共通テスト数学の計算で対数が合わない—和を積の公式へ入れる前に止まる｜武蔵野個別指導塾

対数の中の足し算を正の整数の反例で点検し、積の公式が使える範囲をかっこで囲んで区別します。

対数の中に足し算があるとき、そのまま2つの対数の和に分けることはできません。積の対数の法則が結びつけるのは、正の数どうしの積と、それぞれの対数の和です。まず対数がどこまでかかっているかを囲み、中の演算が足し算か掛け算かを確かめます。

よくあるのは高2の学年末、対数の中の足し算を2つに分けてしまい、答えが合わない復習の場面です。途中式の見た目は整っているのに、どの行で式の値が変わったのか見つけられません。お子さまが公式を覚えているかどうかだけで判断せず、変形の前と後にある演算の種類を比べると、戻る位置が見えてきます。

足し算を分けた行で何が変わるか

たとえば底が2の対数で、log₂(2 + 2)を考えます。対数の中を先に計算すると4なので、log₂4 = 2です。一方、和を分けたつもりでlog₂2 + log₂2と書くと、1 + 1 = 2になります。この組では偶然値が一致しますが、それを根拠に分けてよいとは決められません。別の正の整数も試す必要があります。

たとえばlog₂(2 + 6)なら、中は8ですから値は3です。これをlog₂2 + log₂6に分けた式は、積の法則によってlog₂12に対応します。8と12は異なり、底2の対数でも異なる値になります。左の足し算が、分けた後の式では掛け算へ入れ替わってしまったのです。図1のように、中の数が変わったことを見比べます。

図1の上段は元の和を計算した経路、下段は誤って分けた後に積へ戻す経路です。右端の8と12が一致しないため、この変形は成立しません。値が一度一致する組があっても、同じ操作が一般に成立する証明にはならないことも、最初の組と比べるとわかります。

ここでいう和は対数の中にある足し算です。対数の外にすでに2つの対数の和がある場合は、条件を満たせば積の対数へまとめられます。中の和を外へ移す操作と、外の和を積へまとめる操作は、式の形が違います。符号を見つけた瞬間に公式を呼び出すのではなく、その符号が対数の内側か外側かを先に見ます。

答案のどこから戻るか

答案では、元の式と次の行を上下に並べます。対数の右にあるかっこを一組ずつ囲み、底が同じか、中身が正かを確かめます。そのうえで、かっこの内側の記号と、次の行で対数の間に置いた記号を書き出します。内側の足し算が、外側の足し算に変わった行があれば、そこがこの誤りの候補です。

たとえば式全体の値が違っていても、最初から公式の記憶違いと決めつける必要はありません。中の加算の計算自体を間違えたのか、和を勝手に分けたのか、正しくまとめた後に指数の値を間違えたのかで、戻る場所が変わります。各行の値が前の行と等しいかを一行ずつ調べ、最初に等しくなくなった箇所を探します。

積の法則を使える形なのに、底が異なる対数を同じ底として扱った場合も、別の点検が必要です。また、中身が0以下なら、実数の範囲ではその対数を考えられません。公式の適用以前に式が定義されるかを見ます。今回の中心は、定義される式でも和を積として扱うと値が変わる点です。対数の公式全体を並べるより、その一行にある演算を確かめます。

印を付ける際は、和のかっこ全体を囲んだ後、各項に別々の囲みを付けないことが大切です。別々に囲むと、式に最初から2つの対数があったかのように見えてしまいます。変形前のまとまりを残した紙と、変形後の紙を並べれば、囲みの数が増えた位置を探せます。正しい記号で書き直す前に、もとの式を残しておきます。

囲んでから計算を進める

正しい法則を使う流れを、別の練習用の式でたどります。たとえばlog₃(3 × 9)を考えます。底3は正で1ではなく、3と9はいずれも正です。このとき積の法則により、log₃(3 × 9) = log₃3 + log₃9と書けます。各項は順に1と2ですから、値は3です。直接積を計算してlog₃27 = 3とする道でも同じ値になります。

