共通テスト数学のグラフが合わない—導関数が0の点を全部極値にしない｜武蔵野個別指導塾

導関数が0になる点の左右を比べ、折り返しと通過を見分ける停留点の判断をたどります。

導関数が0になることは、その点でグラフが必ず山や谷になることを意味しません。左右で導関数の符号が正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小ですが、符号が変わらなければ折り返しません。まず0になる場所を探し、次にその両側の符号を別々に調べます。

よくあるのは高3の春、増減表の0を見つけるたびに山と谷を描いていた机という場面です。計算して並べた0は合っているのに、描いた曲線が別の条件と合いません。数字を消す前に、0の左右に書いた符号と、そこから引いた矢印を見直すと、どの判断で曲線が折れたのかを探せます。

0を見た瞬間に何を決めてしまったか

導関数の値は、その場所での関数の変化の向きを考える手がかりです。導関数が正の区間では元の関数は増加し、負の区間では減少します。一方、ある点で導関数が0であるという情報は、その点の左右の区間がどちらの向きなのかを単独では示しません。点での値と、点を挟む区間での符号は別の欄に置きます。

たとえば、左から右へ増え続ける曲線でも、途中で接線が水平になることがあります。水平になった瞬間を越えた後に再び増えるなら、その点は山でも谷でもありません。逆に、増えてきた曲線が水平になり、次に減り始めるなら山に当たります。どちらにも0は現れるため、0を丸で囲む作業だけでは区別できません。

図1のように、同じ「導関数が0」から、左右の符号によって判断が分かれます。左側からの矢印と右側への矢印を先に決め、最後に極値の有無を記入します。0から直接「山」と線を引くと、途中の証拠が抜け落ちます。

極大値や極小値は元の関数の値です。導関数の値が0であることと、元の関数の値が0であることも混同しないでください。横軸上に点を置けるかは、元の式へその点のxを代入して確かめます。左右の符号を調べる前にグラフの高さを決める必要はありませんが、形を描くときには高さも別に必要です。

答案のどこから見直すか

まず、導関数の式が元の関数から正しく求められたかを見ます。次に、導関数を0と置いた方程式の解が合っているかを調べます。ここまで合っていても、増減表の符号や極値の判定が間違うことはあります。解の欄、符号の欄、矢印の欄、極値の欄を順にたどれば、計算を全部やり直さずに間違いの位置を絞れます。

解を求めた段階で止まっている答案には、各区間から代表となる数を1つずつ選び、導関数へ代入して符号を記します。解そのものを代入すると0になるため、左右の向きは判定できません。代表の数は区間の内部に選び、計算しやすさを優先してよいですが、隣の区間の数を混ぜないようにします。

符号の欄が正しいのに矢印が逆なら、正は増加、負は減少という対応に戻ります。矢印が両側とも上向きなのに山と書いてあれば、折り返しの判定に戻ります。矢印が上から下へ変わる点を極大、下から上へ変わる点を極小と読みます。関数の値を代入した答えが違えば、符号表を変える前に元の関数への代入を点検します。

この判断は接線がどこで曲線に触れるかを求めることとは別です。ここでは導関数の符号を左右で比較し、増減が切り替わるかを調べます。水平な接線を見つけても、それだけで山や谷と決めないことが焦点です。

符号を埋めてから形にする

たとえば、実数全体で定義された関数 f(x) = x³ − 3x² + 4 を考えます。導関数は f’(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) です。導関数が0になるのは x = 0 と x = 2 です。この2点は調べる境目です。ここで直ちに2つの山と谷を決めるのではなく、数直線を3つの区間に分けます。

x < 0 では、x と x − 2 はともに負なので積は正です。0 < x < 2 では、x は正、x − 2 は負なので積は負です。x > 2 では両方が正なので積は正です。定数3は正なので符号を変えません。代表値を使う場合も、たとえば各区間から -1、1、3 を選んで導関数に代入すると、順に正、負、正になります。

