高校数学C ド・モアブルの定理—整数乗の条件を確認して累乗を計算する｜武蔵野個別指導塾

ド・モアブルの定理で距離と角を別々に処理し、負の整数乗を逆数の定義に戻して検算します。

よくあるのは、理系の高3が複素数の累乗で角だけを倍にし、絶対値を元のままにする場面です。たとえば原点からの距離が2の点を3乗したとき、角は3倍ですが、距離は2の3乗の8です。回転と長さの変化を別々に追うと、計算の途中で見失いにくくなります。

整数乗には、正の指数だけでなく0や負の指数もあります。0乗や逆数を扱うときは、計算に入る前に底が0でないことを調べます。ここでは累乗そのものを中心に、式で得た値と複素数平面上の距離・向きを照合します。

要点（結論から）

• 非零の底では、整数乗の絶対値は rⁿ、角は nθ です。
• 0乗と負の整数乗は、先に底が非零かを確かめます。
• 角は 2kπ の差を調整して、指定された区間で答えます。

どの情報から累乗を始めるか

問われ方の1つは、直交表示から具体的な累乗を求める型です。実部と虚部から絶対値と偏角を読み取り、角を指数倍し、最後に実部と虚部へ戻します。特殊角が見えれば、高い累乗でも同じ掛け算を何度も展開する必要がありません。

2つ目は、負の指数を含む型です。底が非零かを確かめたうえで、絶対値も負の指数で累乗します。角の符号も反転しますが、これは逆数の偏角が元の偏角の反対になるためです。角の符号だけを直し、長さを元のまま残すと答えは一致しません。

3つ目は、積や商にそれぞれ累乗が付く型です。各部分の絶対値と角を計算してから合わせる方法と、先に積や商の極形式を作る方法があります。商では分母が0でないことを初めに確認し、引く角の順番も分子から分母へそろえます。

直交表示での直接計算も検算に使えます。とくに指数が小さい場合は、2乗を展開して i² = -1 を使うと、極形式の計算と別の道筋で結果を確かめられます。どちらの道筋でも、求める数の形が実部と虚部なのか、極形式なのかを問題文から先に読みます。

積の規則から整数乗へ

非零の複素数 z は、絶対値 r > 0 と偏角 θ を使って次のように表せます。ここで θ は弧度法で測り、同じ点の偏角は 2kπ だけ異なります。ただし k は整数です。

z = r(cos θ + i sin θ)

非零の2つの複素数を掛けると、絶対値は掛け合わされ、偏角は足されます。三角関数の加法定理から、たとえば角 α と β に対して次の等式が成り立ちます。

(cos α + i sin α)(cos β + i sin β)
= cos α cos β - sin α sin β
  + i(sin α cos β + cos α sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)

同じ数を正の整数 n 回掛ければ、長さの因子 r は n 個、角 θ は n 個加わります。したがって次のド・モアブルの定理が得られます。

{r(cos θ + i sin θ)}ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)

図1のように、3倍するのは角であり、距離には3乗を適用します。点の位置は角だけで決まりません。距離と角の両方をそろえて初めて、複素数平面上の点が定まります。

図1では原点から点 z までの距離が2、偏角が π/3 です。z³ の偏角は π、距離は8なので、負の実軸上の点になります。図の左右の点は、同じ尺度で原点からの距離を表しています。

非零の底に対し、n = 0 なら z⁰ = 1 です。右辺も r⁰ = 1、cos 0 + i sin 0 = 1 なので一致します。底が0の0乗はこの計算では扱わず、偏角も0には定義しません。

n が負の整数なら、n = -m として m を正の整数に取ります。z が非零なので逆数が存在し、絶対値は 1/r、偏角は -θ です。正の整数乗の結果を逆数に適用すると、次のようになります。

z⁻ᵐ = (1/z)ᵐ
1/z = (1/r)(cos(-θ) + i sin(-θ))
z⁻ᵐ = (1/r)ᵐ(cos(-mθ) + i sin(-mθ))
     = r⁻ᵐ(cos(-mθ) + i sin(-mθ))

このため定理は非零の z と任意の整数 n に使えます。z = 0 では正の整数乗は0ですが、偏角を用いる式に入れません。0の負の整数乗は逆数が存在しないため定義されません。角を2kπ変えても整数倍後の角は 2nkπ だけ変わるので、結果の点は変わりません。

基本例題：3乗後の距離と向き

複素数 z = 1 + √3 i の3乗を、実部と虚部がわかる形で求めてください。また、z³ に対応する点の原点からの距離と、0以上2π未満の偏角を求めてください。

まず z は非零です。絶対値は実部と虚部の二乗の和から求められます。

|z| = √(1² + (√3)²)
    = √4
    = 2
cos θ = 1/2
sin θ = √3/2

実部と虚部がともに正なので、指定区間で θ = π/3 です。したがって z と、その3乗は次の形になります。

z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
z³ = 2³(cos(3π/3) + i sin(3π/3))
   = 8(cos π + i sin π)
   = 8(-1 + 0i)
   = -8

