高校数学II 指数関数と方程式・不等式—底の大小からグラフと不等号の向きを選ぶ｜武蔵野個別指導塾

底が1より小さい場合の不等号の反転と、正の値に注意した置換を例題でたどり、解の範囲を選ぶ指数関数です。

よくあるのは、高校生が底が1より小さい指数不等式でも、指数を比べるときに不等号の向きを変えないという場面です。計算の途中は整っていても、最後に求めた範囲がグラフの増減と反対になることがあります。底をそろえたらすぐ指数を比べるのではなく、その底が1のどちら側にあるかを先に確かめましょう。値を1つ代入する確認も、向きの誤りに気づく助けになります。

問題の形を見分ける

定期テストでまず練習したい型は、指数関数のグラフと増減を読む問題です。底が1より大きいグラフと、0より大きく1より小さいグラフを比べ、共通する点や横軸との位置関係を説明します。平行移動を伴う場合は、基準となる点がどこに移るかも押さえます。

次の型は、両辺を同じ底の累乗に直す方程式や不等式です。例えば8と2が現れたら、8を2の3乗と見ると指数を比べられます。不等式では、同じ底に直した後に底の範囲を判定する一手間が必要です。底を逆数に変えたときは指数の符号も変わるので、その2つの操作を別々に書きます。

もう1つは、指数を含む式を新しい文字に置き換える問題です。2のx乗をtと置くと二次式として整理できる場合があります。ただしtは正です。二次方程式で負の根が出ても元の指数式の値には戻せません。この範囲では指数関数の性質を使い、対数は使わずに解ける形を扱います。

底とグラフの関係

aを正で1ではない定数とすると、y = aのx乗は指数関数です。xには実数を入れられ、値yは常に正です。指数が0なら値は1なので、どのグラフも点(0, 1)を通ります。xが1のときはy = aです。底が1なら値は常に1になり、指数の大小を値の大小から判定できないため、ここで扱う底から除きます。底が0以下の場合も、実数全体を指数とするこの定義では扱いません。

底が1より大きいと、xが大きくなるにつれて値も大きくなります。一方、0 < a < 1なら、xが大きくなるにつれて値は小さくなります。例えば1/2を掛ける操作を繰り返すと、指数が1ずつ増えるたびに値は半分になります。この性質は整数の指数に限らず実数の指数でも成り立ちます。

図1のように、2つのグラフは点(0, 1)で交わり、右側で一方は上がり、他方は下がります。どちらも横軸には触れず、値が0以下になる部分はありません。左側では上下関係が右側と逆です。

図1の2つの曲線を比べると、底が2のときは右上がり、底が1/2のときは右下がりです。同じ正の底aについて、aのp乗とaのq乗が等しければp = qです。大小を比べるときは、a > 1なら値と指数の大小が同じ向き、0 < a < 1なら逆向きです。等号を含む場合もこの対応で端を含めます。

例えば底が1/3なら、指数2は指数1より大きいのに、値1/9は1/3より小さくなります。逆に指数を比較する際は、この大小関係を読み戻します。底の大小の判定を書いておくと、不等号を反転した理由が答案に残ります。

グラフの移動では、y = aのx乗 + 2なら各点を上へ2動かします。横軸に近づいていた部分は直線y = 2に近づきますが、そこに達することはありません。値の範囲はy > 2です。指数の中にx − 2がある場合は右へ2動くので、グラフ全体に足す数と指数の中の数を区別してください。

基本例題：同じ底にして比較する

次の不等式を解き、答えをxの範囲で表してください。

(1/2)の(x − 1)乗 ≧ 8

まず右辺を左辺と同じ底にします。8 = 2の3乗であり、1/2は2の逆数です。したがって8 = (1/2)の(-3)乗です。指数の符号を変えてから比較するところが、最初の分かれ目です。

