高校数学B 確率変数の期待値—重み付きの平均から未知の確率を逆算して確かめる｜武蔵野個別指導塾

封筒の得点を確率で重み付けし、未知の確率を逆算し、候補の妥当性から見直す期待値です。

よくあるのは、高2が封筒に書かれた得点を見て、得点の種類を単純に平均する場面です。封筒を1通選ぶとき、得点ごとの封筒の枚数が違えば、各得点の出やすさも違います。たとえば高い得点の封筒が少ない場合、最高点を低い得点と同じ重さで平均してよいとは限りません。1回の結果と、同じ条件の試行を繰り返したときの平均の基準を分け、確率を重みとして計算しましょう。

何を求める問題か

期待値の問題には、分布から平均を求める型と、平均から未知の確率を求める型があります。前者では、得点の値と、その値が現れる確率を組にして掛け、積を足します。確率の異なる値を同じ回数ずつ現れるかのように扱わないことが出発点です。

後者では、未知の確率を文字で置き、確率の和が1であることと期待値の条件を式にします。方程式が解けても、その数が0以上1以下で、残りの確率も0以上になるかを確かめます。条件を満たす確率が存在しない場合も、計算の失敗とは限りません。与えられた平均と確率の条件が両立しないことが答えになるからです。

さらに、期待値が実際に取る値に含まれるかを問う型もあります。期待値は分布の重心を表す数であり、次の1回で必ず得られる値でも、最も出やすい値でもありません。分数の得点が期待値となっても、封筒の中にその得点が書かれている必要はありません。

確率を重みにする

離散型の確率変数 X が値 x₁, x₂, …, xₙ をそれぞれ確率 p₁, p₂, …, pₙ で取るとします。各確率は0以上で、その和は1です。このとき X の期待値、または平均 E(X) は次のように定義されます。

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

各項は「値と、その値を取る確率の積」です。確率0の値は積が0となり、平均に寄与しません。負の値があれば、その項は負になることにも注意します。期待値そのものは確率ではないので、0から1の間に限られません。得点の期待値の単位は、元の得点と同じ点です。

図1のように、値ごとに確率を掛け、最後に足します。値だけを足して種類数で割る方法が一致するのは、各値の確率が等しい場合です。封筒が同様に確からしく選ばれるなら、同じ得点の封筒の枚数を全枚数で割って確率に直せます。

図1では値と確率が対応する位置にあります。対応を入れ替えると、確率の和が1であっても別の分布の平均になります。表を横に読むか縦に読むかを決め、各列の対応を保って計算します。

この式が平均と呼ばれる理由は、たとえば確率が分数で表され、確率を共通の分母で表し、各値が対応する分子の回数ずつ現れると考えると見えます。そのときの得点の合計を回数で割れば、値と確率の積の和になります。ただし実際の有限回の結果は、その割合にぴったり一致するとは限りません。期待値は1回の結果を予言する数ではなく、分布から決まる基準です。

基本例題：封筒の枚数を重みにする

同じ大きさの封筒が10通あります。中には2点のカードが6通、7点のカードが3通、12点のカードが1通入っています。どの封筒も同様に確からしく1通選ぶとき、得点 X の期待値を分数で求めてください。また、期待値が1回の得点として現れるか答えてください。

図2のように、まず枚数を10で割って各得点の確率にします。3種類の得点を同じ重さにするのではなく、封筒を選ぶ条件から重みを決めます。

確率の和は 6/10 + 3/10 + 1/10 = 1 です。各値と確率の対応を保って定義に代入します。

E(X) = 2・(6/10) + 7・(3/10) + 12・(1/10)
     = 12/10 + 21/10 + 12/10
     = 45/10
     = 9/2

したがって期待値は 9/2 点です。実際の得点は2点、7点、12点のいずれかなので、9/2 点は1回の得点として現れません。それでも定義に従う平均は存在します。

確かめとして、10通の得点の合計は 6・2 + 3・7 + 1・12 = 45 点です。これを10通で割ると 45/10 点となり、確率を使った結果に戻ります。一方、得点の種類の単純平均は (2 + 7 + 12)/3 = 7 点で、封筒の枚数の違いを反映していません。

