高校数学II 外分点の座標—点の並びと分母の符号から線分の外の位置を判定する｜武蔵野個別指導塾

比の大小による点の位置と、等しい比で点が存在しない理由を考える外分点です。

よくあるのは、高2が外分点を二点の間に描いてしまう場面です。式に引き算があることを覚えていても、点の並びを確かめなければ、その答えが外側にあるか判断しにくくなります。線分の長さの比と座標の符号を結び付け、式が使えない場合にも理由を言えるようにしましょう。

比と位置から考える問い

外分点を求める問いでは、2点の座標と比が与えられます。最初に比の大小から、どちらの端点の外側に点があるかを決めます。その後に座標を求め、距離を元の比に戻します。点の並びを表す図は、座標平面での線分が水平であることを意味しません。

逆に、2点と外側の点が与えられ、比を求める問いもあります。この場合は座標の大小だけでなく、同一直線上にあることを確かめます。一方の座標差が零でも、もう一方が使える場合があります。座標の差には符号がありますが、長さは負になりません。

文字を含む比では、分母が零になる値や、正の比にならない値が分かれ目です。式を一度に適用せず、その値を先に調べると、存在しない点を答えに混ぜずに済みます。以下では異なる2点と正の比を前提として考えます。

外分の定義と座標の導出

異なる2点 A、B を通る直線上で、線分 AB の外にある点 P が PA : PB = m : n を満たすとき、P は線分 AB を m : n に外分する点です。ここで m、n は正です。P が A 側にあれば PA < PB なので m < n、B 側にあれば PA > PB なので m > n です。図1のように、長い距離と大きい比の数を対応させます。

図1では上段が A 側、下段が B 側の外分です。m = n なら PA = PB ですが、外側にある点からは近い端点までの距離に AB の長さを足したものが遠い端点までの距離です。AB は正なので等しくなりません。したがって等しい正の比に外分点は存在しません。

座標を A(a, b)、B(c, d) とし、異なる2点であることと m、n が正で m ≠ n であることを確認します。P を A から B への向きに、AB の長さの t 倍だけ進んだ位置に取ると、その座標は (a + t(c − a), b + t(d − b)) です。外側では t < 0 または t > 1 です。距離の比は |t| : |t − 1| となります。

P が A 側なら -t : (1 − t) = m : n です。P が B 側なら t : (t − 1) = m : n です。どちらも整理すると次の関係になります。

n t = m(t - 1)
(m - n)t = m
t = m/(m - n)

A 側の式も両辺の符号を整理すると同じ関係です。分母が零でないので代入でき、P の座標は次のようになります。

x = a + m(c - a)/(m - n)
  = (mc - na)/(m - n)
y = b + m(d - b)/(m - n)
  = (md - nb)/(m - n)

A の座標には n、B の座標には m が対応します。m > n なら t > 1、m < n なら t < 0 なので、式からも外側の位置を確認できます。分母が負になっても、分子とともにその符号を残して計算します。端点の順を入れ替えると比も n : m に入れ替わり、同じ点になります。

式を使う前に、比の順を読むことも必要です。PA : PB の順なら、m は A までの距離に対応し、n は B までの距離に対応します。座標の式では係数が交差するので、距離との対応と座標への掛け方を別々に記録します。両方の数を同じ正の数倍にしても距離の比は変わらず、式の分子と分母にも同じ倍率が掛かるため、座標は変わりません。

2点が一致する場合は、端点間の長さが零です。このとき線分の外という位置や、上で使った端点間の向きが定まりません。比の大小だけで判断する前に、2点が異なるか点検するのはそのためです。座標が片方だけ一致していても、もう片方が異なれば2点は異なります。