(1/2)の(x − 1)乗 ≧ (1/2)の(-3)乗

ここで底は0より大きく1より小さいので、指数が小さいほうの値が大きくなります。等号も含めて指数を比べると、次のようになります。

x − 1 ≦ -3

両辺に1を加えて、答えは x ≦ -2 です。指数の比較から一次不等式に移るとき、向きが変わった理由を底の範囲とともに書いてください。

図2のように、境界のx = -2では左辺の指数が-3になり、両辺が等しくなります。そこから左に移れば指数は-3より小さくなり、底が1/2の累乗の値は8より大きくなります。右に移れば逆に8より小さいため、等号を含めた左側が答えです。

図2の境界を元の式に戻すと、(1/2)の(-3)乗 = 8で等号が成立します。さらにx = -3なら左辺は(1/2)の(-4)乗 = 16で、8以上です。反対にx = -1なら左辺は4で、条件を満たしません。この代入は方向の点検です。範囲全体が答えになる根拠は、底が1未満の指数関数の減少性と、上の同値な変形にあります。

方程式なら不等号の向きは問題になりません。同じ底で値が等しいことから指数が等しいと置き、一次方程式を解きます。ただし底をそろえる前に、指数の負号を落とすと境界そのものを間違えます。逆数の累乗を書き直した後、一度元の数に戻して確認すると間違いを見つけやすくなります。

置き換えて二次式にする

方程式 4のx乗 − 5・2のx乗 + 4 = 0 を解き、答えを整数で表してください。

4のx乗は、2のx乗の2乗です。そこで t = 2のx乗 と置くと、t > 0であり、元の式は次の二次方程式になります。

t² − 5t + 4 = 0

(t − 1)(t − 4) = 0

t = 1 または t = 4

どちらも正なので、元の指数式に戻せます。2のx乗 = 1 = 2の0乗からx = 0、2のx乗 = 4 = 2の2乗からx = 2です。同じ底の指数関数は単調に増加するので、それぞれこれ以外の実数解はありません。

元の式でx = 0を試すと1 − 5 + 4 = 0、x = 2を試すと16 − 20 + 4 = 0です。2つとも与えられた方程式を満たします。因数分解で得た候補が正かを調べてから元に戻す順序なら、負の候補が出る別の問題でも迷いません。

置換を使う不等式では、二次不等式を解いた後にt > 0との共通部分を取ります。例えば二次式の条件からt < 3が出ても、元の指数式に対応するのは0 < t < 3の部分です。負のtまで指数に戻すことはできません。さらに最後は底の増減に応じてxの範囲へ直し、端点に等号があるかを引き継ぎます。

向きを誤った答案を直す

次の誤答を考えます。(1/3)のx乗 > (1/3)の2乗から、指数をそのまま比べてx > 2とする答案です。底が同じなので指数を比べる着眼点は合っていますが、底が1未満であることを見落としています。

底1/3の指数関数は減少するため、値が右辺より大きいのは指数が2より小さい側です。正しくはx < 2です。x = 1では左辺1/3が右辺1/9より大きく、条件を満たします。誤答のx > 2にはこの値が含まれません。逆にx = 3では左辺1/27が右辺より小さく、条件を満たしません。

図3のように、指数の順序と値の順序を上下に並べると、矢印の向きが逆になることを確認できます。等号のない問題なのでx = 2は含めません。等号を含む不等式なら境界を含める点も併せて書き直します。

もう1つの失敗は、置換後にt = -2を得て、2のx乗 = -2を解こうとすることです。指数関数の値は正なので、この候補は元の条件を満たしません。二次方程式としての解と、指数式から生じる値の範囲を区別し、候補を採用する前にt > 0を確認します。

手を動かす問題

次の4問を解いてください。方程式は実数解を整数または分数で、不等式はxの範囲で表します。グラフの問題では点の座標と値の範囲を正確に答えます。

1. 3の(2x − 1)乗 = 27 を解いてください。
2. (1/4)の(x + 1)乗 < 1/16 を解いてください。
3. 9のx乗 − 2・3のx乗 − 3 = 0 を解いてください。
4. y = 5のx乗 − 1について、x = 0の点の座標と、yの値の範囲を求めてください。

