高校数学C 累乗の周期—偏角の合同条件から値が戻る回数を探す｜武蔵野個別指導塾

単位円上の点が1に戻る指数と実数になる指数を比べると、最小性を判定する鍵は累乗の周期です。

よくあるのは、理系高3が単位円上の点を何回か回して1に戻る回数を見つけ、その回数を最小と断定する場面です。戻ることの確認と、それより小さい正の回数では戻らないことの確認は別の作業です。角度を1周分で整理し、指数を割った余りと結び付けると、戻る位置と最初に戻る時点を区別できます。

どの条件を先に立てるか

累乗の問題には、主に3つの問い方があります。まず、zⁿ = 1 となる正の整数 n を求める問題です。偏角が1周の整数倍になる条件を立て、その中の最小値を探します。次に、大きな指数の値を求める問題があります。最小周期が得られたら指数をその周期で割り、余りに対応する小さな累乗へ戻します。

もう1つは、zⁿ が実数になる指数を求める問題です。実軸上には 1 と -1 の両方があるので、1に戻る条件より広くなります。問題が正の整数を求めるのか、0も含む非負の整数を求めるのかも確認します。0乗は1なので、非零の z なら必ず実数ですが、正の周期そのものには0を含めません。

1周と半周を式にする

ここでは z = cos θ + i sin θ とし、θ は実数とします。|z| = 1 なので z は0ではなく、0乗も負の整数乗も定義できます。整数 n に対して、累乗の積の公式から zⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) です。点 zⁿ は単位円上にあり、指数を1増やすたびに角 θ だけ進みます。

図1のように、元の点から出発して同じ値に戻るには、増えた角が 2π の整数倍である必要があります。特に1から出発すれば、zⁿ = 1 は nθ = 2kπ、k は整数、という条件です。等式の両方向が成り立つので、この角の条件を満たす指数を探せば見落としはありません。

一方、zⁿ が実数であることは虚部 sin(nθ) = 0 と同じです。したがって nθ = kπ と表せます。図1の実軸と円の交点は 1 と -1 であり、1周だけでなく半周の奇数倍も含めます。実数になる最初の正の指数が、1に戻る最初の指数と一致するとは限りません。

正の整数 T で zᵀ = 1 なら、任意の整数 n について zⁿ⁺ᵀ = zⁿ です。このような T のうち最小のものを最小の正周期と呼びます。候補 T が見つかった後、小さい正の指数を調べるか、整数条件から T の倍数しか候補がないと示します。後者なら最小性と、それ以外の戻る指数まで同時に決まります。

例えば θ/(2π) が整数比 a/b で、b は正、a と b は共通因数を持たない整数だとします。このとき nθ = 2kπ は na = kb と同値です。a と b が互いに素なので b は n を割り、逆に n が b の倍数なら条件を満たします。よって最小の正周期は b です。θ が0のときは既約分数を 0/1 と考えれば周期は1です。

周期が存在するとも限りません。θ/(2π) が無理数なら、正の整数 n と整数 k で nθ = 2kπ とはできません。できるとすると θ/(2π) = k/n となり、無理数という仮定に反します。したがって正の周期はありません。有限回で戻る図を無条件に描かないことも、条件の確認です。

指数を周期で割る方法には、商が負になる場合も含めて同じ理由があります。例えば周期 T があるとき、整数 n を n = qT + r、0 ≤ r < T と表せば、zⁿ = (zᵀ)の q 乗・zʳ = zʳ です。z は非零なので q が負でも逆数を使えます。正の大きな指数だけを扱う場合も、この余りの範囲を固定すると答えの位置が1つに定まります。

周期がある数で zᵃ = zᵇ を調べる場合も、両辺を非零の zᵇ で割れば z の (a − b) 乗が1になる条件に変わります。したがって指数の差が最小周期の整数倍かどうかを調べます。差が負でも、戻る条件は正負の整数倍に広がります。元の等式に戻して、左右が同じ余りを持つことを確認できます。

基本例題：戻る回数と余り

z = cos(2π/5) + i sin(2π/5) とします。zⁿ = 1 となる正の整数 n をすべて求め、最小の正周期と z¹⁷ を求めてください。z¹⁷ は三角関数を用いた形で答えます。

