高校数学B 確率変数の標準偏差—分散の平方根と単位からばらつきの大きさを比べる｜武蔵野個別指導塾

同じ平均の得点表を比べ、平方根と単位から捉えるのは標準偏差です。

よくあるのは、高2が同じ平均の二つの得点表を見て、同じ分布だと考える場面です。平均が同じなら、点数の中心はそろいます。しかし、中心付近の点数が多い表と、中心から離れた点数が多い表は区別したいところです。確率を重みとして散らばりを測り、得点と同じ単位で表す道具が標準偏差です。

どんな問いで使うか

第1の型は、確率分布表から期待値、分散、標準偏差を順に求める問題です。値の差を二乗して確率をかけるため、出現しやすい値ほど計算に大きく反映されます。最後に平方根を取り、非負の値を答えます。

第2の型は、平均が同じ二つの分布の散らばりを比べる問題です。平均が等しいという条件を確認し、それぞれの標準偏差を計算します。大小の判断には分散を使ってもよいですが、求める量が標準偏差なら平方根まで書きます。

第3の型は、標準偏差が0となる条件や、分散と単位の関係を説明する問題です。公式に数字を入れるだけでなく、各項が負にならないことと、確率0の値が平均に影響しないことを押さえます。一次変換の公式は使わず、ここでは与えられた分布そのものを調べます。

平方根を取る理由と条件

離散型の確率変数 X が値 x₁, x₂, … をそれぞれ確率 p₁, p₂, … で取るとします。各確率は0以上で、その和は1です。期待値 m = E(X) は、各値にその確率をかけて足したものです。偏差 X − m は中心からの符号つきのずれです。

標準偏差を求める前に、偏差 X − m を二乗して期待値を計算し、分散 V(X) = E((X − m)²) を得ます。二乗してから確率で重みを付けるので、正負のずれが相殺されません。標準偏差 σ(X) は分散の非負の平方根 √V(X) と定義します。分散は0以上なので、この平方根は実数として定まります。

図1のように、得点が「点」で測られるとき、偏差も点、偏差の二乗と分散は点の二乗に対応します。平方根を取った標準偏差は点に戻るため、元の得点の尺度で散らばりを読み取れます。分散が9点の二乗なら、標準偏差は3点です。分散が正ならその平方根は正負の二つ、0なら平方根は0だけです。標準偏差には非負の平方根を用います。

図1のように、単位を戻す操作と平均を求める操作は別です。標準偏差は「各結果が必ず平均からその距離にある」という意味ではありません。異なる距離を確率で重み付けした二乗平均の平方根です。また、期待値が同じでも分布が同じとは限りません。標準偏差も同じであっても、そこから分布全体を一意に決めることはできません。

分散には V(X) = E(X²) − {E(X)}² という計算式もあります。偏差の二乗を展開し、確率の総和が1であることを使って得られます。表の値が大きく、平均からの差が小さい場合には、偏差を直接計算する方法が見通しをよくすることもあります。どちらの方法でも同じ分散に戻るかを点検できます。

基本例題：二つの得点表を比べる

問題　得点 X と Y の分布を次の表とします。それぞれの期待値と標準偏差を点を単位に求め、同じ平均のもとで散らばりを比べてください。平方根が必要なら根号のままで答えます。

各行の確率は負でなく、和はそれぞれ1です。したがって、どちらも確率分布として計算できます。図2のように、両者の中心は同じでも、中心から離れた得点に置かれた確率が違います。

図2のように X は4点にも確率があり、Y は両端に確率が集まります。まず期待値をそれぞれ求めます。

E(X) = 2・(1/4) + 4・(1/2) + 6・(1/4)
     = 1/2 + 2 + 3/2 = 4
E(Y) = 2・(1/2) + 4・0 + 6・(1/2)
     = 1 + 0 + 3 = 4

各得点に対応する確率をかけて足しました。平均はいずれも4点です。中心からの偏差を使うと、X の分散は次のようになります。

V(X) = (2 - 4)²・(1/4) + (4 - 4)²・(1/2) + (6 - 4)²・(1/4)
     = 4・(1/4) + 0・(1/2) + 4・(1/4)
     = 1 + 0 + 1 = 2
σ(X) = √2

同様に Y については、真ん中の得点の確率が0であることに注意します。

V(Y) = (2 - 4)²・(1/2) + (4 - 4)²・0 + (6 - 4)²・(1/2)
     = 4・(1/2) + 0 + 4・(1/2)
     = 2 + 2 = 4
σ(Y) = √4 = 2

