共通テスト数学の面積が0になったら—定積分の符号と領域を分けて考える｜武蔵野個別指導塾

軸をまたぐグラフの積分値が0になる理由を、交点で分けた領域から確かめ、面積を足す段階で相殺を解きほぐします。

グラフと軸に囲まれた領域が見えるのに定積分が0になったときは、積分値と面積を同じものとして扱っていないか確かめます。軸の上の部分は正、下の部分は負として合計されるので、互いに打ち消すことがあります。面積を求めるなら交点で区間を分け、それぞれの領域の大きさを足します。

よくあるのは、高3の夏、見える領域があるのに計算した面積が0になり、途中式を見直す復習の場面です。計算を何度繰り返しても同じ0が出ると、原始関数や代入を疑いたくなります。しかし、計算が正しくても、得られた数の意味が問いと違うことがあります。どの領域を数えたのかを図に戻して確かめましょう。

0が表すのは何か

たとえば、y = x を x = -2 から x = 2 まで考えます。座標は練習のための数で、長さの単位を1とします。直線は原点で横軸と交わり、左側では軸の下、右側では軸の上にあります。軸と直線、両端の縦線で囲まれる領域は左右に一つずつ見えます。

それぞれの領域は底辺2、高さ2の三角形なので、面積はどちらも2です。面積の合計は4です。一方、x の定積分を -2 から 2 まで計算すると、原始関数 x²/2 に両端を代入して 2 − 2 = 0 です。領域が消えたのではなく、下側の積分値 -2 と上側の積分値 2 が相殺されています。

図1のように、同じ大きさの領域でも軸の下側は積分値が負になります。図の淡い色は領域を表し、符号はその区間の積分値に付けています。面積そのものに負の値を付けるという意味ではありません。図形の大きさとして足す段階では、左側の負号を取り除きます。

ここで注意したいのは、0という数から直ちに「図が間違い」とも「計算が間違い」とも決められないことです。設問が定積分の値を尋ねているなら、0はこの例の正しい答えです。面積を尋ねているなら、0は途中で得られた符号付きの合計であり、そのまま答えにはできません。同じ計算結果でも、最後に何を尋ねられたかで役割が変わります。

答案のどこで意味が変わったか

答案を点検するときは、まず原始関数を微分して元の式に戻るか、上下端の代入順が合っているかを見ます。そこで誤りが見つかれば計算を直します。計算が合っているのに面積と合わないときは、次に区間の中でグラフが軸を横切るかを調べます。式の計算と、計算結果を面積に読み替える判断は別の点検です。

横軸との交点は y = 0 を解いて求めます。ただし、得られた解のうち、求める区間の内部にあるものが分割の候補です。区間の外の交点を使って余分な領域を足さないようにします。端点が交点である場合は、そこを新たな内部の分割点として増やす必要はありません。

交点を見つけた後は、各区間の内部の値を一つ代入し、式が正か負かを確認します。多項式は連続なので、区間内に他の零点がなければ、その区間の途中で符号は変わりません。代入する点がちょうど交点だと値は0になり、上下の判定に使えません。端点ではなく、区間の内側を選びます。

答案に定積分の記号と数値だけが並んでいる場合は、各行の横に「符号付きの値」または「面積」と書き加えてみます。途中の -2 を面積と呼んでいないか、最後の0を面積と書いていないかが見えてきます。符号を見落とす原因を探す作業であり、微分した式の増減や極値の判定をする必要はありません。

交点から区間を組み直す

別の自作例として、y = x² − 1 と横軸、x = -2、x = 2 で囲まれる領域を考えます。x の範囲は -2 以上 2 以下です。まず x² − 1 = 0 を解くと交点の x 座標は -1 と 1 です。どちらも指定された区間の内部にあるため、区間を -2 から -1、-1 から 1、1 から 2 の3つに分けます。

