高校数学III 動く直線と面積—交点の位置による場合分けで面積の式を作る｜武蔵野個別指導塾

水平線や原点を通る直線を動かし、領域が全て残る場合から消える場合まで、境目ごとの面積を式に表します。

よくあるのは、理系の高3が演習で、パラメータを変えても同じ領域の式を使ってしまう場面です。最初に描いた図では直線が曲線と交わっていても、直線を動かすと交点が端に移ったり、2点が重なったり、領域が消えたりします。式の計算を始める前に、その図がどの範囲の値を表しているかを言葉にしましょう。

直線が動くと何が変わるか

たとえば固定された曲線の下側を水平な直線で切るとします。直線が低いときには左右の端まで残る部分が、高くなると中央の一部に縮み、頂点に達すると面積が0になることがあります。同じ積分式を使えるのは、積分区間と上下関係がその式の示す図と一致する範囲です。

問題の型には、曲線と動く直線の間だけを求めるもの、固定された領域から直線より上の部分を切り取るもの、直線の位置によって複数の部分を足すものがあります。どれも最初に確認するのは「何に囲まれた、どちら側の部分か」です。交点を求める作業はその後に置きます。面積の最大値を探すことではなく、位置ごとに面積を表すことを目標にします。

境目を先に地図にする

曲線 y = f(x) と直線 y = t を考えます。f が対象の閉区間で連続なら、固定した t に対して f(x) − t も連続です。上下関係が変わる候補は f(x) = t の解です。端点でも領域の形が変わるので、曲線と直線の接する高さに加えて、端点の高さも境目として調べます。

図1のように、山の形の曲線に水平線を重ねると、低い線も途中の線も2点で交わり、頂点の線は接します。頂点より上では曲線より上の部分はありません。接する点が1点ある場合と交点がない場合は、どちらも正の面積を持たないことがありますが、交点の個数は異なります。

図1の各線について、曲線のどちら側を数えるかを決めてから面積を考えます。たとえば曲線より上ではなく下を求める問題なら、塗る側も結論も変わります。高さを文字で置いただけでは領域は決まりません。

区間内で上側が u(x)、下側が v(x) なら、その間の面積は ∫[a→b] (u(x) − v(x)) dx です。上下の関数が連続で、区間内で u(x) ≥ v(x) であることを使います。途中で上下が入れ替わるなら、交点で区間を分け、各部分を上から下の差で足します。面積は負になりません。逆に積分値が0でも、符号の異なる部分が打ち消されていないか確認が必要です。

境目そのものは隣の式のどちらへ入れても値が一致するかを確かめます。ただし一致するからといって、接点の数や図形の状態まで同じではありません。境目をまたぐ値を1つずつ選び、交点が実際の区間内にあるかを代入して点検すると、余分な交点を積分端点にする誤りを防げます。

基本例題：放物線の頂点に近づける

問題。0 ≤ x ≤ 2 の範囲で、曲線 y = 2x − x² と x軸に挟まれた領域を考えます。実数 t に対し、その領域のうち直線 y = t 以上の部分の面積を S(t) とします。S(t) を t の式で場合分けし、厳密値で表してください。

曲線は連続で、2x − x² = 1 − (x − 1)² です。端点の高さは0、頂点の高さは1です。図2のように、0 < t < 1 では水平線が曲線と2点で交わります。元の領域は x軸より上なので、t ≤ 0 では全体が残り、t ≥ 1 では正の面積を持つ部分がありません。

図2では t が0と1の間にあり、塗られた部分が求める面積です。交点は次のように求まります。

1 - (x - 1)² = t
(x - 1)² = 1 - t
x = 1 ± √(1 - t)

0 < t < 1 では両方の解が区間内です。a = √(1 − t) とおくと、中央の曲線が直線より上にあるため、x − 1 = u として次のように計算できます。

S(t) = ∫[1-a→1+a] (1 - (x - 1)² - t) dx
     = ∫[-a→a] (a² - u²) du
     = 2∫[0→a] (a² - u²) du
     = 2[a²u - u³/3]₀ᵃ
     = 4a³/3
     = 4(1 - t)√(1 - t)/3

一方、全体の面積は次の通りです。

∫[0→2] (2x - x²) dx
= [x² - x³/3]₀²
= 4/3

したがって答えは、t ≤ 0 で S(t) = 4/3、0 < t < 1 で S(t) = 4(1 − t)√(1 − t)/3、t ≥ 1 で S(t) = 0 です。t = 0 と t = 1 を中央の式に代入しても左右の値と一致します。t = 1 では頂点に接して1点が残りますが、面積は0です。t > 1 では交点も残る部分もありません。

