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高校数学B 確率変数の分散—偏差の二乗の平均と二乗の平均の差を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 統計的な推測を掘り下げる

作業時間の分布を2通りに計算し、負の答えが出たときにも点検したい確率変数の分散です。

よくあるのは、作業時間の平均からの偏差を足したら0になり、時間にばらつきがないと判断する場面です。平均より短い時間の負の偏差と、長い時間の正の偏差は打ち消し合います。打ち消しの結果だけでは、各時間が平均からどの程度離れていたかを表せません。確率を重みとして偏差の二乗を平均すると、離れ方を一つの数にまとめられます。

分散を問う3つの形

1つ目は、確率分布表から平均と分散を求める問題です。値ごとに確率が異なる場合、値を並べて個数で割るのではなく、それぞれの確率を掛けて足します。分散でも同様に、偏差の二乗に確率を掛けます。

2つ目は、平均と二乗の平均が与えられ、分散を求める問題です。E(X²) は「先に X を二乗してから平均」、E(X)² は「先に平均してから二乗」です。計算する順序が異なるため、同じ記号が並んでいても区別します。

3つ目は、確率に未知の数がある場合や、与えられた平均と分散が両立するかを調べる問題です。式が解けても、確率が負になったり総和が1でなくなったりすれば、確率分布として使えません。分散が負になる条件も成り立ちません。答えを元の分布に戻して確かめましょう。

偏差を二乗してから平均する

離散型の確率変数 X が値 x₁, x₂, … をそれぞれ確率 p₁, p₂, … でとるとします。各確率は0以上で、その総和は1です。期待値を m = E(X) とすると、各値と平均の差 xₖ − m を偏差と呼びます。分散 V(X) は偏差の二乗の期待値 E((X − m)²) です。

図1のように、各値から同じ平均を引き、二乗してから確率を掛けて足します。二乗は負の偏差も正の値に変えますが、離れ方そのものを元の単位で表す操作ではありません。作業時間が分なら、分散の単位は分²です。

図1の順序では、偏差が0の値は分散に寄与せず、遠い値ほど二乗によって大きく寄与します。ただし、遠い値でも確率が小さければ、その分だけ寄与は小さくなります。確率を無視して距離だけを比較しないことが大切です。

計算を短くする公式は次の通りです。

V(X) = E((X - m)²)
     = E(X² - 2mX + m²)
     = E(X²) - 2mE(X) + m²
     = E(X²) - m²
     = E(X²) - E(X)²

2行目は平方の展開です。3行目では期待値の和と定数倍をそれぞれ計算し、定数 m² の期待値が m² であることを使いました。確率の総和が1なので定数の平均はその定数です。4行目は E(X) = m を代入した結果です。独立性の条件は要りません。ここでは1つの確率変数の分布を扱っています。

偏差の二乗は各値で0以上、確率も0以上です。したがって、その積の和 V(X) も0以上です。正の確率を持つ値がすべて平均に等しいとき、またそのときに限って分散は0です。確率0の値は期待値にも分散にも寄与しません。計算結果が負なら、引く順序や確率の掛け忘れを点検します。

基本例題：作業時間の分布

ある作業の所要時間 X 分は、自作のモデルで2分、4分、6分をそれぞれ確率 1/4、1/2、1/4 でとります。分散を分数で求め、単位も付けましょう。まず確率の和は 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 で、各確率も0以上です。

図2のように、まず平均を求め、その平均から各時間までの偏差を調べます。図の左右の距離は等しく、中央では偏差が0です。

期待値は、各時間にその確率を掛けて足すので、次の通りです。

E(X) = 2・(1/4) + 4・(1/2) + 6・(1/4)
     = 1/2 + 2 + 3/2
     = 4

平均は4分です。偏差は順に -2分、0分、2分です。偏差の二乗に確率を掛ける定義から、次のように求められます。

V(X) = (-2)²・(1/4) + 0²・(1/2) + 2²・(1/4)
     = 4・(1/4) + 0 + 4・(1/4)
     = 2

答えは 2分²です。中央の確率は1/2ですが、偏差が0なので分散への寄与は0です。両端はそれぞれ 1分²ずつ寄与します。元の場面に戻すと、平均から2分離れる時間の確率は合わせて1/2であり、偏差の二乗4にその確率を掛けても 4・(1/2) = 2 となります。

