高校数学B 確率変数の事象—以上と未満の境界を値の集合に直して確率を求める｜武蔵野個別指導塾

不良個数の表で「以上」と「超える」を区別し、補集合や和集合に含める列を選びます。

よくあるのは、高2が検品で見つかった不良個数について「少なくとも2個」を「2個を超える」と読み違える場面です。2個ちょうどの確率を足すかどうかで答えが変わります。表を眺めてすぐに足し始める前に、条件を満たす個数を並べると、境界の取り違えを防げます。

不良個数は0個から検品した個数までの整数です。ここでは値ごとの確率が与えられた離散型の確率変数を扱います。連続型の一点の確率や面積による扱いは別の話です。

問われ方を見分ける

第一の型は、以上、以下、未満、超えるという言葉を不等号にし、該当する値の確率を足す問題です。例えば整数値をとる X について「3以上」は X ≧ 3 で、3を含みます。「3を超える」は X > 3 で、3を含みません。表に3の列があるとき、この差を見落とせません。

第二の型は、求める側の値が多いときに、その反対側を使う問題です。「少なくとも1個」の反対は「0個」です。全体の確率1から0個の確率を引けばよいので、列を数多く足す負担が減ります。ただし、何を反対にするかを言葉と値の両方で確認します。

第三の型は、2つの条件が同時に成り立つ場合や、どちらかが成り立つ場合です。「かつ」なら共通する値を選びます。「または」なら両方の値を集め、重なった値を二重に数えません。条件が食い違えば共通部分は空になり、その確率は0です。

値の集合を先に作る

確率変数とは、試行の結果に応じて値が定まる変数です。離散型の X がとりうる値とそれぞれの確率を表にしたものが確率分布です。各確率は0以上で、全体の和は1です。事象は、試行の結果のうち、指定された条件を満たすものの集まりです。X の条件は、その値を通して事象を表します。

例えば X のとりうる値が 0, 1, 2, 3, 4 なら、X ≧ 2 に対応する値は 2, 3, 4 です。X > 2 に対応する値は 3, 4 です。X ≦ 2 は 0, 1, 2、X < 2 は 0, 1 です。「少なくとも」は以上、「高々」は以下を表します。「未満」と「超える」は境界を含みません。

図1のように、まず表にある値を左から並べ、条件に合う点を選びます。整数以外の境界でも、同じ方法を使えます。例えば X < 2.5 なら 0, 1, 2 が該当します。2.5自体は表の値でないため、そこを含むかどうかはこの表では確率を変えません。

図1では2以上に2が入り、2を超える場合には入りません。選んだ各値に対応する事象は互いに重ならないため、それらの確率を足せます。値の個数を数えるだけでは確率になりません。各値の確率が同じとは限らないからです。

補集合は、ある事象が起こらない結果全体です。X ≧ 2 の補集合は X < 2 であり、X ≦ 2 ではありません。境界の2を元の事象に入れた以上、補集合には入れないことが重要です。逆に X > 2 の補集合は X ≦ 2 です。元の集合と補集合に重なりがなく、合わせると表の値が全部入るかを確かめます。

基本例題：不良個数の境界

ある検品で不良個数を X とします。X の分布は次の表で与えられます。「少なくとも2個」と「2個を超える」の確率をそれぞれ既約分数で求めてください。

各確率は0以上で、分子の和は 1 + 3 + 3 + 2 + 1 = 10 です。したがって確率の和は1で、与えられた表は分布として整っています。図2のように、まず2を含む側を選びます。

「少なくとも2個」は X ≧ 2 です。該当する値は 2, 3, 4 なので、互いに重ならない確率を足します。

P(X ≧ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)  選んだ値ごとに分ける
           = 3/10 + 2/10 + 1/10  表の確率を代入する
           = 6/10 = 3/5  約分する

図2で選ばれなかった値は0と1です。その確率の和は 1/10 + 3/10 = 4/10 です。選んだ側の 6/10 と合わせると1に戻ります。

一方、「2個を超える」は X > 2 です。2を除き、3と4を選びます。

P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4)  境界の2を除く
          = 2/10 + 1/10  表から読む
          = 3/10  分子を足す