確かめとして t = 3/4 を戻すと、交点は x = 1/2、3/2 です。底辺の幅は1で、高さは中央で1/4、両端で0になります。式の値は1/6で、幅1、高さ1/4の長方形の面積1/4より小さく、図の中に収まります。

標準例題：端点を通る高さも境目にする

問題。0 ≤ x ≤ 2 で曲線 y = x² と直線 y = 4 に挟まれた領域のうち、直線 y = t 以下の部分の面積を A(t) とします。実数 t の範囲ごとに A(t) を厳密に表してください。

曲線は閉区間で連続かつ単調増加し、端点の高さは0と4です。t ≤ 0 では面積は0、t ≥ 4 では全体です。0 < t < 4 では交点 x = √t が区間内にあり、求める部分は 0 ≤ x ≤ √t で曲線から水平線までです。残りの x では曲線が直線より上なので含めません。

A(t) = ∫[0→√t] (t - x²) dx
     = [tx - x³/3]₀√t
     = t√t - t√t/3
     = 2t√t/3

全体は次の積分で求まります。

∫[0→2] (4 - x²) dx
= [4x - x³/3]₀²
= 16/3

よって t ≤ 0 では A(t) = 0、0 < t < 4 では A(t) = 2t√t/3、t ≥ 4 では A(t) = 16/3 です。t = 4 で中央の式は16/3となり、固定された上端まで領域が戻ります。t = 0 では原点に接するように見えても、この曲線と水平線の交点は端点にある点です。領域の幅は0なので面積も0です。

別の見方として、高さ y で横に切れば、0 ≤ y ≤ t における幅は √y です。したがって ∫[0→t] √y dy も同じ値になります。縦切りでは交点が積分端点に現れ、横切りでは幅に現れます。どちらも対象となる領域を先に指定したから一致します。たとえば t = 1 のとき交点は (1, 1)、面積は2/3で、幅1、高さ1の正方形の内側という条件に合います。

発展例題：傾きが動く直線と接点

問題。0 ≤ x ≤ 3 の範囲で、曲線 y = x(3 − x) と x軸に挟まれた領域を考えます。実数 k に対し、直線 y = kx 以上の部分の面積を B(k) とします。B(k) を k の範囲ごとに厳密に求めてください。

直線は原点を通り、傾きによって動きます。曲線と直線の差は x(3 − k − x) です。交点の方程式は次のように解けます。

x(3 - x) = kx
x(3 - k - x) = 0
x = 0 または x = 3 - k

もう一方の交点が区間内にあるのは 0 ≤ 3 − k ≤ 3、すなわち 0 ≤ k ≤ 3 です。k = 0 では右端に達し、k = 3 では原点で重なります。後者では直線 y = 3x が曲線の原点での接線です。実際に曲線の導関数は 3 − 2x で、原点における傾きが3です。

k ≤ 0 では、区間内の直線は x軸以下にあり、元の領域は全体が残ります。その面積は次の通りです。

∫[0→3] x(3 - x) dx
= [3x²/2 - x³/3]₀³
= 9/2

0 < k < 3 では、0 ≤ x ≤ 3 − k の間で曲線が直線より上です。この範囲では直線も x軸以上なので、上側から直線を引けば求める部分になります。

B(k) = ∫[0→3-k] x(3 - k - x) dx
     = [(3 - k)x²/2 - x³/3]₀³⁻ᵏ
     = (3 - k)³/2 - (3 - k)³/3
     = (3 - k)³/6

k ≥ 3 では x > 0 で直線が曲線以上です。k = 3 の原点での接触には面積がなく、k > 3 でも原点で交わりますが正の面積はありません。したがって答えは、k ≤ 0 で B(k) = 9/2、0 < k < 3 で B(k) = (3 − k)³/6、k ≥ 3 で B(k) = 0 です。

k = 1 を戻すともう一方の交点は x = 2 です。差は x(2 − x) で、その区間の中央で正、両端で0です。面積4/3は元の全体9/2より小さく、条件と矛盾しません。k = 0 と3でも隣の式の値が一致します。傾きが負の場合に差をそのまま積分すると、元の領域より下まで数えてしまう点が、この問題の分岐です。

誤った式を図に戻す

基本例題で、どの t にも ∫[0→2] (2x − x² − t) dx を使う誤答を考えます。この式は直線と曲線の差を区間全体で符号付きで足しています。図3のように、0 < t < 1 では両端で直線が曲線より上にあり、求める中央の面積から両端の負の分を引いてしまいます。