別の方法でも確かめます。二乗の平均を出してから、平均の二乗を引きます。

E(X²) = 2²・(1/4) + 4²・(1/2) + 6²・(1/4)
      = 1 + 8 + 9
      = 18
V(X) = 18 - 4²
     = 2

2つの計算は同じ分布を異なる順序で集計しているので、一致します。18は時間の二乗の平均であり、平均時間4の二乗16とは区別します。二乗を先に行うか後に行うかを式に残すと、取り違えを防げます。

標準例題：確率を含む分布

箱から1枚を取り出すとき、記された点数 X は0点、3点、5点で、それぞれの確率は 1/5、2/5、2/5 です。期待値と分散を分数で求めましょう。確率の和は1で、各確率は0以上です。

まず点数に確率を掛けます。

E(X) = 0・(1/5) + 3・(2/5) + 5・(2/5)
     = 0 + 6/5 + 10/5
     = 16/5

次に、点数を先に二乗して確率を掛けます。

E(X²) = 0²・(1/5) + 3²・(2/5) + 5²・(2/5)
      = 0 + 18/5 + 50/5
      = 68/5

二乗の平均から平均の二乗を引くと、次の通りです。

V(X) = 68/5 - (16/5)²
     = 340/25 - 256/25
     = 84/25

期待値は 16/5点、分散は 84/25点²です。元の表で偏差を使っても確認できます。偏差は順に -16/5、-1/5、9/5 なので、二乗に各確率を掛けた和は (256 + 2 + 162)/125 = 420/125 = 84/25 です。分子に現れる係数1、2、2はそれぞれ元の確率の分子に対応します。単純に3個の偏差の二乗を足して3で割ると、確率の違いを失います。

発展例題：未知の確率を戻して調べる

確率変数 Y は1、4、7のいずれかをとり、それぞれの確率は a、1 − 2a、a です。期待値と分散を a で表し、分散が 9/2 となる a を求めましょう。a と答えは分数で表します。

確率がすべて0以上であるためには、a ≧ 0 かつ 1 − 2a ≧ 0 が必要です。よって 0 ≦ a ≦ 1/2 です。この範囲なら確率の和 a + (1 − 2a) + a = 1 も満たします。

期待値を定義どおりに計算します。

E(Y) = 1・a + 4・(1 - 2a) + 7・a
     = a + 4 - 8a + 7a
     = 4

平均4からの偏差は順に -3、0、3 です。したがって、偏差の二乗を重み付けします。

V(Y) = (-3)²・a + 0²・(1 - 2a) + 3²・a
     = 9a + 0 + 9a
     = 18a

条件を代入して解きます。

18a = 9/2
 a = 1/4

1/4 は 0 ≦ a ≦ 1/2 を満たします。元の確率は 1/4、1/2、1/4 で、和は1です。両端の確率の和が1/2、偏差の二乗が9なので、元の場面に戻した分散は 9・(1/2) = 9/2 となり、指定に合います。

別の条件で分散が10と指定された場合も考えます。式を解くと a = 5/9 ですが、これは1/2を超え、中央の確率 1 − 2a = -1/9 が負になります。したがってその条件を満たす確率分布はありません。分散自体が正でも、確率の条件まで満たすとは限らないことが分かれ目です。

誤答を直す：偏差の和と二乗の平均

基本例題で、偏差を確率で重み付けすると (-2)・(1/4) + 0・(1/2) + 2・(1/4) = 0 です。ここから「分散は0」とするのは誤りです。図3のように、負と正が打ち消し合ったことと、個々の偏差が0であることは異なります。

図3の上段は偏差の平均です。左右の寄与は -1/2 と 1/2 で、和は0です。下段では先に偏差を二乗するので、左右の寄与はともに1です。和は2となり、ばらつきが残ります。平均からの偏差の期待値が0になることは、平均の定義から一般に成り立ちます。それだけで分散0とは判断できません。

もう一つの誤りは E(X²) と E(X)² の順序を逆に引くことです。基本例題なら 16 − 18 = -2 となり、分散の非負性に反します。二乗した値の平均18から、平均4の二乗16を引き直します。仮に計算結果が正でも正しいとは限らないため、各確率を掛けたか、平均を二乗したかも元の表で確かめます。