符号はそれぞれ内側の値で調べます。たとえば左側で x = -3/2 を入れると正、中央で x = 0 を入れると負、右側で x = 3/2 を入れると正です。左と右は軸の上、中央は軸の下です。交点そのものでは値が0ですが、境界の一点には面積がないので、どちらの区間に端点を含めて表しても合計は変わりません。

図2のように、まず交点を境に分割し、その後に各部分の符号を確認します。符号の列を先に書いておくと、積分した後にどの値の符号を反転するか迷いにくくなります。分割せずに全区間を積分してから結果に絶対値を付けても、相殺された分は取り戻せません。

原始関数を F(x) = x³/3 − x とします。F(-2) = -2/3、F(-1) = 2/3、F(1) = -2/3、F(2) = 2/3 です。左側の積分値は F(-1) − F(-2) = 4/3、中央は F(1) − F(-1) = -4/3、右側は F(2) − F(1) = 4/3 です。

面積を足すときは、軸の上の左と右をそのまま使い、下の中央は符号を反転します。したがって 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 です。全区間の定積分は 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3 なので、面積とは一致しません。前者は大きさの合計、後者は上下を符号付きで合わせた値です。

途中式の確認では、各区間の積分値と、その区間の上下の位置が対応するかを見ます。上側なのに負が出た場合は代入順や計算を見直します。下側なのに正が出た場合も同様です。符号が合ってから面積へ変換することで、計算違いと面積への変換違いを分けて直せます。

符号を決める前に見る境界

交点の式を解いて得た値を、そのまま全部並べるのではなく、まず問題で指定された左右の端と比較します。領域の左右の境界が変われば、同じグラフでも必要な区間の数は変わります。左端から右端までの順に数字を並べ、隣り合う数字の間が、それぞれ一つの計算区間です。端の外にある交点は図の性質を知る手がかりにはなっても、今回の面積に足す区間にはなりません。

たとえば中央の領域について、左端から右端へ進むと、積分の上端は右側の値です。原始関数には右端を先に、左端を後に入れて差を取ります。図で下側だからといって、この代入順を逆にしてはいけません。まず正しい順で定積分を求め、その値が負であることを確かめてから、面積にする段階で符号を反転します。順番を逆にして正の数を作ると、何を計算したのかが途中式から読めなくなります。

また、軸を横切るときの符号は、交点の数だけを見て機械的に決めないようにします。多項式が0になる点をはさんで片側ずつ代入し、正負を実際に確かめます。横軸に接してそのまま戻る点では、交点があっても符号が変わらないからです。図の見た目が小さくて判別しにくいときほど、式の符号を根拠にできます。逆に式の代入結果が図と食い違えば、描いた位置か代入した数を点検します。

相殺の大きさを見積もる

左右の領域が見えているなら、計算前にそれぞれが正の面積を持つと判断できます。したがって領域があるのに面積の合計を0とする答えには立ち止まる理由があります。ただし、二つの領域が見えることから、それらの面積が等しいとは限りません。0という積分値を確認した場合には、上側の合計と下側の合計が同じ大きさだったのか、区間ごとの計算で照合します。

積分値が正であっても、面積が正しく求まったとは限りません。上側の寄与が下側の寄与より大きいとき、全体の積分値は正ですが、下側の分はすでに差し引かれています。全体の値が負の場合も同じで、絶対値を取るだけでは小さい側の面積を失ったままです。最後の数の正負ではなく、区間内で式の符号が変わるかどうかが、分割の判断を支えます。

答案の見直しでは、各部分の面積が0以上になっているかも確認します。正負の付いた値を足す行と、面積を足す行を分けて記せば、どの段階で目的が変わったかが残ります。軸の上にある領域と下にある領域を同じ色で塗る場合でも、横に正負を記せば、図の塗りと積分値を混同しにくくなります。

計算が止まったときの戻り道

原始関数が思い出せないときは、教科書の該当する多項式の積分を確認し、得られた式を微分して元の式になるか確かめます。原始関数の値は端点ごとに別々に書き、差を作るときに括弧の中の負号を落とさないようにします。特に左端が負の場合、端点の値と、その値を引く操作は異なる負号です。ここを一行に詰めず、代入後の値を残すと間違えた場所を探せます。

