武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学B 漸化式と初期条件—式から項を作り一般項の候補を代入して確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 数列を掘り下げる

初期値から項を作る計算と、候補を任意の項番号で漸化式に戻す検証を比べ、数項の一致だけでは証明できない理由を示します。

よくあるのは、高2の高校生が数列の最初の数項を計算し、見つけた一般項の候補が合っているので証明済みだと考える場面です。規則を見つけることは出発点ですが、先の項まで必ず合うという結論には、もう一段の理由が必要です。初めの項と、ある項から次の項へ進む関係を分けて調べると、その理由が見えてきます。

何を手掛かりにするか

漸化式の問題では、初めの値と関係式から指定された項を順に計算することがあります。また、条件を満たす一般項の候補が与えられ、その正しさを示すこともあります。さらに、初期条件が足りるか、数列が一つに定まるかを問う場合もあります。いずれも、式がどの番号から成り立つかを最初に読み取ります。

例えば「n は 1 以上の整数」とあれば、n = 1 を代入した式が第1項と第2項を結びます。第2項を作るのに n = 2 を入れると、第2項と第3項の関係を先に使うことになります。項番号は値とは別の情報です。紙に小さく番号を添えてから代入すると、どの項を求めているか追いやすくなります。

候補を確かめる問いでは、候補に n = 1 を入れて初期値と比較し、次に一般の n について候補の第n項と第(n+1)項が元の関係を満たすか調べます。計算した数項が一致することは候補を探す助けになりますが、無限に続く自然数の番号をすべて調べたことにはなりません。

初めの値から次へ進む

漸化式は、数列の項どうしの関係を表す式です。ここでは aₙ₊₁ を第(n+1)項とし、n は特に断らなければ 1 以上の整数とします。たとえば aₙ₊₁ = aₙ + 3 は、どの項の次もその項に 3 を加えた値であることを表します。この式は隣り合う項の関係を指定しますが、初項そのものは指定しません。

初項を a₁ = 2 とすれば、第2項は 5、第3項は 8 と順に決まります。初項を 7 とすれば、同じ関係から 7, 10, 13, … となります。差が同じでも異なる数列があるので、関係式だけから初項を勝手に選んではいけません。図1のように、初期値が出発点を決め、各矢印に同じ操作を適用します。

一方、初項と aₙ₊₁ = F(n, aₙ) が指定され、各 n と各項の値に対して右辺がただ一つの数として定まるなら、次の項は一つに決まります。その次も同様です。したがって、初項が同じでこの関係を満たす二つの数列は、第1項が同じであり、同じ項から作る次の項も同じなので、どの番号でも一致します。これが候補の検証を支える一意性です。分母を含む場合などは、右辺が実際に定義されることも必要です。

関係式があるから必ず一意とは限りません。たとえば aₙ₊₁² = aₙ² は、次の項の符号が決まらない場合があります。また、aₙ₊₂ を前の2項で決める式なら、一般に出発点として2項が必要です。初期条件の個数は、次の値を実際に作れるかで判断します。式と初期値が矛盾すれば、条件を満たす数列が存在しないこともあります。

隣接する項の差が一定なら等差数列です。隣接する項について aₙ₊₁ = r aₙ が同じ定数 r で成り立つなら、その関係は等比型です。比を割り算で調べるときは aₙ が 0 でないことが必要です。0 を含むときは割らずに乗法の式を直接確かめます。最初の数組で差や比が一致しても、一般の n で同じ関係が成り立つ根拠がなければ型の確定には至りません。

候補の検証を逆向きに考えると、初期値の検査を省けない理由も見えます。たとえば同じ差 3 の規則を満たす列でも、初項が異なればどの項も別の値です。差の式だけを確かめて初項を照合しなければ、正しい操作を別の出発点から繰り返した列を採用しかねません。逆に初項だけ合っても、次へ進む操作が異なれば第2項からずれることがあります。二つの確認は別々の役割を持ちます。

また、条件が矛盾する場合には、数列が複数あるのではなく存在しません。初項に二つの異なる値が同時に指定された場合がその例です。一意に定まると述べる前に、指定を満たす列が作れるかにも目を向けます。候補が両条件を満たすと示せれば、その候補自身が存在の確認にもなります。

基本例題：順に作り、候補を戻す

初項 a₁ = 4、漸化式 aₙ₊₁ = aₙ + 5（n は 1 以上の整数）で定まる数列について、第4項を整数で求め、候補 aₙ = 5n − 1 が一般項であることを示します。