答えは z³ = -8、距離は8、偏角は π です。図2のように、最初の点は (1, √3)、累乗後は (-8, 0) です。実軸方向と虚軸方向の尺度は同じです。

式だけでなく元の掛け算でも照合します。最初の2乗を実際に展開し、もう一度 z を掛けます。

z² = (1 + √3 i)(1 + √3 i)
   = 1 + 2√3 i + 3i²
   = -2 + 2√3 i
z³ = (-2 + 2√3 i)(1 + √3 i)
   = -2 - 2√3 i + 2√3 i + 6i²
   = -8

この結果の絶対値は8で、負の実軸上という向きも問題の条件に戻ります。角を3倍した結果だけが合っていても、距離が2のままなら -2 となり、この直接計算と一致しません。

標準例題：負の指数は逆数で読む

複素数 w = 1 − i の -4乗を、実数として求めてください。途中で偏角を用いる場合は、最初の偏角を -π以上π未満から選びます。

w は 1 − i ≠ 0 なので逆数と負の整数乗が存在します。実部が正、虚部が負であることから、絶対値と偏角は次のとおりです。

|w| = √(1² + (-1)²)
    = √2
cos θ = 1/√2
sin θ = -1/√2
θ = -π/4
w = √2(cos(-π/4) + i sin(-π/4))

指数を -4 として、距離の因子と角の両方に適用します。

w⁻⁴ = (√2)⁻⁴(cos((-4)(-π/4)) + i sin((-4)(-π/4)))
    = (1/4)(cos π + i sin π)
    = -1/4

負の指数なので距離は4ではなく 1/4 です。偏角は π で、求めた数は負の実軸上にあります。0以上2π未満で表しても π のままです。

別の確認では、逆数を作る前に正の4乗を直接求めます。非零であるため最後に逆数を取れます。

w² = (1 - i)(1 - i)
   = 1 - 2i + i²
   = -2i
w⁴ = (-2i)(-2i)
   = -4
w⁻⁴ = 1/w⁴
    = -1/4
w⁴・w⁻⁴ = (-4)(-1/4)
           = 1

分かれ目は、最初に逆数へ直すか、正の4乗を求めてから逆数を取るかです。どちらでも底が0なら逆数を取れません。今回の答えを元の関係へ戻すと w⁴ と掛けて1になり、負の指数の意味を満たします。

発展例題：累乗の商を2通りに整理する

a = 1 + i、b = √3 − i とします。a⁶/b³ を実数として求め、元の商の分子と分母の値も確かめてください。偏角の代表値は -π以上π未満で選びます。

b ≠ 0 なので商は定義されます。各数の絶対値と偏角を求めると、次のようになります。

|a| = √2
arg a = π/4
|b| = 2
arg b = -π/6
a = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
b = 2(cos(-π/6) + i sin(-π/6))

それぞれに定理を使います。角が代表値の範囲を越えても、三角関数の値を出す際に 2π の差を調整できます。

a⁶ = (√2)⁶(cos(6π/4) + i sin(6π/4))
   = 8(cos(3π/2) + i sin(3π/2))
   = -8i
b³ = 2³(cos(-3π/6) + i sin(-3π/6))
   = 8(cos(-π/2) + i sin(-π/2))
   = -8i
a⁶/b³ = (-8i)/(-8i)
       = 1

分子と分母はともに -8i です。したがって答え1を元の商に戻すと、1・b³ = -8i = a⁶ となります。分母が0でないことも、|b³| = 8 から改めて確かめられます。

別の道筋では a⁶/b³ = (a²/b)³ とまとめられます。ここでも b ≠ 0 が必要です。a² = 2i なので、商の絶対値は 2/2 = 1、偏角は π/2 − (-π/6) = 2π/3 です。これを3乗すると絶対値は1、角は 2π となり、同じく1が得られます。角を引く順序を逆にしても今回の最終値は偶然1になり得るため、途中の 2π/3 も点の向きと照合することが欠かせません。

誤答を距離と角に分けて直す

基本例題の z = 1 + √3 i に対し、次のように書く誤答を考えます。

誤: z³ = 2(cos π + i sin π) = -2

角 π は合っていますが、長さ2を3乗していません。図3のように、誤答の点も正答の点も負の実軸上にあるため、向きだけを見ると見落とします。原点からの距離を比べると2と8で異なります。

直すときは、式を「距離」「角」の2行に分けてから合わせます。距離は 2³ = 8、角は 3・(π/3) = π です。図3の正しい点 -8 は距離8、誤答 -2 は距離2であり、どちらも角だけなら π です。