標準例題：平均から確率を戻す

あるくじの得点 Y は0点、4点、10点のいずれかです。0点の確率は 1/4、10点の確率は p、4点の確率は残りとします。期待値が 4 点のとき、p と4点の確率を分数で求めてください。

まず確率の和が1なので、4点の確率は 1 − 1/4 − p = 3/4 − p です。確率として意味を持つため、p ≧ 0 かつ 3/4 − p ≧ 0、つまり 0 ≦ p ≦ 3/4 が必要です。これを先に書くと、後で出た候補を点検できます。

期待値の条件を使い、0点にも対応する確率を掛けます。

0・(1/4) + 4・(3/4 - p) + 10p = 4
3 - 4p + 10p = 4
6p = 1
p = 1/6

4点の確率は 3/4 − 1/6 = 7/12 です。候補 1/6 は 0 ≦ p ≦ 3/4 を満たし、残る確率も正です。確率の和に戻すと 1/4 + 7/12 + 1/6 = 1 です。

期待値にも戻すと、0・(1/4) + 4・(7/12) + 10・(1/6) = 28/12 + 20/12 = 4 点です。2つの条件をともに満たすので、求める確率は 10点が 1/6、4点が 7/12 です。期待値4点と実現可能な4点が一致しても、毎回4点になるわけではありません。

発展例題：条件が両立する範囲

得点 Z は -2点、3点、8点のいずれかを取ります。-2点と8点の確率は等しく、それぞれ q、3点の確率は残りです。期待値を求め、期待値が3点となる分布をすべて表してください。さらに、8点の確率が 2/3 という追加条件があるとき、分布が作れるか答えてください。

確率の和から3点の確率は 1 − 2q です。3つの確率が0以上であるための条件は q ≧ 0、1 − 2q ≧ 0、すなわち 0 ≦ q ≦ 1/2 です。この範囲なら各確率の和も1で、各確率は1以下です。

定義に代入し、項をまとめます。

E(Z) = (-2)q + 3(1 - 2q) + 8q
     = -2q + 3 - 6q + 8q
     = 3

よって期待値は q の値にかかわらず3点です。条件を満たす分布は、0 ≦ q ≦ 1/2 に対して、順に q、1 − 2q、q を確率とするものです。中心3点からの距離が両側とも5点で、両側の確率が等しいため、それぞれのずれが打ち消し合います。

追加条件 q = 2/3 は 1/2 を超えます。実際に戻すと3点の確率は 1 − 2・(2/3) = -1/3 となり、確率にはなりません。形式的に期待値の式が3になっても、負の確率を含む表は分布ではないため、追加条件を満たす分布は作れません。逆算では方程式だけでなく、元の表に戻すことが必要です。

誤答を直す：値と重みを混ぜない

基本例題で「(2 + 7 + 12)/3 = 7 点が期待値」と答える誤りを考えます。この式は3種類の値をそれぞれ同じ回数だけ使う平均です。しかし実際の封筒は6通、3通、1通なので、その前提が問題と一致しません。図3のように、誤りは足し算そのものではなく、値の重みの置き方にあります。

修正するには、各値の下に対応する確率を並べ、2・(6/10)、7・(3/10)、12・(1/10) を足します。結果は 9/2 点です。図3で左右の重みを見比べると、等しい重みを使う場合と問題の重みを使う場合が別の計算だとわかります。

別の誤りは、未知確率の方程式で得た数をそのまま答えにすることです。負の数や1を超える数が出たら、元の確率として使えません。計算を見直したうえでなお条件に合わなければ、条件を満たす分布は存在しないと結論します。また、期待値が得点の候補にないことを理由に、分布が存在しないと判断してはいけません。確率の妥当性と、期待値が実現値かどうかは別の確認です。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立した設定です。答えは指定の形で示し、確率を求める問題では元の条件も確かめてください。