2つの答えの差は 3/5 − 3/10 = 3/10 で、ちょうど2個の確率に一致します。言葉の違いが表の1列の違いに対応していると確認できます。

標準例題：補集合で数える

ある箱から選んだ部品について、傷の数 Y の分布が次の表で与えられます。傷が1個以上ある確率と、3個未満である確率をそれぞれ既約分数で求めてください。

確率は非負で、分子の和は15です。表全体の和が1であることを確かめてから補集合を使います。1個以上の反対は0個なので、次のように求められます。

P(Y ≧ 1) = 1 - P(Y < 1)  補集合を使う
           = 1 - P(Y = 0)  表で1未満は0
           = 1 - 2/15  表から代入する
           = 13/15  通分して引く

直接足しても (4 + 3 + 3 + 2 + 1)/15 = 13/15 です。0個を除いた5列に戻して一致を確認します。

3個未満は 0, 1, 2 です。ここでは直接足す方法を選びます。

P(Y < 3) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)  3を除く
          = (2 + 4 + 3)/15  該当する列を代入する
          = 9/15 = 3/5  約分する

反対側は3, 4, 5で、その和は (3 + 2 + 1)/15 = 6/15 です。9/15 と 6/15 の和は1です。3の列をどちらにも入れると和が1を超えるため、補集合の境界を誤ったことがわかります。

発展例題：重なる条件の整理

ある作業で記録された印の数 Z の分布を次の表とします。A を「2以上5以下」、B を「4以上6以下」とします。A かつ B の確率と、A または B の確率を既約分数で求めてください。「または」は両方に当てはまる場合も含みます。

各確率は非負で、分子の和は20です。A の値は 2, 3, 4, 5、B の値は 4, 5, 6 です。両方の条件を満たす値は 4, 5 です。

P(A かつ B) = P(Z = 4) + P(Z = 5)  共通の値を選ぶ
             = 4/20 + 3/20  表から読む
             = 7/20  分子を足す

少なくとも一方を満たす値は 2, 3, 4, 5, 6 です。共通の4と5も各1回だけ足します。

P(A または B) = (3 + 4 + 4 + 3 + 3)/20  選んだ各列を足す
               = 17/20  分子をまとめる

別の確かめ方として、P(A) = 14/20、P(B) = 10/20 です。これらを足すと共通部分を2回数えるので、7/20 を1回引きます。(14 + 10 − 7)/20 = 17/20 となり、直接選んだ答えと一致します。どちらにも入らない値は0と1で、確率は 3/20 です。これを17/20に足すと1に戻ります。

2つの条件に共通する値がなければ、共通部分の確率は0です。逆に一方の値が他方にすべて含まれれば、両方の確率を単純に足すことはできません。まず値を並べる作業は、どちらの場合にも役立ちます。

誤答を直す：補集合の境界

基本例題で X ≧ 2 を求める際、「反対は X ≦ 2 だから、1から0, 1, 2の確率を引く」とすると、1 − 7/10 = 3/10 になります。これは誤りです。図3のように、2が元の条件と引く側の両方に入ってしまいます。

図3では境界の2を元の事象に置き、補集合は0と1に限ります。修正すると 1 − (1/10 + 3/10) = 6/10 = 3/5 です。直接足した基本例題の答えに戻ります。

もう一つの誤りは、発展例題で A と B の確率をそのまま足すことです。4と5が両方に含まれるため、合計 24/20 は1を超えます。確率が1を超えたら明らかな異常ですが、重複が小さいと1以下に収まっても誤りです。値の共通部分を探して引くか、和集合の値を一度ずつ足して確かめます。

また、該当する値が見つからないとき、表にない値の確率を想像して足してはいけません。与えられたとりうる値の範囲で条件を調べ、該当値がなければ確率は0です。反対に、すべての値が条件を満たせば確率は1です。0と1も正当な答えです。

