共通テスト数学の確率で掛け算を急がない—戻さない抽選を同じ確率で扱う誤り｜武蔵野個別指導塾

玉を戻す場合と戻さない場合を比べ、2回目の分母を点検する鍵は抽選操作です。

2回の抽選で確率を掛ける前に、取り出した物を次の抽選までに戻すかを確かめます。戻せば中身が元に戻り、戻さなければ個数も内訳も変わります。掛け算そのものを避けるのではなく、2回目に掛ける割合がどの操作から生まれるかを確かめます。

よくあるのは、高2の冬休み、二度の抽選をいつも同じ割合の積で計算していた朝という場面です。1回目の式は合っているのに、問題文の「戻さない」を読んだ後も2回目の分母が最初のまま残っています。答え合わせで数値の違いに気づいたら、計算を繰り返す前に、2回目の箱の中を描き直してみましょう。

同じ箱という言葉に隠れる変化

たとえば、赤玉3個と白玉2個が入った箱から、よく混ぜて1個ずつ2回取り出します。どの玉も各回で同様に取り出されるとし、2回とも赤玉になる確率を考えます。赤玉同士も別々の玉として数えます。この例は練習用に作ったもので、試験の問題を写したものではありません。

1回目に赤玉を引く割合は3/5です。ここまでは、戻す場合も戻さない場合も同じです。違いが生まれるのは、その赤玉をどうするかという操作の後です。戻すなら箱は赤3個、白2個に戻り、次に赤玉を引く割合は再び3/5です。戻さないなら箱には赤2個、白2個が残り、次に赤玉を引く割合は2/4です。

図1のように、最初の割合をそのまま2回目に置くと、取り出した赤玉が箱へ戻っていないのに数え直したことになります。誤りは掛け算の記号ではなく、その右側に置いた分数にあります。赤玉の個数と箱全体の個数の両方が変わるので、分子か分母の片方だけを直しても正しい箱にはなりません。

たとえば赤玉が1個減ったことに気づいても、全体を5個のままにして2/5とすると、箱から消えた玉を全体には数えたことになります。逆に全体を4個にして赤玉を3個のままにすると、取り出した赤玉を赤の内訳に残しています。どちらも「残った玉」を分子と分母で同じ時点にそろえると修正できます。

また、2回とも赤という条件は、1回目に赤だった枝から先を考えるという意味です。最初の箱から赤玉を1個引くことと、赤玉を引いた後の箱からもう1個引くことは、同じ場面ではありません。「赤が出る確率」という言葉が2回出てきても、箱の状態が同じとは限らない点が、見落としやすいところです。

答案のどこから原因を探すか

答案に3/5 × 3/5と書かれていたとき、まず問題文で戻す操作があるかを確かめます。戻すと明記されていれば、この例では2回目の3/5も箱の内訳に対応します。戻さないと書かれていれば、2回目の分数に線を引き、その分母がどの時点の玉を数えたものかを問い直します。同じ式でも、操作によって意味が変わります。

分数の右側に「赤を1個取り出した後」と書き、その下に残りの赤玉と白玉の個数を並べると、どこを数えたかが見えます。式だけを眺めて分母を暗記し直すより、箱の状態に戻るほうが、別の個数に変わった問題でも原因を探せます。積の左側が誤っているなら、最初の箱の内訳へ戻ります。右側が誤っているなら、1回目の操作の後へ戻ります。

もし正しい2/4が書けているのに最後の数値が違うなら、操作の読み違いと決めつけず、約分や掛け算を見直します。一方、答えの数値が偶然合っていても、残りの箱を正しく表していない式は別の問題で使えません。数値と途中の意味を別々に点検すると、計算の失敗と設定の失敗を区別できます。

ここでの問いは、結果を外から知らされた後に情報を更新する話とは異なります。取り出した玉を戻すかどうかという、初めから指定された操作を比べています。問題文に書かれた動作を矢印の上に記し、矢印の前後の箱を区別することが出発点です。

