象とします。

1. y = log x、x = 1、x = e³ の間の面積を求めてください。
2. y = log x、x = 1/e³、x = 1 の間の面積を求めてください。
3. y = eˣ − 3、x = 0、x = log 6 の間の面積を求めてください。
4. y = 2 − log x、x = e、x = e³ の間の面積を求めてください。
5. y = (log x)² − 4、x = 1、x = e³ の間の面積を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 指定区間は正の閉区間で、log x は連続かつ非負です。原始関数 F(x) = x log x − x を用います。

S = ∫[1→e³] log x dx
  = (3e³ - e³) - (0 - 1)
  = 2e³ + 1

左端では高さ0、右端では高さ3です。途中に零点はないため、定積分全体がそのまま広さになります。端点を戻しても log 1 = 0、log e³ = 3 で、描いた領域の向きと一致します。

2. 区間内では log x ≦ 0 なので、切り口の長さは -log x です。連続性と正の定義域を確認してから積分します。

S = -∫[1/e³→1] log x dx
  = -{(-1) - (-4/e³)}
  = 1 - 4/e³

左端の高さは -3、右端は0です。曲線は下側にあるので、定積分は負ですが面積は正です。求めた値は下側の広さを正にした結果で、端点の符号と合います。

3. eˣ − 3 = 0 の解は x = log 3 です。0 < log 3 < log 6 で、左側は負、右側は正です。F(x) = eˣ − 3x とします。

S = -∫[0→log 3] (eˣ - 3) dx + ∫[log 3→log 6] (eˣ - 3) dx
  = F(0) - F(log 3) + F(log 6) - F(log 3)
  = 1 - (3 - 3 log 3) + (6 - 3 log 6) - (3 - 3 log 3)
  = 1 + 6 log 3 - 3 log 6

交点に戻すと eˡᵒᵍ ³ − 3 = 0 です。端点ではそれぞれ -2、3 なので、正負の分割も元の条件と一致します。両側の広さを足しているため結果は正です。

4. 零点は log x = 2、すなわち x = e² です。指定区間に入り、左側は正、右側は負です。原始関数を F(x) = 3x − x log x とすると F′(x) = 2 − log x です。

S = ∫[e→e²] (2 - log x) dx - ∫[e²→e³] (2 - log x) dx
  = (e² - 2e) - (0 - e²)
  = 2e² - 2e

両端の高さは順に 1、-1、零点の高さは0です。縦線の間を零点で分けると、上側と下側を重複なく数えられます。

5. (log x)² − 4 = 0 から正の定義域での零点は 1/e² と e² です。指定区間 1 ≦ x ≦ e³ に入るのは e² で、左側は負、右側は正です。もう一方の零点を区間外まで面積を広げる理由にしてはいけません。原始関数は F(x) = x{(log x)² − 2 log x − 2} です。

S = -∫[1→e²] ((log x)² - 4) dx + ∫[e²→e³] ((log x)² - 4) dx
  = -{(-2e²) - (-2)} + (e³ - (-2e²))
  = e³ + 4e² - 2

F を微分すると (log x)² − 4 に戻ります。元の関数は x = 1 で -4、x = e² で0、x = e³ で5です。したがって分割した2つの領域の符号と端点の位置が問題文の条件に合います。

要点を手元に残す

• 対数の真数が正で、指定された閉区間で関数が連続か確かめます。
• 零点のうち区間内にあるものを並べ、各区間の符号を調べます。
• 軸より下では縦の長さを関数値の負にして積分します。
• 各部分の非負の広さを足し、境界と端点を問題に戻して照合します。

つまずいた場所を見つける

式が負になったときは、まず原始関数の計算を直す前に、求めたものが定積分か面積かを説明してみてください。図のどの部分がどの積分に対応するかを線で結べれば、負号の役割が見えます。零点の計算で止まる場合には、定義域、方程式の解、区間内外を順に書き出すと原因を分けられます。

個別指導で確かめるなら、答案の符号表、塗った領域、各積分の端点を一緒に照らします。答えが合っていても、下側の広さを偶然正にした式では別の区間に対応できません。曲線と軸の距離を各区間で言葉にできれば、面積の式は図から選べます。