ド・モアブルの定理を使うと、次のように角を比較できます。

zⁿ = cos(2nπ/5) + i sin(2nπ/5)
zⁿ = 1 ⇔ 2nπ/5 = 2kπ （k は整数）
          ⇔ n = 5k

n は正ですから k は正の整数です。逆に n が5の正の倍数なら角は1周の整数倍なので、確かに1に戻ります。最小の正周期は5です。図2では、1から反時計回りに 2π/5 ずつ進み、5回目に出発点へ戻ります。途中の1回目から4回目の角は1周の整数倍ではありません。

指数17を5で割ると、17 = 5・3 + 2 です。したがって、次のように計算できます。

z¹⁷ = (z⁵)³・z²
     = 1³・z²
     = cos(4π/5) + i sin(4π/5)

答えの点は、図2の2回目の位置です。元の17回の回転を3周と2回に分けても同じ位置になるので、余りの操作は元の場面へ戻して確かめられます。余りが0なら答えは z⁰ = 1 であり、最後の位置を z⁵ のまま残しても1に直せます。

標準例題：実数になる時点

w = cos(3π/4) + i sin(3π/4) とします。wⁿ が実数となる正の整数 n をすべて求め、そのうち wⁿ = 1 となるものと wⁿ = -1 となるものを分けてください。最小の正周期も整数で答えます。

まず実数条件を使います。整数 k を用い、

3nπ/4 = kπ
3n = 4k

3と4は互いに素ですから、n は4の倍数です。逆に n = 4m とすれば角は 3mπ となり実数です。n が正なので m は正の整数です。そのとき、

w⁴ᵐ = cos(3mπ) + i sin(3mπ)
      = (-1)ᵐ

よって m が偶数のとき1、奇数のとき -1 です。つまり wⁿ = 1 は n = 8j、wⁿ = -1 は n = 8j + 4 です。前者は正の整数 j、後者は0以上の整数 j を用います。最小の正周期は8で、w⁴ = -1 は実数になっていても1には戻っていません。

逆に元の角へ代入すると、n = 8j では角が 6jπ、n = 8j + 4 では角が (6j + 3)π です。前者は偶数倍の π、後者は奇数倍の π となり、答えの符号と一致します。実数条件から先に解く方法は両方の符号を求めるときに便利です。1に戻る周期だけなら最初から 3nπ/4 = 2kπ と置いても同じ8を得ます。

発展例題：条件を絞って回数を数える

u = cos(5π/6) + i sin(5π/6) とします。1以上100以下の整数 n のうち、uⁿ が実数となるものの個数と、そのうち uⁿ = -1 となるものの個数を求めてください。また最小の正周期を答えます。

実数である条件から始めます。k を整数として、

5nπ/6 = kπ
5n = 6k
n = 6m （m は整数）

5と6が互いに素であることを使いました。逆に n = 6m の角は 5mπ なので、実数条件を満たします。指定された範囲では 1 ≤ 6m ≤ 100 ですから、m は1以上16以下の整数です。実数となる指数は16個あります。

それぞれの符号も元の角で調べます。

u⁶ᵐ = cos(5mπ) + i sin(5mπ)
      = (-1)ᵐ

m が奇数なら -1、偶数なら1です。1から16までの奇数は8個なので、-1 となる指数は8個です。例えば最後の奇数 m = 15 は n = 90 に対応し、角は75π で確かに -1 です。m = 16 は n = 96、角は80π で1です。次の実数の候補 n = 102 は上限を超えます。

1に戻るのは m が偶数の場合ですから、正の指数は12の倍数です。よって最小の正周期は12です。ここでは先に周期12を求め、各周期内の6番目が -1 だと数えても同じ答えが得られます。ただし範囲の端で途中までの周期が残る場合は、その部分の候補を別に調べます。

誤答を生む2種類の「戻る」

図3のように、v = cos(π/3) + i sin(π/3) の累乗を考えます。「v¹² = 1 だから最小の正周期は12」とする答えは、12が周期であることしか示していません。角 12・π/3 = 4π は2周なので、途中で1へ戻る可能性が残ります。

修正するには nπ/3 = 2kπ と置き、n = 6k と解きます。正の指数の候補は6、12、18、……であり、最小は6です。図3の1周目で既に1へ戻ることと一致します。12を代入して得た等式は誤りではありませんが、最小性を示す根拠として不足しています。