図を描く前から計算を始めていた場合は、正確な曲線を描き直す必要はありません。横軸に端点と交点を順に記し、各区間で式が正か負かを一つずつ書きます。それだけでも、どこで分割し、どの積分値を反転すべきかは判断できます。きれいな作図を目指すことより、問題の範囲と符号が答案で追えることを優先します。

途中で計算が合わなかった場合は、まず一つの区間に戻り、符号と端点を確かめます。そこが正しければ原始関数の値へ進み、最後に面積への変換を見ます。確認問題でも、正解を見た後に数値を消し、自分で交点と符号の根拠をもう一度書くと、答えの数字を覚えただけかどうかを区別できます。説明できない箇所が残れば、その箇所の直前の行からやり直します。

下側だけの場合と新しい確認問題

軸の下にあるからといって、必ず区間をさらに分けるわけではありません。たとえば y = -1 を x = 0 から x = 3 まで見ると、直線は区間内で横軸と交わらず、積分値は -3、長方形の面積は3です。符号が変わらない1区間では、負の積分値の符号を反転すれば面積になります。交点の個数と符号の変化を区別することが先です。

図3のように、区間全体が軸の下にある場合にも、定積分と面積は符号が違います。逆に全体が軸の上なら積分値をそのまま面積にできます。グラフが軸に触れて戻る場合は、交点の両側で同じ符号になることもあります。交点を分割点として計算してもよいですが、符号が変わったと決めつけず、両側の値を調べます。

では、次の問いを紙に描いて解いてみましょう。たとえば y = x − 2 と横軸、x = 0、x = 5 で囲まれる領域の面積を求めます。まず交点と上下の位置を書き、その後に区間ごとの積分値を求めてください。最後に全区間の定積分の値とも比べます。

解答は、交点が x = 2、面積が 13/2 です。0 から 2 では式が負、2 から 5 では正です。原始関数 x²/2 − 2x を使うと、前半の積分値は -2、後半は 9/2 です。面積は 2 + 9/2 = 13/2 になります。全区間の定積分は -2 + 9/2 = 5/2 で、面積とは異なります。

答えが 5/2 になった場合は、符号付きの合計を面積としていないか、交点で分割する箇所へ戻ります。面積が 9/2 になった場合は、軸の下側の領域を数え落としていないか、図の左側を塗って確かめます。負の面積が出た場合は、負の積分値を大きさへ変える操作を点検します。どの答えも、計算を最初からやり直す前に意味の取り違えを探せます。

面積を答える際は、必要なら問題に示された長さの単位に応じて、面積の単位も付けます。式の数値だけが合っていても、何を表す数かが伝わるように最後の一行を読み返します。

自分の途中式を持って確かめる

教科書で確認するときは、定積分とグラフで囲まれた面積を扱う箇所を開き、軸の下側の積分値に負号が付く説明を探します。その上で、自分の式に交点、区間、符号、各積分値、面積の順に印を付けます。図に塗った領域と式の区間が一対一に対応しているかも確認します。

質問するときは「答えが違います」だけでなく、「この区間で式が負と判断した理由は合っていますか」「この負号は積分値から面積に直すためのものですか」と、迷った行を示します。お子さまが家で説明するときも、正答の数字だけでなく、軸の下の領域をどの式に対応させたかを指でたどると、つまずいた位置を共有できます。

個別指導で確かめるなら、元の答案と、交点と符号を書き込んだ図を横に置きます。各区間の積分値を面積に変えた行を見比べ、代入の間違いと相殺の見落としを切り分けます。説明できなかった一行へ戻って、別の数でも同じ判断ができるかを試します。

定積分が0でも、上下の領域が相殺されている場合があります。交点と符号を確かめ、各領域の大きさを足せば、求める面積へ戻れます。