まず n = 1, 2, 3 を順に代入します。

a₂ = a₁ + 5 = 4 + 5 = 9
a₃ = a₂ + 5 = 9 + 5 = 14
a₄ = a₃ + 5 = 14 + 5 = 19

図2の矢印はそれぞれ 5 を加える操作です。第4項までには3回進むので、初項に4回加えるわけではありません。

候補を bₙ = 5n − 1 と置いて検証します。まず b₁ = 5 − 1 = 4 で初期値に合います。次に任意の 1 以上の整数 n について、

bₙ₊₁ = 5(n + 1) - 1
       = 5n + 4
       = (5n - 1) + 5
       = bₙ + 5

よって候補は元の漸化式も満たします。初項と次の項を決める規則が一致するので、一意性から aₙ = 5n − 1（n は 1 以上の整数）です。求めた第4項を候補に戻しても 5・4 − 1 = 19 です。数項の一致に加え、任意の n で矢印の操作が一致することまで示しました。

標準例題：初期値が何を決めるか

数列は aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ（n は 1 以上の整数）を満たし、a₁ = 2 です。a₂ = 1 のときの第5項と、a₂ = 3 のときの第5項をそれぞれ整数で求め、初項だけで数列が一つに定まるか答えます。

前の2項を使うので、まず a₁ と a₂ の両方を並べます。a₂ = 1 のとき、

a₃ = a₂ + a₁ = 1 + 2 = 3
a₄ = a₃ + a₂ = 3 + 1 = 4
a₅ = a₄ + a₃ = 4 + 3 = 7

a₂ = 3 のときは、同じ式から次のようになります。

a₃ = a₂ + a₁ = 3 + 2 = 5
a₄ = a₃ + a₂ = 5 + 3 = 8
a₅ = a₄ + a₃ = 8 + 5 = 13

どちらも初項は 2 で、各段階で直前の2項の和を次の項にしています。それでも第2項も第5項も異なるので、与えられた初項だけでは一つに定まりません。2項が指定されれば、以後は前の2項の和が一つに決まるため、順に一意に定まります。たとえば最初の列では 4 + 3 = 7 と元の条件に戻して確認できます。

「初期値が一つなら必ず不足」と覚えるのではなく、式が何を入力にして次を決めるかを見ます。隣接2項の式でも、二乗などで次の項が複数ありうるなら、初項を一つ与えるだけでは足りません。反対に、次の項が直接決まる式では、定義域が確保されていれば初項から順に進めます。

発展例題：候補の違いを一般の番号で調べる

初項 a₁ = 3、漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ（n は 1 以上の整数）で定まる数列について、候補 bₙ = 3・2ⁿ⁻¹ と cₙ = 3・2ⁿ⁻¹ + (n − 1)(n − 2)(n − 3) を調べます。どちらが一般項か、条件に戻して説明します。指数の n − 1 は指数全体を表します。

まず両候補は n = 1, 2, 3 では追加の積が 0 なので同じ値を取ります。元の数列も順に 3, 6, 12 です。この3項の一致では候補を選び切れません。

bₙ は初期値 b₁ = 3 を満たします。任意の n について、

bₙ₊₁ = 3・2ⁿ
       = 2・(3・2ⁿ⁻¹)
       = 2bₙ

したがって bₙ は初期条件と漸化式の両方を満たし、一意性から一般項です。公比 2 は 0 でなく、初項も 0 でないので比を計算してもよいですが、上のように掛け算の形で確かめれば割り算は不要です。

一方 c₁ = 3 で初期値には合っても、n = 3 での関係を調べると、

c₃ = 12
c₄ = 3・8 + 3・2・1 = 30
2c₃ = 24

c₄ と 2c₃ が異なるため、cₙ は漸化式を満たしません。元の規則から作る第4項は 2・12 = 24 です。失敗する番号を一つ示せば「すべての n で成り立つ」という主張を退けられます。ただし、失敗が見つからず何項か合っただけでは、すべてで成立する証明にはなりません。

合う項が続いても、矢印を調べる

先の発展例題で「最初の3項が 3, 6, 12 だから cₙ が一般項」と書くのは誤りです。図3のように、第3項から第4項への矢印で元の規則と候補の値が食い違います。3項までの一致は事実ですが、その事実から次の項の関係までは導けません。