もう1つの誤答は「v³ = -1 だから周期は3」です。3回目の点は実軸上ですが出発点1とは反対側です。v³⁺³ = 1 は v³ = -1 と異なるため、3はこの数列の周期ではありません。実数になる条件 nπ/3 = kπ と、1に戻る条件 nπ/3 = 2kπ を別々に書くと混同を防げます。

また、偏角の分数を約分する前の分母を周期にするのも危険です。例えば角が 4π/6 なら、1周に対する割合は 2/6 = 1/3 です。6回で戻りますが、3回で既に戻ります。基準を π ではなく 2π にそろえ、既約分数に直してから分母を読みます。

練習問題

次の各問で指数 n は指定がなければ正の整数とします。角はすべてラジアンです。答えの指数は整数を用いた形で、個数と周期は整数で示してください。

1. a = cos(2π/7) + i sin(2π/7) とします。aⁿ = 1 となる n をすべて求め、最小の正周期と a²³ を三角関数の形で求めてください。
2. b = cos(π/5) + i sin(π/5) とします。bⁿ が実数となる n をすべて求め、bⁿ = 1 と bⁿ = -1 の場合に分けてください。
3. c = cos(4π/3) + i sin(4π/3) とします。最小の正周期を求め、c²⁰ を実部と虚部を用いて表してください。
4. d = cos(7π/8) + i sin(7π/8) とします。1以上70以下の n のうち、dⁿ が実数となるものと、dⁿ = -1 となるものの個数をそれぞれ求めてください。
5. e = cos(√2π) + i sin(√2π) とします。eⁿ = 1 となる正の整数 n があるか調べ、e⁰ の値も答えてください。

練習問題の答えと道筋

1. 整数 k に対し、aⁿ = 1 は次と同値です。

2nπ/7 = 2kπ
n = 7k

正の n は7の正の倍数で、最小周期は7です。23 = 7・3 + 2 より、a²³ = a² = cos(4π/7) + i sin(4π/7) です。23回の回転は3周と2回に分かれ、答えの角へ戻ります。

2. 実数条件は nπ/5 = kπ、すなわち n = 5k です。正の k を用いて b⁵ᵏ = (-1)ᵏ なので、1となるのは n = 10j（j は正の整数）、-1 となるのは n = 10j + 5（j は0以上の整数）です。角はそれぞれ 2jπ、(2j + 1)π となり、元の条件を満たします。

3. 1に戻る条件は 4nπ/3 = 2kπ、つまり 2n = 3k です。2と3は互いに素なので n は3の倍数で、逆に3の倍数は条件を満たします。最小周期は3です。20 = 3・6 + 2 だから、

c²⁰ = c²
     = cos(8π/3) + i sin(8π/3)
     = cos(2π/3) + i sin(2π/3)
     = -1/2 + (√3/2)i

20回の角は 80π/3 で、これから 26π を引くと 2π/3 です。答えは元の回転位置に一致します。

4. 実数条件は 7nπ/8 = kπ、すなわち 7n = 8k です。7と8が互いに素なので n = 8m です。1 ≤ 8m ≤ 70 より m は1から8までで、実数となる指数は8個です。d⁸ᵐ = (-1)ᵐ ですから -1 となるのは奇数の m に対応する4個です。最後の候補 n = 64 の角は56π で1、次の n = 72 は範囲外です。

5. eⁿ = 1 なら n√2π = 2kπ、すなわち √2 = 2k/n です。右辺は有理数なので √2 が無理数であることに反します。したがって該当する正の整数はありません。e は単位円上で非零なので e⁰ = 1 です。0を含めるかどうかで答えが変わることに注意します。

要点を手元に残す

1に戻る条件は角が 2π の整数倍、実数になる条件は π の整数倍です。 正の周期の候補を見つけたら、それより小さい候補がないことを示します。 周期がある場合は指数を周期で割った余りで累乗を整理できます。

途中式からつまずきを見分ける

1に戻る条件に kπ と書いていたら、-1 も拾っている可能性があります。実際に k が奇数の場合を代入し、点が実軸のどちら側にあるか確かめます。反対に、候補の指数を1つ代入しただけなら、整数条件を解き直して候補全体を表す必要があります。

個別指導で確認する際は、角を1周で割った比を既約分数にする式と、戻る指数がその分母の倍数になる理由を本人の言葉で説明できるかを見ます。実数条件も並べて比較すれば、半周と1周の違いが計算にどう現れるかを確かめられます。最小周期は、最初に出会った帰着点までの回数で決まります。