高校数学B 群数列の群ごとの和—完成した群と途中の群を分けて合計を作る｜武蔵野個別指導塾

完成した群の合計に、最後の群から必要な項だけを加えます。群末の累積個数を使い、打切り位置と足した項数を確かめます。

よくあるのは、高2の高校生が群ごとに区切られた数列の和を求めるとき、最後の群を丸ごと足してしまう場面です。たとえば最後に必要なのが群の先頭から2項でも、その群の和を全部使えば、必要のない項が混ざります。どこまでの群が完成しているか、残りが何項かを先に決めると、和の式を正しく作れます。

要点（結論から）

• 群末までの累積項数で、打切り位置を決めます。
• 完成した群の和と、最後に必要な項の和を分けます。
• 群内の位置、項の値、項数を区別します。

和を求める前に何を読むか

群数列は、項を一定の規則でいくつかのまとまりに区切って並べた数列です。区切りは見やすくするためのもので、通し番号は群をまたいで続きます。各群で数がどのように並ぶかと、群に何項あるかは別々に読み取ります。

問いには、第1群から第m群までの和を求める形があります。この場合は各群が最後まで入ります。一方、初項から第N項までの和を求める形では、第N項が群の途中にある場合を扱います。また、群内の並びが毎回同じとは限りません。群ごとに最初へ戻る型と、群番号によって項の値が変わる型では、各群の和を別々に作ります。

条件が不十分なまま数項を眺めても、その先の規則は一意に決まりません。問題文に書かれた群の項数と各項の値を根拠に式を作ります。以下では、群番号と通し番号を自然数とし、有限個の項の和を扱います。

完成した群と端の群の境目

第k群にk項あるとします。第1群から第k群までの項数をCₖと置くと、等差数列の和から次のようになります。

Cₖ = 1 + 2 + … + k
   = k(k + 1)/2

kは1以上の整数です。第1群の直前の項数は0個なので、ここではC₀ = 0と定めます。Nを正の整数とすると、第N項が第k群に入る条件は、Cₖ₋₁ < N ≤ Cₖです。左は前の群の最後より後、右はこの群の最後以下という意味です。群内の位置はN − Cₖ₋₁となり、1以上k以下です。

図1のように、最後に必要な項を含む群より前は完成しています。最後の群の途中までを使うなら、そこは残った項だけを数えます。NがちょうどCₖなら、第k群の最後まで入るため、この群も完成した群として扱えます。どちらの分け方でも同じ項を1回ずつ足すことが条件です。

図1では各群に1から群番号までを並べています。第3群の先頭から2項までを使うとき、完成した第1群と第2群に加えるのは1と2です。第3群の3は打切り位置より後なので入りません。これは位置と値を分けて読む練習です。

第k群の和をGₖとすれば、完成した第1群から第m群までの和はΣ[k=1..m] Gₖです。最後の群が第m+1群で、その先頭からr項を加える場合は、この完成分にそのr項の和を足します。m = 0のときは完成した群がないので、その部分の和を0とします。rが群の項数を超えないかも式を作る前に確かめます。

基本例題：途中の2項だけを足す

第k群に1からkまでの整数を小さい順に並べます。初項から第8項までの和を整数で求めてください。

まず第3群と第4群の終わりまでの項数を調べます。

C₃ = 3・4/2 = 6
C₄ = 4・5/2 = 10
6 < 8 ≤ 10

したがって第8項は第4群にあり、その群の先頭から8 − 6 = 2項目で止まります。図2のように、第3群までは完成し、第4群からは1と2を足します。

図2の囲みを順に計算します。第k群は初項1、末項k、項数kの等差数列ですから、群内の和はk(k + 1)/2です。今回は第3群までなので、直接並べても計算できます。

第1群の和 = 1
第2群の和 = 1 + 2 = 3
第3群の和 = 1 + 2 + 3 = 6
完成分の和 = 1 + 3 + 6 = 10
残りの和 = 1 + 2 = 3
求める和 = 10 + 3 = 13

答えは13です。元の並びの先頭から8項を数えると、1、1、2、1、2、3、1、2です。その和も13で、項数が8個であることまで戻して確かめられます。値の合計が合うだけでなく、どの項を足したかを確かめるのがポイントです。

標準例題：群の値が一定の場合

第k群には整数2kをk個並べます。初項から第17項までの和を整数で求めてください。

群末の個数を比べると、C₅ = 15、C₆ = 21です。15 < 17 ≤ 21より、完成したのは第5群までで、第6群から2項を取ります。第6群の各項は12なので、残りは12・2 = 24です。