図2のように、最初に対数の中の積全体を囲み、次に正の2因子へ分けます。上下の式は等しい値を表します。3と9の間が掛け算であること、中身のそれぞれが正であること、底が共通していることが、ここで使う条件です。

図2の下段で1と2を足した結果と、上段で27を作った後の結果を照合します。どちらか一方の計算が長くなっても、二通りの値が合うかを確かめる練習になります。ただし、特定の数で合ったことは公式の証明の代わりにはなりません。教科書の法則とその条件を参照したうえで、この式に当てはめます。

次に、同じ底でlog₃(3 + 9)が現れたとします。かっこの中には掛け算でなく足し算がありますから、今の法則をそのまま当てはめることはできません。まず中を計算すればlog₃12です。整数の値に直せないからといって、log₃3 + log₃9へ変えてよいわけではありません。後者はlog₃27であり、中身が12から27に変わります。

和が含まれる式でも、式全体を正しく因数分解して積になれば、その積に法則を使える場合があります。たとえば3 + 9 = 3 × 4なので、log₃12 = log₃3 + log₃4です。ここで分けているのは、もとの2項の和ではなく、因数分解後の正の2因子の積です。3と4を掛けて12へ戻ることを確認すれば、なぜ先ほどのlog₃3 + log₃9とは違うかがわかります。

戻す手順は紙に短く残せます。まず対数の中を囲む。次に囲みの最も外側が和か積かを見る。積なら各因子が正で、底の条件が満たされるか調べる。和なら、和をそのまま分けず、先に計算するか、等しい積へ変えられるか考える。最後に変形前後の中身を照合します。文字を含む式では、正である範囲が問題の条件から言えるかを確認してから同じ操作をします。

成り立つ組と成り立たない組を比べる

正の数a、bについて、和を分けた式がたまたま正しくなるのは、a + bとabが等しい場合です。底が正で1でない同じ対数なら、2つの中身が等しいことと対数の値が等しいことは対応します。たとえば最初の2と2では、和も積も4です。これはその組で値が一致する理由であり、和を分ける一般的な法則ではありません。

図3は、この偶然の一致と、先に調べた不一致を別々に描いています。図3のように両側の値を実際に比べれば、1組の成功をすべての組へ広げる誤りを避けられます。等しい組を見たときにも、不等になる組を探すと、主張の範囲を点検できます。

文字で考えるときは、中身a + bが正であることと、分けた先のaとbがそれぞれ正であることは同じ条件ではありません。和が正でも、一方が負なら、実数の範囲でその項の対数は定義されません。式が書ける条件まで変えてしまわないよう、変形前と変形後の両方を調べます。値が等しいかを調べるのは、その後です。

確かめの問題

たとえば底を5として、log₅(5 + 20)をlog₅5 + log₅20へ変形した答案があります。この変形は正しいでしょうか。変形前と変形後を、それぞれ1つの対数として比べてください。

解答は、正しくありません。変形前はlog₅25で、値は2です。変形後は正の数の積の法則でlog₅100となり、中身が25とは異なります。底5の対数で異なる正の中身は異なる値に対応するので、2つの式は等しくありません。間違えた場合は、元のかっこを囲み、中の足し算と、外の和を戻してできる掛け算を見比べる場所へ戻ります。

この問題で変形後の値を小数に直す必要はありません。底が同じで中身が異なると確認できれば、値の不一致を判断できます。計算機に頼って近似値を比べる前に、等しい式のまま変形できているかを見ます。途中で近似を使うと、なぜ違ったのかが答案に残らないことがあります。

条件を落とさず式を比べる

たとえばlog₂(4 + 12)について、足し算を先に行えばlog₂16 = 4です。もし各項の対数に分けてから積の法則で戻せばlog₂48となり、元の16とは違います。ここでも、4と12が正であること自体は間違いではありません。正の数を使っていても、足し算を積として扱う操作は許されないという点に注意します。条件の一部を満たしたことと、公式を使う形が整ったことは別の確認です。