1. 同様に確からしく選ぶ8枚の札に、1点が2枚、5点が5枚、9点が1枚あります。得点の期待値を分数で求め、1回の得点として現れるか答えてください。
2. 変数 A は -3、2、6 をそれぞれ 1/5、1/2、3/10 の確率で取ります。E(A) を分数で求めてください。
3. 変数 B は1、5、9を取ります。1の確率は 1/3、9の確率は r、5の確率は残りです。E(B) = 5 のとき、r と5の確率を分数で求めてください。
4. 変数 C は0、6を取り、6の確率を s とします。E(C) = 8 を満たす確率分布があるか答えてください。
5. 変数 D は2、8、14を取り、2と14の確率はともに t です。E(D) と、分布が成立する t の範囲を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

選ばれる確率は順に 2/8、5/8、1/8 で、その和は1です。各得点と確率を掛けます。

E = 1・(2/8) + 5・(5/8) + 9・(1/8)
  = (2 + 25 + 9)/8
  = 36/8
  = 9/2

期待値は 9/2 点で、札の得点1、5、9のいずれとも異なるため、1回の得点として現れません。札の合計点 2 + 25 + 9 = 36 を8枚で割っても 9/2 点です。

2

確率の和は 1/5 + 1/2 + 3/10 = 1 です。負の値の項は負のまま足します。

E(A) = (-3)・(1/5) + 2・(1/2) + 6・(3/10)
     = -3/5 + 1 + 18/10
     = -6/10 + 10/10 + 18/10
     = 11/5

答えは 11/5 です。共通の分母10で見ると、各値が2回、5回、3回現れた場合の合計は -6 + 10 + 18 = 22 です。10で割ると同じ値になります。

3

5の確率は 1 − 1/3 − r = 2/3 − r です。確率の条件は 0 ≦ r ≦ 2/3 です。期待値を5と置きます。

1・(1/3) + 5・(2/3 - r) + 9r = 5
11/3 + 4r = 5
4r = 4/3
r = 1/3

5の確率も 2/3 − 1/3 = 1/3 です。3つの確率の和は1で、いずれも非負です。元の期待値は (1 + 5 + 9)/3 = 5 となるので条件に戻ります。

4

0の確率は 1 − s です。期待値の条件をそのまま式にすると、次のようになります。

0・(1 - s) + 6s = 8
s = 4/3

しかし確率 s は1以下でなければならず、4/3 は使えません。0の確率も -1/3 になってしまいます。したがって条件を満たす確率分布はありません。実際、6が必ず出る場合でも平均は6であり、8には届きません。

5

8の確率は 1 − 2t です。非負の条件 t ≧ 0 と 1 − 2t ≧ 0 から、範囲は 0 ≦ t ≦ 1/2 です。この範囲で確率の和は t + (1 − 2t) + t = 1 です。

E(D) = 2t + 8(1 - 2t) + 14t
     = 2t + 8 - 16t + 14t
     = 8

期待値は8です。端の t = 0 では8が確実に現れ、t = 1/2 では2と14が等確率で現れます。どちらも元の確率条件を満たし、平均は8に戻ります。端を含むかどうかは、確率0が許されることから判断します。

確率が等しいか迷うときは、値の種類ではなく、選ぶ対象を数えます。同じ得点の札が複数あっても、得点の確率にはその枚数をまとめて反映します。まず確率の和が1か確認すれば、数え漏れにも気づきやすくなります。

要点

期待値は、値と対応する確率の積の和です。 未知確率は和が1という条件と期待値の式で求めます。 候補を元の確率と期待値に戻し、非負性を確かめます。 期待値は1回の実現値や最頻の値とは限りません。

つまずきを見分ける

計算前に各値の下へ確率を書いてもらうと、単純平均を使う原因が見えます。封筒の枚数をそのまま掛けた場合は、最後に全枚数で割る必要があるかを一緒に確かめます。未知数を含むときは、残りの確率を1から引く式と、その非負条件を先に書けるかが確認点です。

個別指導では、得られた候補を確率の和と期待値の両方へ戻して説明してもらいます。期待値が実現値にない例でも、確率表が成立する理由を言葉にできれば、1回の結果と平均の基準を区別できています。分布を決める重みが変われば、同じ得点の並びでも期待値は変わります。