第k群は値2kがk個なので、群内和は2k²です。第1群から第5群までの和に、残りを加えます。

完成分 = 2・1² + 2・2² + 2・3² + 2・4² + 2・5²
       = 2 + 8 + 18 + 32 + 50
       = 110
残り   = 12 + 12
       = 24
合計   = 110 + 24
       = 134

答えは134です。完成分の項数は1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15個で、さらに2個を加えると17個です。各群の和を足すとき、群番号をそのまま項の値と決めつけず、与えられた2kを使っています。

一般に完成群が多い場合は、mを正の整数としてΣ[k=1..m] k² = m(m + 1)(2m + 1)/6を使えます。ここではm = 5です。公式を使っても完成分は2・5・6・11/6 = 110となります。m = 0の場合はこの和を0と扱い、群が存在しないことを確認してから残りを足します。

発展例題：並び直した奇数を途中まで足す

第k群に奇数1、3、5、…、2k − 1をこの順でk個並べます。初項から第N項までの和を、正の整数Nに対して、Cₘ < N ≤ Cₘ₊₁を満たす0以上の整数mとr = N − Cₘを用いて表してください。C₀ = 0とします。

Cₘは第m群までの項数です。m = 0は第1群より前に完成した群がない場合を表します。条件から1 ≤ r ≤ m + 1なので、残りのr項は第m+1群の範囲内です。第m+1群の終わりまで取る場合も、r = m + 1として含まれます。

第k群の和をGₖとします。初項1、末項2k − 1、項数kの等差数列なので、次のように求めます。

Gₖ = k(1 + 2k - 1)/2
   = k・2k/2
   = k²

第m+1群の先頭からr項も、初項1、末項2r − 1の奇数列です。したがってその和はr²です。完成群の和と合わせます。

求める和 = Σ[k=1..m] k² + r²
         = m(m + 1)(2m + 1)/6 + r²

m ≥ 1では二乗和の公式を使いました。m = 0では完成分を0と定め、右辺も0 + r²となるため同じ形が使えます。N = 1ならm = 0、r = 1で和は1です。Nが第m+1群の最後ならr = m + 1となり、その群の和を全部足したことになります。

例えばN = 9なら、C₃ = 6、C₄ = 10なのでm = 3、r = 3です。完成分は1² + 2² + 3² = 14、残りは1 + 3 + 5 = 9で、合計23です。実際に第4群の3項目まで数えると6 + 3 = 9項です。式に数を当てはめる前に、不等式と残りの項数を確認すると、境界の取り違えを防げます。

同じ合計を2通りに分ける

群末で止まるとき、完成した群の取り方は2通りあります。発展例題の奇数を並べる数列で、第3群末までの和を考えます。C₃ = 6なので、初項から6項です。第3群を完成分に含めると、各群の和を足して1 + 4 + 9 = 14となります。

別の分け方では、第2群までを完成分にして、第3群の3項すべてを残りとして加えます。完成分は1 + 4 = 5、残りは1 + 3 + 5 = 9です。合計は5 + 9 = 14で、先ほどと一致します。どちらでも第3群の3項を重複させず、抜かずに足しているからです。

一方、C₃ = 6を第4群の先頭とみなすと、第3群の最後を飛ばすか、誤って第4群の項を入れることになります。群末の番号には右側の等号が付くことを不等式で確かめ、分け方を決めてから計算します。数字が合ったとしても、その理由を項の範囲で説明できるようにします。

群の和と個数の式を分ける

群末の累積項数Cₖは、各群にk項あるという条件だけで決まります。項の値が奇数でも一定でも、この項数の式は変わりません。対して群内和Gₖは、何を並べるかで変わります。標準例題ではGₖ = 2k²、発展例題ではGₖ = k²です。

例えば第2群までの項数はどちらも3ですが、標準例題の和は2 + 8 = 10、発展例題の和は1 + 4 = 5です。同じ3を、項数の式と和の式の両方に入れるわけではありません。まずCₖで何項目かを決め、その後でGₖを使って値を足します。

誤答を直す：群末を越えていないか

基本例題で第8項までの和を求めるとき、「第8項は第4群にあるから、第4群までの和を足す」として、1 + 3 + 6 + 10 = 20とする誤答を考えます。第4群の和10は1 + 2 + 3 + 4です。しかし、必要なのは第4群の最初の2項までです。

図3のように、3と4は第9項と第10項であり、第8項までの範囲から外れます。誤答の20は10項分の和です。余分な2項の和7を引けば13になり、基本例題の答えと一致します。