今度はこの和を4 × 4と書き換えます。4 + 12 = 4 × 4なので、log₂(4 × 4)と置いてから、log₂4 + log₂4 = 2 + 2 = 4とできます。もとの項である4と12をそのまま対数に入れるのではなく、等式を保ってできた2つの因子を使っています。書き換えの途中を省かないと、どの段階で演算が和から積へ変わったのか他の人も追えます。

同じような答案でも、対数の外に数が掛かっている場合は囲みの境界が変わります。たとえば2 log₂4の2は、対数の中の4に足す数ではありません。2つのlog₂4を足すことを表しています。見た目が近い記号に目を奪われず、各対数がどの数を中身としているかを読み取ります。読み間違いが心配なら、対数の記号から対応するかっこの終わりまで線を引き、外にある記号を別に記します。

反例の役割も区別しておきます。一般に成り立つという主張に対して、条件を満たしながら成り立たない組が1つ見つかれば、その主張はそのままでは正しくありません。しかし、その反例だけから、どんな場合にも2つの値が一致しないとは言えません。実際に和と積が一致する組もありました。どの条件の下で、どの結論を否定したのかを短く書くと、反例を強く読みすぎずに済みます。

答案を直した後は、同じ種類の式を初めから解いてみます。まず中身の演算と正の条件を書き、次に行ごとに何をしたかを添えます。元の式が和なら足してから扱い、積なら因子を点検して法則を使います。修正前の答案の数字を見て答えを覚えるのではなく、式の構造を確かめてから進めることが、再び同じ行で止まったときの手掛かりになります。

文字を含む場合の入口

たとえばlog₂(x + 3)を考えると、実数の対数として定義されるのはx + 3が正のときです。ここからlog₂x + log₂3と書いてしまうと、右辺にはさらにxが正という条件が必要になります。たとえばx = -1では、元の中身は2で正ですが、分けた式のlog₂(-1)は実数の範囲で定義されません。元の式に入れられる値を消してしまうため、式の値を比べる以前に、扱える範囲が変化しています。

もちろんxが正の範囲に限っても、和を分ける法則が成立するとは限りません。定義域をそろえる点検と、等式が成立する点検は両方必要です。文字のまま見通せなければ、その範囲に入る正の整数を選び、前後の中身を計算します。問題の条件を満たさない数を使うと、その問題への反例にはならないので、代入前に条件を書き添えます。

積に書き直した式でも、全体が正だから各因子が正とは限りません。2つの因子がともに負でも積は正になるためです。積の対数を各因子の対数へ分けるときは、積全体の正しさだけでなく、各因子が正であることを調べます。この確認を一行残しておくと、後から文字の範囲が変わっても、同じ変形を使えるか判断しやすくなります。

教科書に戻すときの問い

教科書では対数の定義と積の対数の法則を開き、底と真数に付いている条件を確認します。自分の答案には、元のかっこ、分けた行、分けた式を積へ戻した行を残しておきます。「このかっこの中は積ですか」「それぞれの因子が正だとどの条件から言えますか」と聞けば、公式の暗記の問題と、適用先の見間違いを分けて相談できます。

判断が止まった式を持っていく際は、答えだけでなく、どの行でどの法則を使ったつもりかも添えます。反例を作る場合は正の数を選び、和と積の両方を計算してから対数に戻します。途中の数字が合わないときは、演算の読み違いと数の計算違いを別々に確かめます。

個別指導で確認するときも、元の式を囲んだ紙と、分けた後に積へ戻した紙を並べます。お子さまにどの記号を根拠にしたかを言葉にしてもらい、正の条件と演算の位置を一緒に点検します。次に別の数で同じ操作が保たれるか試すと、偶然の一致も見分けられます。

対数の中の和は、そのまま2つの対数の和に分けません。式を囲み、積の法則の条件と変形前後の中身を照合すると、誤った一行に戻れます。