答えは X が √2点、Y が2点です。2 < 4 なので √2 < 2 であり、同じ平均のもとで Y の方が大きく散らばります。両端から平均までの距離は2点で、Y では必ずそのどちらかになるため、標準偏差が2点であることも表に戻して確かめられます。

標準例題：確率が変わるとき

問題　ある札の得点 T は 1点、5点、9点のいずれかです。両端の確率はそれぞれ a、5点の確率は 1 − 2a とします。0 ≦ a ≦ 1/2 のとき、期待値と標準偏差を a を使って求めてください。また、a = 1/8 と a = 1/2 のどちらが大きく散らばるか、根号を用いて答えてください。

条件により a と 1 − 2a は0以上で、確率の和は a + (1 − 2a) + a = 1 です。したがって端の値も含めて分布が成立します。まず左右が同じ確率であることを式に反映します。

E(T) = 1・a + 5・(1 - 2a) + 9・a
     = a + 5 - 10a + 9a
     = 5

平均は a によらず5点です。両端の偏差はそれぞれ -4点と4点、中央の偏差は0点です。

V(T) = (1 - 5)²・a + (5 - 5)²・(1 - 2a) + (9 - 5)²・a
     = 16a + 0 + 16a
     = 32a
σ(T) = √(32a)

a は0以上なので、根号の中は負になりません。a = 1/8 なら分散は4、標準偏差は2点です。a = 1/2 なら分散は16、標準偏差は4点です。後者の方が散らばります。前者は中央の確率が3/4、後者は中央の確率が0で、両端の確率の合計が増えるという表の変化とも一致します。

この式に a = 0 を戻すと中央の5点が確率1で、分散も標準偏差も0です。一方、a の範囲外を代入すると確率が負になる場合があり、得られた式だけを頼りに分布として扱うことはできません。計算の前に確率の条件を確かめる理由がここにあります。

発展例題：標準偏差0の意味

問題　確率変数 U が 3点、7点、11点をそれぞれ確率 b、1 − b、0 で取ります。0 ≦ b ≦ 1 とします。標準偏差が0となる b をすべて求め、そのときの得点を答えてください。

まず確率の和は b + (1 − b) + 0 = 1 であり、条件から各確率は0以上です。期待値を b で表します。

E(U) = 3b + 7(1 - b) + 11・0
     = 7 - 4b

二乗の期待値を使うと、分散を因数分解できます。

E(U²) = 3²・b + 7²・(1 - b) + 11²・0
      = 9b + 49 - 49b = 49 - 40b
V(U) = E(U²) - {E(U)}²
     = 49 - 40b - (7 - 4b)²
     = 49 - 40b - (49 - 56b + 16b²)
     = 16b(1 - b)

標準偏差 √V(U) が0であることと、分散 V(U) が0であることは同値です。よって 16b(1 − b) = 0 から b = 0 または b = 1 です。どちらも指定された範囲に入ります。b = 0 なら7点が確率1、b = 1 なら3点が確率1です。11点はどちらの場合も確率0であり、実際に正の確率で取る得点の散らばりを増やしません。

一般にも、分散は非負の項 (値 − 平均)²・確率 の和です。その和が0なら、正の確率を持つ各値について偏差の二乗が0でなければなりません。つまり正の確率で取る値は平均と一致します。逆に、ある値を確率1で取るなら平均はその値で、偏差は0となり標準偏差も0です。確率0の候補値まで平均と等しい必要はありません。

誤答を直す：分散をそのまま答えない

基本例題で「X の標準偏差は2点、Y の標準偏差は4点」としたとします。これは途中で得た分散を、平方根を取らずに標準偏差として書いた誤答です。大小の順序は偶然合っていますが、求められた量と単位が異なります。

図3のように、X の分散2からは √2、Y の分散4からは2へ進みます。分散が表す二乗の尺度から、得点と同じ尺度へ戻して答えます。

図3のように、平方根の結果を二乗すれば元の分散に戻ります。√2 を二乗すると2、2を二乗すると4です。逆に2と4をそのまま標準偏差にすると、それらの二乗は4と16になり、元の分散と合いません。検算では「答えの二乗が分散か」「負でないか」「単位は元の量か」を順に見ます。

別の誤りは、偏差の符号をそのまま平均して0だから散らばりも0とすることです。期待値の定義から偏差の期待値は0ですが、正と負が打ち消し合うためです。二乗してから平均すれば、離れた値の寄与が残ります。0であることを示したい場合は、単に偏差の和を見るのではなく、正の確率を持つ各値が平均と一致するかを調べます。

