共通テスト数学の不等式で向きが逆になる—底が小さい指数の大小を確かめる｜武蔵野個別指導塾

分数を底にした指数不等式で、数値の代入と等号の確認から解の範囲を選ぶ手順をたどり、逆向きの理由を底から読み解きます。

底が0より大きく1より小さい指数関数では、指数が増えると値は小さくなります。同じ底の指数式を比べるとき、値の大小と指数の大小は逆向きです。まず底の範囲を確認し、境界の前後に数を入れて、選んだ範囲が元の不等式に合うか確かめます。

よくあるのは、高2の冬、分数を底にした指数不等式で大きい方を逆に選んだ夜という場面です。計算を進めて両辺の底をそろえるところまでは合っているのに、指数を比べる段階で不等号をそのまま写してしまいます。答えを見れば向きが違うと気づいても、次の問題で同じ操作を繰り返すことがあります。

値と指数を同じ向きに並べていないか

たとえば、底を1/2として、指数が1、2、3の場合を順に見ます。値はそれぞれ1/2、1/4、1/8です。指数が1から2、さらに3へ増えるたびに、値には1/2が掛かります。正の数に1より小さい正の数を掛けるので、値は小さくなります。指数が大きい方を選べば値も大きい、という判断はここでは成り立ちません。

図1のように、指数を左から右へ増やす並びと、その値の並びを対応させます。指数では3が1より大きいのに、値では1/8が1/2より小さくなります。両方の列を同じ方向に読むと、どちらの不等号を書いているのか見失いやすくなります。

たとえば、(1/2)³ < (1/2)¹ は正しい不等式です。これに対応する指数の比較は3 > 1です。値を比べる記号と指数を比べる記号が反対を向くことを、一組の数で確かめられます。逆に、指数の大小が合っているからといって、値の大小まで同じ向きだと考えると誤ります。

この食い違いは、式を短く書き換える瞬間に見えにくくなります。底を消したように見える一行の前後で、比較する対象が「指数式の値」から「指数」へ変わるためです。記号だけを移すのではなく、左辺と右辺のどちらに大きい値があるかを言葉でも確認します。

負の指数でも、この考え方は変わりません。たとえば指数が-1のとき値は2、指数が0のとき値は1です。-1 < 0なのに2 > 1です。指数に負の数があること自体を理由に別の向きへ変えるのではなく、底と指数の順序を確かめます。

答案のどこで向きが変わったか

答案を見直すときは、最終行だけを消す前に、両辺が同じ底になった行を探します。その行の底は正で、しかも1より小さいでしょうか。次に、指数を比較した行で、元の値の大小をどちらに対応させたかを見ます。この2行を並べると、底の確認漏れと、不等号の写し間違いを区別できます。

底が同じでない式を指数だけで比べた場合は、向き以前に比較の前提が欠けています。まず同じ底に書き直せるか確認し、書き直した後も左右の値が変わっていないか調べます。たとえば1/4は(1/2)²です。ここで指数を2とする根拠を飛ばすと、不等号の向きを正しく扱っても別の誤りが残ります。

同じ底に直せているのに、(1/2) の指数の比較で値と同じ向きを使っていたなら、減少する対応を見落としたと考えられます。指数の行から直し、その後の移項ももう一度たどります。指数の比較が正しく、最後の移項で符号を間違えた場合は、直す場所が異なります。どの行から誤りが始まったかを示しておくと、正しい行を壊さずに済みます。

指数を比べた後に負の数を掛けたり割ったりする場合にも、不等号の向きを変える操作が出ます。しかし、それは底が1より小さいために値と指数の順序が逆になる判断とは別の段階です。2回の判断があるときは、各行に理由を添え、まとめて1回の反転として処理しないようにします。

境界から範囲を戻す

たとえば、(1/2)ˣ ≤ 1/4 を解きます。ここでxは実数とします。右辺を同じ底に直すと、(1/2)ˣ ≤ (1/2)² です。底1/2は0より大きく1より小さいので、指数が増えると値は減少します。左辺の値が右辺以下になるのは、左の指数が右の指数以上のときです。したがって、x ≥ 2です。