練習問題

次の5問では、確率分布をそれぞれ独立した問題として扱います。数値は自作の条件です。指定された形で答えましょう。

待ち時間 X 分が1分、3分、5分をそれぞれ確率 1/3 でとります。期待値と分散を分数で求め、単位を付けてください。
得点 Y が2点、6点をそれぞれ確率 3/4、1/4 でとります。偏差の二乗の平均と二乗の平均からの差の両方で分散を求め、単位を付けてください。答えは分数で表します。
確率変数 Z について E(Z) = 5、E(Z²) = 29 です。分散を整数で求めてください。また E(Z²) = 20 という条件に変えた場合、両条件が成り立つか答えてください。
品物の重さ W グラムが2、4、6をそれぞれ確率 b、1 − 2b、b でとります。分散が 2グラム²のとき、b を分数で求め、元の確率も求めてください。
確率変数 T は -1、2、4 をそれぞれ確率 1/2、1/4、1/4 でとります。期待値と分散を分数で求めてください。

練習の答えと解き方

1

確率の総和は 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 です。各値に確率を掛けると、平均は次のようになります。

E(X) = 1・(1/3) + 3・(1/3) + 5・(1/3)
     = 9/3
     = 3

偏差は -2、0、2 です。その二乗を確率で重み付けします。

V(X) = 4・(1/3) + 0・(1/3) + 4・(1/3)
     = 8/3

期待値は3分、分散は 8/3分²です。元の時間では両端が平均から2分離れ、それぞれ確率1/3なので、寄与は各4/3分²となり答えに戻ります。

2

確率の和は 3/4 + 1/4 = 1 です。まず平均を求めます。

E(Y) = 2・(3/4) + 6・(1/4)
     = 6/4 + 6/4
     = 3

偏差は -1点と3点です。定義から分散は次の通りです。

V(Y) = (-1)²・(3/4) + 3²・(1/4)
     = 3/4 + 9/4
     = 3

二乗の平均を用いると、次のようにもなります。

E(Y²) = 2²・(3/4) + 6²・(1/4)
      = 3 + 9
      = 12
V(Y) = 12 - 3²
     = 3

分散は 3点²です。元の点数2と6から平均3を引いた偏差を使い直しても同じ3になり、2つの方法が一致します。

3

二乗の平均から平均の二乗を引きます。

V(Z) = 29 - 5²
     = 29 - 25
     = 4

答えは4です。元の条件へ戻すと E(Z²) = V(Z) + E(Z)² = 4 + 25 = 29 です。二乗の平均を20に変えると 20 − 25 = -5 となります。分散は負にならないので、平均5と二乗の平均20を同時に満たす分布はありません。負の答えをそのまま採用しないことが判断の要点です。

4

まず確率の条件は 0 ≦ b ≦ 1/2 で、和は b + (1 − 2b) + b = 1 です。平均は次の通りです。

E(W) = 2b + 4(1 - 2b) + 6b
     = 4

平均からの偏差は -2、0、2 なので、分散は次の通りです。

V(W) = 4b + 0・(1 - 2b) + 4b
     = 8b
8b = 2
 b = 1/4

b = 1/4 は許される範囲にあります。元の確率は順に 1/4、1/2、1/4 で、和は1です。重さ2と6は平均4からそれぞれ2グラム離れ、両端の確率の和は1/2です。よって元の条件の分散は 4・(1/2) = 2グラム²に戻ります。

5

確率の総和は 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1 です。負の値も、そのまま確率を掛けて平均します。

E(T) = (-1)・(1/2) + 2・(1/4) + 4・(1/4)
     = -1/2 + 1/2 + 1
     = 1
E(T²) = (-1)²・(1/2) + 2²・(1/4) + 4²・(1/4)
      = 1/2 + 1 + 4
      = 11/2
V(T) = 11/2 - 1²
     = 9/2

期待値は1、分散は 9/2 です。元の値からの偏差は -2、1、3 です。その二乗の重み付き和は 4・(1/2) + 1・(1/4) + 9・(1/4) = 9/2 となり、元の分布でも確かめられます。