図2のように、左から正、負、正を置き、元の関数の増減へ移します。x = 0 では増加から減少へ変わるので極大、x = 2 では減少から増加へ変わるので極小です。元の式に代入すると f(0) = 4、f(2) = 0 です。したがって極大値は4、極小値は0です。xの値と関数の値を対にして記すと、点の位置を取り違えにくくなります。

グラフを描くときは、左から上がって (0, 4) へ達し、そこから下がって (2, 0) へ達し、再び上がる形を考えます。図2は符号と増減の対応を示した図であり、曲線の正確な形を表すものではありません。点の高さは代入で得た値を使い、符号表から得た向きと両立するようにつなぎます。

因数の符号を暗算した結果が合わないときは、まず境目を小さい順に並べます。次に各区間でそれぞれの因数が正か負かを書き、最後に積の符号を決めます。例えば0と2の間で x − 2 を正と扱うと、中央の減少を見落とします。代表値を入れる方法と因数の符号を読む方法は、どちらか一方の結果をもう一方で点検するのにも使えます。

計算の途中で符号が合わなくなったら、元の関数と導関数を混ぜて代入していないかも確認します。増減の向きには導関数、極値の高さには元の関数を使います。両方の式を同じ場所に書いている場合は、代入した式の名前を添えると、戻る先が見えます。

0を通過する場合と確かめ問題

別の場合として、たとえば g(x) = x³ を実数全体で考えます。g’(x) = 3x² は x = 0 で0ですが、0の左でも右でも正です。関数は両側で増加し、原点で水平になっても折り返しません。図3のように、正から正へのつながりには極大も極小もありません。導関数の0を見つけた後、左右の符号を埋める段階が必要になる理由です。

同じように左右がともに負なら、両側で減少します。水平になる点があっても減少を続けるため、そこを谷とすることはできません。左右のどちらか一方の符号だけでは、もう一方の向きは決まりません。片側の矢印を見て残りを推測せず、両区間を調べます。

定義域が制限されている問題では、表に書く区間をその範囲に合わせます。端点には定義域内の片側しかないので、ここで述べた左右両側の符号変化による判定をそのまま適用しません。端点の値を比較する必要がある問いでは、何を求める問題かに戻り、端点を含めて調べます。定義域の外へ勝手に区間を延ばすと、実際には使えない側の符号で結論を作ってしまいます。

確かめ問題です。実数全体で定義された h(x) = x³ − 6x² + 12x + 1 について、導関数が0になる点を調べ、その点が極大または極小か判断してください。導関数を因数分解し、境目の左右それぞれの符号を記してから答えます。

解答は、h’(x) = 3x² − 12x + 12 = 3(x − 2)² なので、0になるのは x = 2 です。xが2より小さい区間と大きい区間のどちらでも導関数は正です。よってこの点で関数は増加から増加へ移り、極大でも極小でもありません。h(2) = 9 ですが、値が9であることは折り返しを意味しません。

極小と答えた場合は、二乗の因数が境目の両側でどちらも正になることへ戻ってください。極大と答えた場合も、符号を各区間から選んだ値で確かめます。導関数の解が違った場合は、因数分解を展開して元の導関数と一致するかを先に調べます。値を9以外にした場合は、元の式への代入と符号の計算を分けて見直します。

符号表が作れないときの立て直し

因数分解が思いつかないときは、導関数の式と0になる条件をいったん別の行に書きます。展開した式の係数を元の計算と照合し、負号を落としていないか調べます。因数分解した後は、掛け戻した式が導関数と一致するかを見ると、分解の途中の誤りを見つけられます。解が誤っている状態で表を丁寧に埋めても、区間の境目自体が変わってしまいます。