図3の両端は元の領域の外側です。絶対値を付けて正に直しても、今度はその外側の部分を足すことになるので修正になりません。交点を求め、元の領域と条件を同時に満たす区間を選び直します。さらに t < 0 では直線より下の部分が元の領域に含まれないこと、t > 1 では求める部分が消えることを別に判定します。

交点の式に平方根が出た場合、根号の中が負なら実数の交点はありません。そこで計算を中断するのではなく、曲線全体が直線のどちら側にあるかを調べて、全体が残るのか消えるのかを判定します。また、交点が実数でも対象区間の外にあれば積分端点にはできません。接点で面積が0になる場合にも、端点を含むかどうかと面積の値は別々に扱います。

練習：切る位置を変えてみる

次の5問はそれぞれ独立です。面積はすべて厳密値で答えてください。文字の範囲が指定されていない場合は実数全体で考えます。

1. 0 ≤ x ≤ 4 の曲線 y = x(4 − x) と x軸の間で、y = 3 以上の部分の面積を求めてください。
2. 0 ≤ x ≤ 3 の曲線 y = x² と直線 y = 9 の間で、y = 4 以下の部分の面積を求めてください。
3. 0 ≤ x ≤ 4 の曲線 y = x(4 − x) と x軸の間で、y = 2x 以上の部分の面積を求めてください。
4. 0 ≤ x ≤ 2 の曲線 y = x と直線 y = 2 の間で、y = t 以下の部分の面積を t ごとに求めてください。
5. 0 ≤ x ≤ 2 の曲線 y = 4 − x² と x軸の間で、y = t 以上の部分の面積を t ごとに求めてください。

答えと考え方

1. 曲線は 4 − (x − 2)² です。高さ3との交点は x = 1、3 で、その間が対象です。u = x − 2 とおけば、面積は ∫[-1→1] (1 − u²) du = 4/3 です。交点を元の式に戻すと両方の高さは3です。中央の高さの差は1で、幅2の長方形に収まる値です。

2. 交点 x² = 4 は区間内で x = 2 です。0 ≤ x ≤ 2 で水平線が曲線の上にありますから、面積は ∫[0→2] (4 − x²) dx = 16/3 です。x = 2 で両方の高さが4となり、求めた部分は幅2、高さ4の長方形より小さいことも確かめられます。

3. 差は x(4 − x) − 2x = x(2 − x) です。交点は x = 0、2 で、両者の間では差が非負です。面積は ∫[0→2] x(2 − x) dx = 4/3 です。x = 2 で双方の高さは4となり、x > 2 は直線が上なので含めません。

4. t ≤ 0 なら面積0、0 < t < 2 なら交点は x = t で、面積は ∫[0→t] (t − x) dx = t²/2 です。t ≥ 2 では全体の面積2です。t = 2 で中央の式も2となり、元の三角形の底辺2、高さ2から求めた面積に戻ります。t = 0 では幅が0です。

5. t ≤ 0 なら全体の面積 ∫[0→2] (4 − x²) dx = 16/3 です。0 < t < 4 では交点は x = √(4 − t) で、a = √(4 − t) とおくと面積は ∫[0→a] (4 − t − x²) dx = 2a³/3 です。t ≥ 4 では面積0です。t = 0 で16/3、t = 4 で0となり、端の状態に戻ります。交点を曲線に代入すると高さは t です。

手元に残す確認

• 固定された領域と、直線のどちら側を求めるかを先に塗ります。
• 端点を通る値と接する値を境目に置き、交点が区間内にあるか調べます。
• 各区間で上側と下側を確認し、必要な範囲を積分します。
• 境目の値、面積の非負性、元の図形の大きさとの関係を確かめます。

式が止まった場所から確かめる

交点が出せても先へ進めないときは、1つの値を選んで図に戻し、どの部分を積分するか説明してみてください。交点が区間外にある場合や、接して幅が0になる場合も描きます。式の端点が図の左右の境界と一致しなければ、積分計算より前に領域の選び方を直します。

個別指導で確認するなら、まず固定領域を指で示し、次に動く直線の位置を変えた図を描き、最後に各範囲の差の符号を口頭で説明できるかを見ます。答えが合った場合も境目の代入でつながりを確認し、合わなかった場合は負の部分や領域外を数えていないかをたどります。動く直線の位置を分類できれば、面積の式はその図から定まります。