練習問題

次の5問では、与えられた確率はすべて0以上で和は1です。標準偏差は非負の根号または整数で答え、量に単位がある場合は単位も付けてください。

1. 袋から取り出した札の点数 A は 0点、6点をそれぞれ確率 1/2、1/2 で取ります。期待値と標準偏差を求めてください。
2. 箱に入れる部品の個数 B は 1個、3個、5個をそれぞれ確率 1/8、3/4、1/8 で取ります。期待値と標準偏差を求めてください。
3. 所要時間 C は 2分、8分をそれぞれ確率 1/3、2/3 で取ります。期待値と標準偏差を求めてください。
4. 長さ D は 4cm、10cm、16cm をそれぞれ確率 c、1 − 2c、c で取ります。0 ≦ c ≦ 1/2 として、標準偏差が3cmとなる c を求めてください。
5. 得点 E は 2点を確率1、12点を確率0で取ります。標準偏差を求め、12点が平均と異なってもその答えになる理由を説明してください。

練習問題の答えと解き方

1

各点数に確率をかけて平均を出します。偏差は平均3点からそれぞれ -3点と3点です。

E(A) = 0・(1/2) + 6・(1/2) = 3
V(A) = (0 - 3)²・(1/2) + (6 - 3)²・(1/2)
     = 9/2 + 9/2 = 9
σ(A) = √9 = 3

期待値は3点、標準偏差は3点です。元の札のどちらを引いても平均から3点離れるため、分散が9点の二乗となることも確かめられます。

2

左右の個数の確率が等しいので、平均は中央の3個になります。式で確かめてから偏差の二乗を重み付けします。

E(B) = 1・(1/8) + 3・(3/4) + 5・(1/8)
     = 1/8 + 18/8 + 5/8 = 3
V(B) = (1 - 3)²・(1/8) + (3 - 3)²・(3/4) + (5 - 3)²・(1/8)
     = 4/8 + 0 + 4/8 = 1
σ(B) = √1 = 1

期待値は3個、標準偏差は1個です。両端の確率の合計は1/4で、両端の偏差の二乗は4なので、分散が 4・(1/4) = 1 に戻ります。標準偏差が1個でも、実際の値が平均から必ず1個離れるわけではありません。

3

2分と8分は等確率ではないので、単純に両端の真ん中を平均にしないことが大切です。

E(C) = 2・(1/3) + 8・(2/3)
     = 2/3 + 16/3 = 6
V(C) = (2 - 6)²・(1/3) + (8 - 6)²・(2/3)
     = 16/3 + 8/3 = 8
σ(C) = √8 = 2√2

期待値は6分、標準偏差は 2√2分です。平均からの距離4分と2分を、元の確率1/3と2/3で重み付けすると分散8に戻ります。非負の答えを二乗しても8です。

4

確率の条件から c は0以上、1 − 2c も0以上です。左右の確率が等しいことを用いて平均と分散を求めます。

E(D) = 4c + 10(1 - 2c) + 16c = 10
V(D) = (4 - 10)²c + (10 - 10)²(1 - 2c) + (16 - 10)²c
     = 36c + 0 + 36c = 72c

標準偏差が3cmなら分散は9なので、72c = 9、c = 1/8 です。これは 0 ≦ c ≦ 1/2 を満たします。元の表に戻すと確率は 1/8、3/4、1/8 で、和は1です。分散は 36・(1/8 + 1/8) = 9 となり、標準偏差は確かに3cmです。

5

確率0の値も表には載っていますが、期待値や分散には寄与しません。

E(E) = 2・1 + 12・0 = 2
V(E) = (2 - 2)²・1 + (12 - 2)²・0
     = 0 + 0 = 0
σ(E) = √0 = 0

答えは0点です。正の確率で取る点数は平均と同じ2点で、12点は確率0です。候補値の差があることと、正の確率で取る値に散らばりがあることを区別します。

覚えておくこと

• 標準偏差は分散の非負の平方根です。
• 分散は偏差の二乗を確率で重み付けした平均です。
• 標準偏差の単位は元の確率変数の単位と同じです。
• 標準偏差0は、正の確率で取る値が平均に一致することを意味します。

つまずきを見分ける

分散までは合うのに答えが違う場合、最後に平方根を取ったか、結果を二乗して元に戻るかを確認します。平均から間違う場合は、値を単純に足して個数で割っていないか、各値と確率の対応を一行ずつ確かめます。確率の和が1か、0の確率を持つ値をどう扱ったかも点検の手がかりです。

個別指導では、まず表から平均を生徒自身の式で表し、次に各偏差とその二乗を書いてもらいます。そのうえで同じ平均の二つの表について、どの確率が中心から遠い位置へ移ったかを説明してもらうと、公式の代入と散らばりの意味を結び付けられます。平方根と単位を確かめて、得点表の違いを標準偏差で捉えます。