独立という言葉も、見た目が2回の抽選だからといって先に付けるものではありません。1回目が赤か白かで、2回目に赤を引く割合がどうなるかを比べます。戻すならどちらの後も3/5です。戻さないなら赤の後は2/4、白の後は3/4です。後の割合が前の結果によって変わるので、この戻さない抽選では、各回に赤を引く事柄は独立ではありません。

間違った分数が表す操作を読む

3/5 × 3/5という式は、戻さない操作を表す式としては不適切ですが、意味のない式ではありません。赤を引いた後で元の箱に戻し、もう一度同じ箱から引く操作に対応します。間違いを見つけたら、ただ分数を消すのではなく、その式がどんな操作なら成り立つかを考えます。式の表す操作と、問題文に書かれた操作が食い違っていれば、修正する場所が見えてきます。

取り出した玉を机に置き、箱には戻さないと想像してみます。机上の赤玉は、次に選ぶ候補には含まれません。箱と机をまとめて数えれば玉は5個のままですが、それは2回目に選べる玉の数ではありません。分母は部屋に存在する玉の数ではなく、その回に選ぶ対象の数です。どの範囲を数えているかを言葉にすると、分母を据え置く誤りを説明できます。

反対に、箱へ戻した後に4個と数えた答案は、取り出す瞬間の状態で止まっています。問題文の動作を最後までたどり、次に引く直前の状態まで進める必要があります。取り出した後と戻した後は別の時点です。図に時点の名前を添え、分数がどちらの箱に付いているかを確かめてください。

別の失敗として、戻さない場合の計算で、1回目の赤の割合を2/4から始めることがあります。2/4は赤を1個取った後の割合なので、操作前の箱には付けられません。積の左と右にそれぞれ「初め」「赤の後」と書くだけでも、同じ分数を別の時点へ移していないか確認できます。

順序を変えた枝も調べる

2回のうち赤と白を1回ずつ引く問いに変えたとします。これは赤の後に白を引く順序と、白の後に赤を引く順序の両方を含みます。戻さない場合、赤の後に白なら3/5 × 2/4 = 3/10です。白の後に赤も2/5 × 3/4 = 3/10です。2つの順序は同時には起こらないので、合わせて3/5です。

ここで両方の積がたまたま同じ値でも、各枝の分数は同じではありません。最初に赤を取る枝では赤の個数が減り、最初に白を取る枝では白の個数が減ります。答えだけが一致することを根拠に、2回目も最初の割合を使ってよいと判断しないでください。枝ごとに残りを描き、その枝に合った割合を置きます。

また、2回とも同じ色という問いなら、赤赤に加えて白白も調べます。戻さない場合の白白は2/5 × 1/4 = 1/10で、赤赤の3/10と合わせて2/5です。「2回とも赤」と「2回とも同じ色」では、数える枝が違います。操作を正しく読めても、求める結果の範囲を狭く取れば答えは変わるので、何を足すかも問題文へ戻して確かめます。

箱を描き替えて積を作る

手順を戻さない場合でたどります。まず、初めの箱に赤3個、白2個、計5個と書きます。次に、求める順番を「赤、赤」と書き、最初の赤に対して3/5を置きます。この分数は、5個のうち赤が3個ある最初の箱の割合です。

続いて1回目の赤玉を箱から除きます。残りは赤2個、白2個、計4個です。この箱から赤を引く割合は2/4です。したがって、求める確率は3/5 × 2/4 = 3/10です。掛け算の右側は、最初の赤を引いた後の箱から赤を引く割合です。

図2のように、分数の前に箱の内訳を置くと、分母が5から4へ変わる理由を追えます。1回目の結果に沿った枝の上で2回目の割合を掛けるのであり、何も確かめずに同じ割合を2回使うわけではありません。取り出した玉の色が違えば、減る色も違います。

戻す場合も同じ順に書いてみます。最初の赤は3/5です。引いた赤玉を次の抽選前に箱へ戻して混ぜれば、赤3個、白2個、計5個に戻ります。次の赤も3/5なので、2回とも赤の確率は3/5 × 3/5 = 9/25です。操作が違うため、先ほどの3/10と同じ結果にはなりません。