別の失敗は負の指数で、(√2)⁻⁴ を4とするものです。a⁻ᵐ = 1/aᵐ は a ≠ 0 のときの約束なので、先に逆数の線を書けば 1/4 と直せます。さらに0を底にした負の指数に同じ形を使うと、分母が0になるため計算できません。0かどうかを指数処理の前に調べます。

偏角にも失敗の入口があります。たとえば角が 3π/2 になったとき、-π以上π未満を指定されていれば、2πを引いて -π/2 と書き直します。角の代表値を書き換えても点は同じですが、区間の指定は答えの条件です。実部と虚部を出す計算であっても、象限と符号が対応しているかを最後に見ます。

練習：まず5問に取り組む

次の5問は、計算結果をいずれも a + bi の形で求めてください。a と b は実数とし、b = 0 のときは実数だけで表してかまいません。偏角を使う場合、初めの底の偏角は -π以上π未満から選びます。

1. (3 − 3i)² を求めてください。
2. (-1 + √3 i)⁴ を求めてください。
3. (3 + 2i)⁰ を求めてください。
4. (√3 + i)⁻³ を求めてください。
5. (2 − i)⁴/(2 − i)² を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 2乗の角と長さ

底は非零で、絶対値は 3√2、指定区間の偏角は -π/4 です。定理を使うと次のようになります。

(3 - 3i)² = (3√2)²(cos(-π/2) + i sin(-π/2))
           = 18(0 - i)
           = -18i

直接展開すると 9 − 18i + 9i² = -18i です。得た数の絶対値は18、偏角は -π/2 で、元の点の距離の2乗と角の2倍に戻ります。

2. 角を1周分戻す

底の絶対値は2、偏角は 2π/3 です。4倍した角は 8π/3 で、2πを引けば 2π/3 です。第2象限なので実部は負、虚部は正です。

(-1 + √3 i)⁴ = 2⁴(cos(8π/3) + i sin(8π/3))
              = 16(-1/2 + (√3/2)i)
              = -8 + 8√3 i

元の数の2乗は -2 − 2√3 i です。さらに2乗すると 4 + 8√3 i − 12 = -8 + 8√3 i となります。答えの絶対値は16、向きは 2π/3 で、4乗の条件にも一致します。

3. 0乗の前提

3 + 2i は非零ですから、その0乗は1です。極形式でも絶対値の0乗が1、角の0倍が0なので同じ値が出ます。

(3 + 2i)⁰ = 1
(3 + 2i)⁰・(3 + 2i) = 3 + 2i

掛け戻すと元の非零の底になります。0を底とする0乗にはこの手順を当てはめません。

4. 逆数の大きさ

√3 + i は非零で、絶対値は2、偏角は π/6 です。逆数を取るため絶対値は 1/8、角は -π/2 になります。

(√3 + i)⁻³ = 2⁻³(cos(-π/2) + i sin(-π/2))
             = (1/8)(0 - i)
             = -i/8

元の底の3乗は 2³(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 8i です。答えを掛けると (8i)(-i/8) = 1 となり、逆数の条件を満たします。答えの距離は 1/8 で、元の3乗の距離8の逆数です。

5. 商に戻す

分母の底 2 − i は非零なので、その2乗も非零です。底の絶対値を r、偏角を θ とすると、分子の絶対値は r⁴、角は 4θ です。分母は絶対値 r²、角 2θ なので、商の絶対値は r²、角は 2θ となり、底の2乗に等しくなります。

(2 - i)⁴/(2 - i)² = (2 - i)²
                     = 4 - 4i + i²
                     = 3 - 4i

元の式へ戻すため、分母と分子を直接計算します。

(2 - i)² = 3 - 4i
(2 - i)⁴ = (3 - 4i)²
          = 9 - 24i + 16i²
          = -7 - 24i
(3 - 4i)(3 - 4i) = -7 - 24i

答えを分母に掛けると元の分子に一致します。分母の絶対値は5で0ではなく、商の計算に必要な条件も満たします。

要点を手元に残す

• 非零の底では、整数乗の絶対値は rⁿ、角は nθ です。
• 0乗と負の整数乗は、先に底が非零かを確かめます。
• 角は 2kπ の差を調整して、指定された区間で答えます。
• 直交表示への戻し方と、距離・向きの両方で検算します。

どこで止まったかを見分ける

式に入る前に絶対値と角を別行に書けるかを見ると、つまずきの位置が明確になります。距離が合わなければ指数を長さにも適用したか、角が合わなければ象限と符号を読み直します。値が合っていても指定された角の区間から外れていれば、2πの調整が残っています。

個別指導で確認するなら、まず非零条件を本人の言葉で説明し、次に負の指数を逆数に直す1行を書いてもらいます。その後、求めた点の距離と向きを元の条件へ戻せるかを確かめます。累乗の式は、長さと角の2つの変化を記録して初めて点の位置を決めます。