図2のように、まず同じ底、次に指数の比較、最後に境界の検査という順に進みます。値の比較から指数の比較へ移る矢印には、減少することを理由として付けます。xと2だけを見て、もとの式が何を比較していたかを忘れないためです。

境界x = 2を代入すると、左辺は1/4で右辺と等しくなります。元の記号は等号を含むので、この境界は答えに入ります。x = 3では左辺が1/8で、1/4以下です。一方、x = 1では左辺が1/2で、1/4以下ではありません。境界の右側が条件を満たし、左側が満たさないことを、この2点で照合できます。

この代入は、選んだ範囲の向きを点検する方法です。2点が合ったことだけで実数全体についての証明を済ませるのではありません。すべての実数の指数について減少する性質を用いたうえで、答案の向きや等号の取り違えがないかを代入で確かめます。

減少する理由を、実数の指数でも見てみます。0 < a < 1として、指数s < tならt − s > 0です。aの正の指数乗は0より大きく1より小さいので、aᵗはaˢに1より小さい正の数を掛けた値です。よってaᵗ < aˢです。整数の例はこの性質を具体的に見せますが、解の範囲を実数全体へ広げる根拠には、この減少を使います。

等号がない場合も、境界の位置自体は同じように求めます。ただし元の記号が厳密な不等号なら、値が等しくなる境界は含めません。境界に代入して等しくなるかを見た後、元の記号に戻って採用を決めます。数直線を使う場合は、境界を含むかを印の塗り方で区別し、その説明を添えます。

底が変わると何を選ぶか

底が1より大きい正の数では、指数が増えると値も増えます。たとえば底2で指数1と3を比べると、値は2と8です。指数の大小と値の大小が同じ向きになります。底が分数の問題で覚えた「逆」を、底を見ないまま使うと、今度は増加する場合を間違えます。

図3のように、底1/2では指数1から3へ進むと値が1/2から1/8へ下がり、底2では値が2から8へ上がります。比べる指数をそろえると、変わるのが底による向きだと見えます。底が1なら値は指数によらず1なので、増加か減少かの二択には入れません。

底が文字で表されているときは、正であることと1との大小を先に確認します。0 < a < 1、a > 1、a = 1では、値と指数の関係が同じではありません。底が0以下のとき、実数の指数について同じように指数関数を扱うことはできないので、前提を確かめずにこの手順を使わないでください。

確かめの問題

たとえば、実数yについて、(1/3)ʸ > 1/27 を解いてみてください。まず右辺を底1/3の累乗に直し、次に指数を比べます。最後に境界を含むかを元の記号から判断します。

解答はy < 3です。1/27は(1/3)³で、底は0と1の間にあるため、値が大きい左辺の指数は3より小さくなります。y = 3では両辺が等しいので、> の条件には入りません。y = 2では左辺が1/9で条件を満たし、y = 4では1/81で満たしません。逆向きに答えた場合は、同じ底に直した行と指数の比較を並べ、値が大きい側を再確認します。等号を入れた場合は、境界の代入と元の記号に戻ります。

途中の式に戻る練習

同じ底に直した後、指数がそのまま文字ではなく式になっていることもあります。たとえば、(1/2)²ˣ⁺¹ > (1/2)³ とします。指数の部分は左が2x + 1、右が3です。底は0と1の間なので、値が大きい左側の指数が小さくなり、2x + 1 < 3です。ここから2x < 2、x < 1と進みます。

この例では、指数を比較する段階の反転と、その後の一次不等式を解く段階を分けて書けます。2で割る操作は正の数で割るので、不等号の向きは変わりません。境界x = 1では指数がどちらも3で、値が等しくなります。元の記号は等号を含まないため、1は含めません。x = 0を入れると左の指数は1で、右の指数3より小さく、左の値は右の値より大きくなります。