修正するときは、まず初期値を確かめます。次に、候補を第(n+1)項にした式と、第n項を元の右辺に代入した式を、任意の n で比較します。両方が一致すれば一意性につなげます。片方でも失敗すれば候補は不適です。初期値が合わない候補は関係式を満たしていても、指定の数列にはなりません。

比を見て型を決める際にも同じ注意が要ります。ある項が 0 ならその項で割れません。たとえば初項が 0 で aₙ₊₁ = 0・aₙ なら全項が 0 ですが、隣接する項の商 0/0 は定義されません。乗法の関係は確かめられても、商を使う説明は使えないと区別します。初期値や分母の条件を省くと、計算が続いているように見えても結論の根拠が欠けます。

練習問題

各問題で n は 1 以上の整数です。一般項は n の式と有効な範囲を示し、数値は整数で答えてください。

a₁ = 6、aₙ₊₁ = aₙ − 2 のとき、第4項を求めてください。
a₁ = 5、aₙ₊₁ = 3aₙ のとき、候補 aₙ = 5・3ⁿ⁻¹ が一般項であることを示してください。
aₙ₊₁ = aₙ + 4 のみが与えられたとき、初項が 1 の場合と 8 の場合の第3項を求め、一意性を判断してください。
a₁ = 9、aₙ₊₁ = aₙ − 3 のとき、候補 aₙ = 12 − 3n が初期値と漸化式を満たすか調べ、一般項か判断してください。
a₁ = 1、aₙ₊₁ = aₙ + 2 のとき、候補 dₙ = 2n − 1 + (n − 1)(n − 2) が一般項でないことを、成り立たない番号を示して説明してください。

練習問題の答えと解き方

順に代入します。

a₂ = 6 - 2 = 4
a₃ = 4 - 2 = 2
a₄ = 2 - 2 = 0

答えは 0 です。最後の矢印も 2 − 2 = 0 で、元の規則に合います。

候補を bₙ = 5・3ⁿ⁻¹ とすると、b₁ = 5 です。任意の n について、

bₙ₊₁ = 5・3ⁿ
       = 3・(5・3ⁿ⁻¹)
       = 3bₙ

初期値と漸化式が一致し、次の値は一意に定まります。よって一般項は aₙ = 5・3ⁿ⁻¹（n は 1 以上の整数）です。第2項は式から 15、元の関係からも 3・5 = 15 です。

初項が 1 なら、

a₂ = 1 + 4 = 5
a₃ = 5 + 4 = 9

初項が 8 なら、

a₂ = 8 + 4 = 12
a₃ = 12 + 4 = 16

それぞれの第3項は 9 と 16 です。どちらも前の項に 4 を加えており条件に合うため、初項の指定がない条件では一つに定まりません。

候補を bₙ = 12 − 3n とすると、b₁ = 9 です。さらに、

bₙ₊₁ = 12 - 3(n + 1)
       = 9 - 3n
       = (12 - 3n) - 3
       = bₙ - 3

両条件を満たすので一意性から一般項です。有効範囲は n が 1 以上の整数です。第2項は候補から 6 で、元の式でも 9 − 3 = 6 です。

d₁ = 1、d₂ = 3 なので最初の2項は合います。しかし、

d₃ = 2・3 - 1 + 2・1 = 7
d₂ + 2 = 3 + 2 = 5

n = 2 の漸化式では第3項は 5 でなければならず、候補の 7 と異なります。したがって候補は一般項ではありません。初期値との一致だけでは関係式の成立を保証できないことも確認できます。

覚えておきたいこと

初期条件は、項を作り始める値です。
次の項が一意に定まる式か、定義域とともに確かめます。
候補は初期値と任意の n での関係式の両方に戻します。
数項の一致は発見の手掛かりであり、証明にはなりません。

どこで止まったかを見分ける

第2項から計算が合わないときは、n = 1 を代入した行と初項を指で対応させてみてください。第3項以降で止まるなら、直前の項を新しい値に更新できたか、また式が前の何項を必要とするかを確かめます。候補の証明で止まるときは、第(n+1)項の式を別に書いてから右辺と比べると、添字のずれを見つけやすくなります。

個別指導で確認する場合も、答えの式だけでなく、初期値を使った行と任意の n について変形した行を並べて説明できるかが手掛かりです。分母がある式では、割る前にその値が 0 でない理由を言葉にします。出発点と次へ進む規則がそろえば、候補の正しさは一つずつ先の項へ伝わります。