順番を数える別の見方でも点検できます。戻さない場合、最初に選べる玉は5通り、次は残りの4通りで、順序をつけた選び方は20通りです。2回とも赤なら最初は3通り、次は残った赤から2通りなので6通りです。6/20は3/10に等しく、先ほどの積と一致します。玉を個別に区別して数えるため、色の並びを単に「赤赤」「赤白」などと同数扱いしないことにも注意します。

戻す場合は、1回目に選んだ玉が再び候補になります。順序をつけた選び方は5 × 5通りで、赤、赤は3 × 3通りです。9/25となり、箱を描き替えた計算と一致します。2つの数え方が一致するかは、式の意味を自分で点検する手段です。

違う色を引くときは何が残るか

同じ箱から戻さずに、先に白、次に赤を引く場合も考えます。白を引く割合は2/5です。白を戻さなければ、残りは赤3個、白1個の計4個ですから、その後に赤を引く割合は3/4です。積は2/5 × 3/4 = 3/10です。赤を取り出したときとは違い、赤の個数は減りません。それでも箱全体は1個減ります。

図3のように、戻さない操作では、何色を取り出したかで減る内訳を決めます。前の結果によって次の割合が変わることを、赤の後の2/4と白の後の3/4で見比べられます。戻す場合はどちらの後でも元の箱に戻るため、次の赤の割合は3/5です。

箱の中が空になる操作や、求める色が残っていない操作にも注意します。たとえば最後の赤玉を取り出して戻さなければ、次に赤玉を取る割合の分子は0です。一方、次に取り出す玉が箱に残らない設定なら、2回目の抽選自体ができません。0を掛ける計算へ進む前に、指定された操作が実行できるかを確かめます。

自分で確かめる

袋に青玉4個と黄玉3個があり、よく混ぜて1個ずつ2回引きます。どの玉も各回で同様に取り出されます。1回目に引いた玉を戻さないとき、2回とも黄玉になる確率を求めてください。さらに、1回目に引いた玉を戻して混ぜる場合の確率と比べてください。

解答は、戻さない場合が3/7 × 2/6 = 1/7、戻す場合が3/7 × 3/7 = 9/49です。前者では黄玉を1個取るので、次の袋には黄2個と青4個が残ります。後者では元の黄3個と青4個に戻ります。戻さない場合にも3/7を2回掛けたなら、1回目の玉が袋へ戻ったことになっていないか、操作の文と残りの個数へ戻ってください。2/7としたなら、黄玉だけでなく全体の個数も減ることを確かめます。

袋に入った玉を一度に2個取り出す問題では、順序をつけて数えるか、順序を区別せずに数えるかをそろえる必要があります。順序をつけた取り出しとして考えるなら、赤白と白赤を別の枝にし、分母にも順序つきの選び方を数えます。分子だけに順序をつけて分母にはつけない、という混ぜ方はできません。

確率は0から1までの値です。この範囲から外れたら計算を点検できますが、範囲に収まっただけでは正解とは限りません。先ほどの誤った積も0と1の間に収まります。最後の値の範囲と、途中の箱の対応は別々の確認です。

式を持って確かめる

教科書で確率の積や独立な試行を扱う箇所を開き、各分数がどの状態での割合を表すかを確認します。質問するときは問題文の操作を囲み、1回目の前と後の箱を並べた紙に途中式を添えます。「この分母はどの玉を数えていますか」と聞けば、式の形だけでなく、数えた対象を照合できます。

お子さまが答えを直すときも、正答の分数だけを隣に書くより、最初の答案を残して、2回目の箱を別に描くと誤りの場所が見えます。戻す場合の箱も横に描けば、どちらの操作を式に表したかを比べられます。

個別指導で確かめるなら、問題文、本人が最初に書いた積、操作後の箱の図を同じ机に並べます。2回目の分数を指し、その分子と分母がそれぞれ何を数えたかを言葉にしてもらいます。計算の間違いなら計算へ、箱の描き違いなら操作へ戻れます。

抽選の積は、次に引く時点の箱を描いてから決めます。戻さない場合は取り出した玉を除き、残った内訳で次の割合を作ります。操作を読み分ければ、同じ割合を使える場面と変える場面が区別できます。