もしx > 1と答えてしまったら、x = 2を元の式に入れます。左の指数は5なので、左の値は右の値より小さく、求める条件に合いません。この反例は範囲を間違えたことを示します。次に指数の行まで戻り、減少による向きの変化を確認してから一次不等式を解き直します。最終行だけで不等号を反転させると、途中にある別の計算間違いを見逃すおそれがあります。

左の指数の係数が負の場合は、もう一段の判断が必要です。たとえば、(1/2)⁻ˣ ≥ (1/2)² なら、値と指数の関係から -x ≤ 2です。両辺に-1を掛けるときにも不等号の向きが変わり、x ≥ -2となります。最初の変化は減少する指数関数によるもの、次の変化は負の数を掛けることによるものです。2つを同時に暗算せず、間の行を残しておくと理由を追えます。

境界のx = -2では指数が2になり、両辺が等しいため条件に入ります。x = 0では左辺が1となり、右辺の1/4以上です。x = -3では左辺が1/8となり、条件に合いません。ここでも境界とその両側を選び、最後の範囲と元の式が対応するかを見ます。指数の符号だけを見て答えを決めず、値まで戻すことが点検の中心です。

書き直し後の確認を残す

一度解き直した後は、元の答案にあった誤った一行と、修正した一行を並べます。どちらも同じ底の指数を比較しているのに向きが異なるなら、1/2の累乗の具体値に戻って理由を言えます。右辺を別の底から直した行が違うなら、まず累乗の計算を確かめます。原因を区別すると、見た目の正しい答えを写すだけで復習を終えずに済みます。

計算の途中で迷ったときは、境界の左右に入れる数を自分で選びます。選んだ数が境界そのものだった場合は、範囲の向きを判定できないので、片側の数を選び直します。また、片側の点で偶然条件が合っていても、反対側と境界の確認を省くと、等号の扱いを取り違えることがあります。3つの代入はそれぞれ別の役割を持ちます。

紙に書いた式が読みにくくなった場合は、指数を括弧で囲み、底と指数を離さずに書き直します。どの部分が指数全体かが曖昧なままでは、大小の比較も確かめられません。書き直した式が最初の式と同じか照合してから、増加か減少かの判断へ戻ります。

指数の値が等しいときは、同じ正の底で底が1でなければ指数も等しくなります。境界を求める際には、この対応を使って指数同士を等しく置けます。ただし、等しくなる場所を見つけることと、その左右のどちらが条件に合うかを決めることは別の作業です。境界が求まっても、元の不等号に合う側を減少の性質から選びます。

練習の際には、答えの範囲を出した後に、含めた境界を実際に代入します。等号を含まない問題では、境界が条件を満たさないことも確認できます。数直線に色を塗る前に、この判断を文章で残しておくと、記号の書き間違いに気づきやすくなります。範囲に入る点と入らない点をそれぞれ選んで確かめることも、向きの見直しに役立ちます。

質問するときに持っていくもの

教科書の指数関数のグラフと、底が0と1の間の場合の増減を扱う箇所を開きます。自分の答案では、底をそろえた行、指数の比較、境界への代入を残してください。「この行で左辺の値が小さいのに、なぜ左の指数が大きくなるのか」と指して尋ねると、向きを変える理由を確認できます。

お子さまが答えだけを直した場合も、保護者は正誤の記号だけで判断せず、どの行から別の比較になったかを一緒に探せます。説明が詰まったら、底1/2の値を2つ書き、その大小と指数の大小を横に並べてから教科書の図へ戻ります。

個別指導で確かめるなら、最初の答案と修正後の答案を並べ、同じ底に直した行と指数の行に印を付けます。境界を含むかの判断は元の不等号と代入結果を見比べます。計算の先へ進む前に、何を比べている行かを言葉にできるかを確かめます。

底が0と1の間なら、指数が大きい側の値は小さい。この対応に戻れば、不等号の向きと境界を別々に決められます。