練習問題

各表はその変数のとりうる値をすべて示します。答えは既約分数で表し、0または1の場合は整数で答えてください。

1. 袋の中の印付き札の枚数 U の分布は、値 0, 1, 2, 3 に対し確率が順に 1/8, 2/8, 4/8, 1/8 です。U が1以下である確率を求めてください。
2. 机に届いた封筒の数 V の分布は、値 0, 1, 2, 3, 4 に対し確率が順に 1/12, 2/12, 3/12, 4/12, 2/12 です。V が3未満である確率と、3を超える確率を求めてください。
3. 植木鉢に出た芽の数 W の分布は、値 0, 1, 2, 3, 4 に対し確率が順に 1/9, 2/9, 2/9, 3/9, 1/9 です。W が少なくとも1である確率を補集合で求めてください。
4. 工作で使った留め具の数 T の分布は、値 0, 1, 2, 3, 4, 5 に対し確率が順に 1/16, 2/16, 3/16, 4/16, 4/16, 2/16 です。C を「1以上3以下」、D を「3以上4以下」とするとき、C かつ D と C または D の確率を求めてください。
5. 一度に運ぶ箱の数 R の分布は、値 1, 2, 3 に対し確率が順に 2/7, 3/7, 2/7 です。R が3を超える確率と、R が1以上である確率を求めてください。

練習の答えと解き方

1. 確率の分子の和は8で、表の和は1です。1以下に入る値は0と1です。

P(U ≦ 1) = 1/8 + 2/8  0と1の列を足す
           = 3/8  分子を足す

残りの2と3の確率は 5/8 です。3/8 と合わせて1となり、境界を漏らさず分けられています。

2. 分子の和は12で、表の和は1です。3未満には0, 1, 2が入り、3を超える値は4です。

P(V < 3) = (1 + 2 + 3)/12  3の列を除いて足す
          = 6/12 = 1/2  約分する
P(V > 3) = 2/12  4の列を読む
          = 1/6  約分する

残る3の確率は 4/12 です。6/12, 2/12, 4/12 の和が1なので、3つの領域で表を分けられています。

3. 分子の和は9で、表の和は1です。少なくとも1の反対は0です。

P(W ≧ 1) = 1 - P(W = 0)  補集合を使う
          = 1 - 1/9  0の列を代入する
          = 8/9  引き算する

直接、1から4の列を足すと (2 + 2 + 3 + 1)/9 = 8/9 です。答えを表に戻しても一致します。

4. 分子の和は16で、表の和は1です。C の値は 1, 2, 3、D の値は 3, 4 です。共通部分は3で、どちらかに入る値は 1, 2, 3, 4 です。

P(C かつ D) = 4/16 = 1/4  3の列を読む
P(C または D) = (2 + 3 + 4 + 4)/16  各列を一度ずつ足す
               = 13/16  分子をまとめる

どちらにも入らない0と5の確率の和は 3/16 です。13/16 と足して1に戻ります。共通の3を二度足していないかも確かめられます。

5. 分子の和は7で、表の和は1です。3を超える値は表にないため、対応する事象は起こりません。一方、表の値はすべて1以上です。

P(R > 3) = 0  該当する値がない
P(R ≧ 1) = (2 + 3 + 2)/7  表の全列を足す
           = 1  分子の和は7

前者の反対は R ≦ 3 で確率1、後者の反対は R < 1 で確率0です。どちらも元の表に戻して確かめられます。

覚えておくこと

以上と以下は境界を含み、未満と超えるは含みません。 表の値を選び、対応する確率を足します。 補集合は重なりなく全体を埋め、和は1です。 「かつ」は共通部分、「または」は重複を除いた和集合です。

つまずきの見分け方

式を書く前に、条件を満たす値を口に出して並べてもらうと、言葉の理解と足し算の間違いを区別できます。例えば基本例題の X ≧ 2 で3と4しか挙がらなければ、2を含む「以上」の意味から戻ります。値は正しいのに答えが合わなければ、選んだ列の確率を写し間違えていないかを確認します。

個別指導では、X ≧ 2 の反対を X < 2 と書き、両側に2が重ならないことを表で確かめます。さらに「かつ」と「または」で共通部分をそれぞれ何回数えたかを説明してもらいます。境界を値に戻して見る習慣が、確率変数の事象を正確に読む土台です。