答えと道筋

1. 27 = 3の3乗です。同じ底にそろえると2x − 1 = 3なので、2x = 4、x = 2です。元の左辺は3の3乗 = 27となり、右辺に一致します。底が1より大きい指数関数は増加するので、この指数の一致から得た解以外はありません。

2. 1/16 = (1/4)の2乗です。底は0と1の間にあるため、指数を比べるとx + 1 > 2となり、x > 1です。x = 1では両辺が等しいため含めません。例えばx = 2では左辺1/64が1/16より小さく、元の条件に合います。x = 0では左辺1/4が1/16より大きいので、境界の反対側は条件を満たしません。減少性によって、その両側全体の向きが決まります。

3. t = 3のx乗と置くとt > 0で、9のx乗 = t²です。したがってt² − 2t − 3 = 0、(t − 3)(t + 1) = 0です。t = 3または-1ですが、-1はt > 0に反するので除きます。3のx乗 = 3よりx = 1です。元の式に戻すと9 − 6 − 3 = 0となります。負の根を除くことと、残った根を元の式で点検することは別の確認です。

4. x = 0なら5の0乗 − 1 = 0なので、点は(0, 0)です。5のx乗は常に正で、正の値をすべて取るため、1を引いた値の範囲はy > -1です。y = -1にはならず、下端に等号はつきません。元の式で点の値を確かめ、グラフを下へ1移すと基準の点(0, 1)が(0, 0)に移ることとも照合できます。

解答を見直すときの分岐

底をそろえられないまま指数を比較していないか、まず両辺の形を見直します。例えば左辺と右辺が互いに逆数の底なら、片方の底を変えると同時に指数の符号を変えます。底の変換と不等号の反転は別の手順です。前者は同じ値を別の形に書く操作で、後者は減少する関数の値の大小を指数の大小へ読み替える操作です。2つを一度に暗算すると、どこで符号や向きが変わったのか追いにくくなります。

また、指数部分が一次式であれば、指数の不等式に直した後も一次不等式の規則を使います。負の数で両辺を割るときには、底の減少性とは別の理由でもう一度不等号が反転します。途中の各行が直前の行と同じ条件を表すかを確かめると、反転が2回あっても整理できます。

置換では二次式が因数分解できたところで終わりではありません。文字の範囲と求められたものを見比べます。正の候補でも、元の指数に戻してxの値や範囲に直す必要があります。不等式の答えが複数の区間に分かれた場合は、各区間とt > 0の共通部分を取り、それぞれの端点が含まれるかを確かめます。指数関数は正の値を取り、底が正で1以外なら単調なので、その対応を使って余分な区間を作らずに戻せます。

グラフの問題では、点を1つ取っただけで形を決めないことも大切です。x = 0の値は共通でも、底が1の上か下かで右側の向きが変わります。さらに、横軸に近づくことと横軸に交わることは違います。値が常に正という式の条件と、曲線が軸の上側にある図を対応させると、値の範囲の端に等号を付ける誤りを避けられます。

例えば境界を含むか迷ったときは、その値を元の不等式へ代入します。等号が成り立ち、問題の不等号が等号を含むなら境界は解です。等号を含まない場合は、境界を除きます。図で塗る範囲を決める際にも同じ判断を使います。

計算前に残すメモ

底は正で1以外、値は正です。
底が1より大きければ増加し、0と1の間なら減少します。
同じ底の不等式では増減に応じて指数の大小を選びます。
置換した指数式の値は正で、解は元の条件に戻して確かめます。

どこで止まっているかを見つける

底をそろえる式は書けるのに不等号を誤るなら、指数を1ずつ増やした値を並べ、増加か減少かを説明できるか試します。逆数に直す段階で止まるなら、負の指数を分数に戻して元の数と一致するかを調べます。置換後に負の値を残す場合は、元の指数関数の値の範囲へ戻る練習が必要です。

個別指導で確かめる場面では、答えの数字だけでなく、底の判定から不等号を選ぶまでの理由を声に出して説明できるかを見ます。境界で等号が成立するか、境界の両側の値が元の条件に合うかも順に確かめます。指数関数の増減が、解の範囲を選ぶ根拠です。