基本例題：B 側の点を求める

問題。A(1, 2)、B(4, 5) に対し、線分 AB を 2 : 1 に外分する点 P の座標を求めてください。答えは整数の座標で表します。

2 > 1 なので図2のように P は B 側です。2点は異なり、比は正で等しくないため、外分の式を使えます。

図2では A から B、B から P への進み方が等しく、PA は PB の2倍です。座標を順に計算します。

x = (2・4 - 1・1)/(2 - 1)
  = 7/1
  = 7
y = (2・5 - 1・2)/(2 - 1)
  = 8/1
  = 8

よって P(7, 8) です。元の条件に戻すと、A から P への座標の差は (6, 6)、B から P への差は (3, 3) です。距離はそれぞれ 6√2、3√2 なので PA : PB = 2 : 1 です。P は A から B への進み方を2回繰り返した位置にあり、B の先にあります。式の答えと図の両方が条件に合います。

標準例題：A 側の負の分母

問題。C(-2, 3)、D(4, -1) に対し、線分 CD を 1 : 3 に外分する点 Q の座標を求めてください。答えは整数の座標で表します。

1 < 3 ですから Q は C 側です。2点は異なり、比は正で等しくありません。分母 1 − 3 は負ですが、約分の前に符号を消してはいけません。

x = (1・4 - 3・(-2))/(1 - 3)
  = 10/(-2)
  = -5
y = (1・(-1) - 3・3)/(1 - 3)
  = -10/(-2)
  = 5

したがって Q(-5, 5) です。Q から C への座標の差は (3, -2)、Q から D への差は (9, -6) です。長さはそれぞれ √13、3√13 で、QC : QD = 1 : 3 となります。また C から Q は C から D の向きと逆に半分進んだ点なので、確かに線分の外です。

別の見方では、C 側では QD = QC + CD です。比から QC = CD/2 と定まり、C から D と逆向きに半分進めば同じ座標に着きます。公式の符号が不安なとき、距離の足し算は独立した確認になります。横座標だけで左右を判定すると、縦に並んだ2点には使えないので、端点からの方向で考えます。

発展例題：文字の値で存在を分ける

問題。E(0, 0)、F(6, 3) に対し、線分 EF を k : 2 に外分する点 R を考えます。k は実数です。外分点が存在する k の範囲を求め、存在するときの R の座標を k の式で表してください。さらに k = 3 のときの座標を整数で求め、元の比を確かめてください。

比の項は正なので、まず k > 0 です。次に等しい比では外分点がないため、k ≠ 2 です。E と F は異なるので、これらを満たす場合に式を使えます。

x = (6k - 2・0)/(k - 2)
  = 6k/(k - 2)
y = (3k - 2・0)/(k - 2)
  = 3k/(k - 2)

答えは k > 0 かつ k ≠ 2、R(6k/(k − 2), 3k/(k − 2)) です。0 < k < 2 では分母が負で E 側、k > 2 では F 側です。k = 0 では正の比でなく、式から得られる E 自身も線分の外ではありません。負の k も距離の正の比として採用できません。

k = 3 を代入すると R(18, 9) です。ER = 9√5、FR = 6√5 ですから ER : FR = 3 : 2 です。R は F の先にあり、距離と位置の両方が条件に戻ります。k が 2 に近づくと式の分母が零に近づきますが、k = 2 に代入して有限の点を作ることはできません。等距離で外側に点がないという図の理由と一致します。

間違いを図に戻して直す

A(1, 2)、B(4, 5) を 2 : 1 に外分する基本例題で、誤って P(3, 4) とすることを考えます。これは線分の中にあり、図3のように A からの距離が B からの距離の2倍でも、外分の位置を満たしません。

図3の誤った点では AP = 2√2、PB = √2 で、比そのものは 2 : 1 です。距離の比だけでは内側の点も条件を満たし得るため、「線分の外」という条件が必要です。外分の式と内分の式を混同すると、この誤りが起きます。

修正するときは、まず 2 > 1 から B の先に点を置きます。次に分母を 2 − 1 とし、A の座標に1、B の座標に2を掛けて引きます。得た P(7, 8) は B の先にあり、PA : PB = 2 : 1 です。図と比をそれぞれ調べることで、計算が合っていても定義を満たさない答えを除けます。

もう一つの失敗は、比が等しいときに分母が零になった後、分子も計算して何らかの座標と見なすことです。零で割る操作はできません。しかもその場面では外分点自体が存在しないので、単なる計算上の不便ではありません。点が異なるという前提と、等距離が外側で成立しない理由に戻って判定します。