図3から、和を計算する前に項数を点検する方法が見えます。完成群が6項、最後に使う部分が2項なら合計8項です。第4群を丸ごと入れると6 + 4 = 10項になり、求める範囲を越えます。逆に、最後の群の先頭を数え忘れれば、指定より少ない項しか足せません。

もう1つの間違いは、群内の位置をそのまま項の値にすることです。標準例題の第6群では2項目の値も12です。位置は2、値は12と分けて書くと、残りの和を2とする誤りに気づけます。奇数を並べる発展例題でも、r項目の値はrではなく2r − 1です。

練習問題

次の5問は、各群が記された規則で続く数列です。各問の答えは整数、または指定された文字の式で表してください。群末までの個数を先に調べ、問題をすべて読んでから解答を見てください。

1. 第k群に2をk個並べます。初項から第7項までの和を整数で求めてください。
2. 第k群に1からkまでの整数を小さい順に並べます。初項から第12項までの和を整数で求めてください。
3. 第k群にk + 1をk個並べます。第1群から第4群までの和を整数で求めてください。
4. 第k群に2、4、6、…、2kをこの順に並べます。初項から第14項までの和を整数で求めてください。
5. 第k群に3をk個並べます。初項から第N項までの和を正の整数Nの式で表してください。また第11項が属する群と、その群内の位置を整数で求めてください。

練習問題の答えと道筋

1

C₃ = 6、C₄ = 10なので、7項目は第4群の先頭です。完成分は6項、それに1項を加えます。

完成分 = 2・6 = 12
残り = 2・1 = 2
合計 = 12 + 2 = 14

答えは14です。どの項も2なので、7個を直接足しても2・7 = 14となります。第4群を4項とも入れると10項分になるため、条件を満たしません。

2

C₄ = 10、C₅ = 15より、12項目は第5群の2項目です。第4群までの和に、第5群の1と2を加えます。

完成分 = 1 + 3 + 6 + 10
       = 20
残り = 1 + 2
     = 3
合計 = 20 + 3
     = 23

答えは23です。完成分の10項と残り2項で12項となり、最後の群から3、4、5を入れていないことも確かめられます。

3

第k群にはk + 1がk個あるため、群内和はk(k + 1)です。第4群までの各和を足します。

第1群の和 = 1・2 = 2
第2群の和 = 2・3 = 6
第3群の和 = 3・4 = 12
第4群の和 = 4・5 = 20
合計 = 2 + 6 + 12 + 20
     = 40

答えは40です。元の並びに戻せば、2が1個、3が2個、4が3個、5が4個で、各群の合計は上の式と一致します。ここでは打ち切る群はありません。

4

C₄ = 10、C₅ = 15なので、第5群の先頭から4項までを取ります。第k群の和は、初項2、末項2k、項数kの等差数列の和です。

第k群の和 = k(2 + 2k)/2
          = k(k + 1)
完成分 = 2 + 6 + 12 + 20
       = 40
残り = 2 + 4 + 6 + 8
     = 20
合計 = 40 + 20
     = 60

答えは60です。完成分10項と残り4項で14項です。第5群の最後の10を足すと15項になるので、求める和には含めません。

5

すべての項の値が3なので、初項からN項の和は3Nです。Nは正の整数です。個数を求めるために群を区切っても、値が変わらないので同じ答えになります。

C₄ = 4・5/2 = 10
C₅ = 5・6/2 = 15
10 < 11 ≤ 15
11 - 10 = 1

第11項は第5群の1項目です。この項の値は3であり、位置の1とは別です。N = 11では和が33となり、実際に3を11個足した値と一致します。

要点を手元に残す

• 群末までの累積項数で、打切り位置を決めます。
• 完成した群の和と、最後に必要な項の和を分けます。
• 群内の位置、項の値、項数を区別します。
• 群末ちょうどの場合と最初の群の場合も点検します。
• 最後に足した項数が指定の個数と一致するか戻します。

手が止まった場所の見分け方

群を探す段階で迷ったら、まず群末の累積項数を小さい順に書き、指定された通し番号がどの2つの値の間に入るか見ます。等号が付く側は群末です。計算した残りが0になったときは、その群を完成分に含めたか、前の群までを完成分にしたかを確認します。

和の式で迷う場合は、最後の群を実際に並べ、使う範囲に印を付けます。個別指導で確かめるなら、群内和の公式を覚えたかより先に、どの項を何個足そうとしたかを説明してみると、位置と値の混同を見つけやすくなります。足した項を数え直せば、式が元の数列につながります。