境目が合っているのに代表値の代入結果が食い違うときは、選んだ数が本当にその区間に入っているかを数直線で確認します。負の数の二乗と、二乗した数の前に付いた負号を混同していないかも見ます。式を一度に計算せず、それぞれの因数の符号を書いてから積を求めると、間違いの場所を追えます。

導関数が0になる点で、左右の符号が同じ場合には、表の0を消す必要はありません。0は点での導関数の値として正しい情報です。消すべきなのは、そこから根拠なく付けた極大や極小の印です。正しい計算まで消してしまうと、次に同じ答案を見たとき、どこまで確認できたのかがわからなくなります。

一方、左右の符号が異なる場合には、どちらからどちらへ変わったかを読みます。変化があったという事実だけでは、山と谷の区別がつきません。正から負なら増加から減少、負から正なら減少から増加です。符号の並びを声に出して読み、矢印と同じ順序になっているか確かめてから名称を付けます。

曲線と式が一致しないとき

増減表が完成した後に描いた曲線が表と合わない場合は、左から順に区間を指でたどります。増加の区間で右下がりの線を引いていれば、その区間の描き方を直します。境目で折り返すかどうかも、境目の両隣の矢印から読み直します。見た目の滑らかさだけで判断せず、表が要求する向きを先に守ります。

点の高さが違う場合は、導関数の符号を調べ直す前に、元の関数の式への代入を確認します。元の関数に入れる数は横座標であり、得られた値は縦座標です。横座標と縦座標を入れ替えたり、導関数へ代入した0を縦座標としたりすると、増減が合っていても点の位置がずれます。

自分で描いた図が途中までしかない場合も、空欄を勝手に補って結論にしません。未記入の区間について、導関数の符号を先に計算してから線を延ばします。時間が足りず表が未完成なら、確認済みの範囲と未確認の範囲を分け、残りの符号を調べる作業へ戻ります。途中の図の印象は、欠けた計算の代わりにはなりません。

元の式が読み取れない、または写した式と問題の式が違うと気づいた場合は、その式を根拠に判定を進めず、元の記載を確認します。計算機などの結果が表示されない場合も、結果を推測して表を埋めず、手で因数の符号を調べます。道具を使って得た結果が手計算と一致しないときには、入力した式と定義域を照合し、どちらの式を計算したのかを確かめます。

極値の有無を調べる問いと、ある範囲での最大値や最小値を求める問いは、答える内容が異なります。後者では端点の扱いも問題の条件に従う必要があります。今回の中心は、内部の停留点の左右における導関数の符号です。範囲の条件があるときは、その条件を答案の先頭に残しておきます。

確認するときに持っていくもの

教科書では導関数の符号と関数の増減、極大・極小の定義を開き、自分の増減表の各欄と照らします。質問するときは、元の式、導関数、0になる点、各区間の符号、描いた曲線を同じ紙に残します。「x = 2の左右で符号をどう判定したか」「0なのに折り返さない理由はどの欄にあるか」と尋ねれば、計算と判断のどちらを確かめたいのか伝わります。

お子さまの途中式を一緒に見るときも、正解の図を先に見せるより、どの区間にどの数を入れたかを尋ねると、符号を決めた根拠をたどれます。符号が合っていれば矢印の対応へ、符号が違えば因数または代入の計算へ戻ります。

個別指導で確かめるなら、元の答案と、左右の符号を追記した増減表を並べます。0を見た直後に書いた山や谷と、矢印を埋めた後の判断を見比べ、どの一手を加えれば修正できるかを言葉にします。

一度表を完成させた後も、元の式から導関数、境目、符号、矢印、関数の値へと順に指を動かして確認します。それぞれの欄が次の欄の根拠になるため、ずれた場所を見つけたら、その直前の計算から戻れます。

表を読み直す際は、区間の順序と境目の値も合わせて確かめます。左右の取り違えを防ぐためです。

導関数が0の点は調査の出発点です。左右の符号が変わるかを確かめて初めて、グラフの折り返しを判定できます。