練習：位置と条件を自分で確かめる

次の5問はそれぞれ独立した問題です。座標は整数または分数で表し、比は正の整数の比に直してください。

1. A(2, -1)、B(5, 2) を 3 : 2 に外分する点の座標を求めてください。
2. C(3, 4)、D(9, -2) を 1 : 4 に外分する点の座標を求めてください。
3. E(0, 1)、F(4, 3)、P(6, 4) について、P が EF の外分点であることを示し、EP : PF を求めてください。
4. G(-1, 2)、H(5, 2) を 2 : 2 に外分する点が存在するか、理由とともに答えてください。
5. J(1, -2)、K(7, 4) を p : 3 に外分する点 S が J 側にあるとします。実数 p の範囲と、p = 1 のときの S の座標を求めてください。

練習の解答

1. 3 > 2 なので B 側です。両点は異なり、比は正で等しくありません。

x = (3・5 - 2・2)/(3 - 2)
  = 11
y = (3・2 - 2・(-1))/(3 - 2)
  = 8

答えは (11, 8) です。A からの差 (9, 9)、B からの差 (6, 6) は同じ向きで、長さの比は 9√2 : 6√2 = 3 : 2 です。B の先という位置も満たします。

2. 1 < 4 なので C 側です。分母は -3 で、2点は異なります。

x = (1・9 - 4・3)/(1 - 4)
  = (-3)/(-3)
  = 1
y = (1・(-2) - 4・4)/(1 - 4)
  = (-18)/(-3)
  = 6

答えは (1, 6) です。C からこの点への差は (-2, 2)、C から D への差は (6, -6) ですから、C の外側にあります。求めた点から C、D までの距離はそれぞれ 2√2、8√2 となり、比は 1 : 4 です。

3. E から F への差は (4, 2)、E から P への差は (6, 3) です。後者は前者の 3/2 倍なので、P は直線 EF 上で F の先にあります。

EP = √(6² + 3²)
   = 3√5
PF = √(2² + 1²)
   = √5
EP : PF = 3 : 1

したがって P は 3 : 1 の外分点です。F 側にあって EP > PF という大小も、計算した比と合います。

4. G と H は異なる点です。G 側の点 P からは PH = PG + GH、H 側の点 P からは PG = PH + GH です。GH = 6 > 0 なので、いずれも距離は等しくなりません。よって 2 : 2 に外分する点は存在しません。分母 2 − 2 が零で公式を使えないことも、この結論に対応します。

5. p は正で、J 側にあるため p < 3 です。したがって 0 < p < 3 です。p = 1 はこの範囲に入り、分母も零ではありません。

x = (1・7 - 3・1)/(1 - 3)
  = 4/(-2)
  = -2
y = (1・4 - 3・(-2))/(1 - 3)
  = 10/(-2)
  = -5

答えは S(-2, -5) です。J から S への差は (-3, -3)、J から K への差は (6, 6) なので S は J 側です。SJ = 3√2、SK = 9√2 となり、SJ : SK = 1 : 3 も満たします。

手元に残す要点

外分点は2点を通る直線上で線分の外にあります。
正の比 m : n では、m < n なら最初の点側、m > n なら後の点側です。
外分の式の分母は m − n で、等しい比では点がありません。
求めた座標は位置と距離の比の両方に戻して点検します。

つまずきを見分ける問い

「比の前の数が小さいと、点はどちらの端点に近いですか」と尋ね、距離 PA と PB を図に書き込んでみます。正しい比でも点が線分の中にある場合は、位置の条件が抜けています。個別指導では、端点から点への距離を色分けして比に対応させ、内側と外側の両方で距離を比べます。

次に「分母が負でも座標を計算できますか」と問い、分子と分母の符号を途中式で追います。等しい比なら割り算を進めず、外側で遠い距離が近い距離に端点間の長さを足したものになると説明できるかを確かめます。点の並びと距離の比がそろえば、外分点の式の符号にも意味が見えてきます。