高校数学III 楕円の媒介変数と面積—対称性と積分区間で一周分を対応させる｜武蔵野個別指導塾

楕円上の点の向きと象限を追い、全体・半分・縦線で切った部分について、対応する媒介変数の範囲を求めます。

よくあるのは、理系の高3が演習で、楕円を表す媒介変数の区間と、実際に描く象限を取り違える場面です。式には正しい三角関数が並んでいるのに、図に塗った部分と積分する範囲が一致しません。端点の座標と進む向きを先に書けば、1周のうち何を数えているかを追えます。

楕円の表示を出発点にして、全体や一部の面積を求めます。曲線の分類や焦点の性質は使わず、座標と対称性から計算します。

面積の問題で先に決めること

楕円の面積では、例えば横方向と縦方向の長さが与えられ、囲まれた全体の面積を求める問題があります。また、座標軸で分けた半分や、縦の直線で切り取った部分を求める問題もあります。前者では対称性を使う範囲を決め、後者では切り口に対応する媒介変数を求めます。

いずれの場合も、まず対象の領域を塗り、縦の線で切ったときの高さを考えます。媒介変数の式を見たら、積分に進む前に端点と向きを調べます。楕円を1周する時間の長さと、面積を求めるための積分区間は、同じとは限りません。

軸の長さという言葉にも注意します。中心から端までの長さを使うのか、端から端までの長さを使うのかで、座標の係数が変わります。図の端点を式に書き込んでから計算すれば、係数を2倍してしまう間違いを防げます。

楕円を1周する点と面積の対応

正の数 a、b に対して、点 P の座標を次のように与えます。

x = a cos t
 y = b sin t

cos² t + sin² t = 1 なので、P は x²/a² + y²/b² = 1 を満たします。逆に、この式を満たす点は適切な t で表せます。横の端点は (a, 0)、(-a, 0)、縦の端点は (0, b)、(0, -b) です。横の端から端までは 2a、縦の端から端までは 2b です。

図1のように、t が 0 から π/2、π、3π/2、2π と増えると、P は右端から上端、左端、下端を経て右端に戻ります。それぞれの区間の内部で cos t と sin t の符号を調べると、第1、第2、第3、第4象限の順に通ります。端点では隣り合う弧が接続しますが、同じ領域を2回塗るわけではありません。

図1の対応を使うと、0 ≦ t ≦ π/2 は第1象限の弧であるとわかります。この区間で x は a から 0 へ減り、y は 0 から b へ増えます。楕円は両座標軸について対称なので、全体の面積は第1象限の面積の4倍、右半分の面積は第1象限の面積の2倍です。倍率は求める領域を図で確かめてから付けます。

第1象限では上側の境界が y = b√(1 − x²/a²) で、0 ≦ x ≦ a に連続です。その下の面積 Q は ∫[0→a] y dx で表されます。x = a cos t と置くと dx/dt = -a sin t です。x の下端 0 は t = π/2、上端 a は t = 0 に対応します。置換の向きまで含めると、次の通りです。

Q = ∫[π/2→0] b sin t・(-a sin t) dt
  = ab∫[0→π/2] sin² t dt

端点を逆にしたときに符号も変わるため、面積は正になります。区間の内部で x は単調に減少し、弧は重複しません。端点で dx/dt が 0 になることは、上の置換を使う妨げにはなりません。

倍角の関係 sin² t = (1 − cos 2t)/2 により、積分は次のように求まります。

∫[0→π/2] sin² t dt = [t/2 - sin 2t/4]₀→π/2
                      = π/4
Q = πab/4
全体の面積 = 4Q = πab

この結果は a、b が正のときの楕円全体に対するものです。横を2倍にして縦を変えなければ面積も2倍になりますが、片側だけ切った領域に全体の式をそのまま使えるとは限りません。図のどの部分が何回現れるかを確かめます。

基本例題　楕円全体を4つの部分に分ける

点 P が x = 4 cos t、y = 3 sin t により 0 ≦ t ≦ 2π を動くとき、描かれる楕円で囲まれた面積を π を用いた厳密値で求めてください。

図2のように、右端 (4, 0) から上端 (0, 3) までの弧と2つの軸で囲まれた部分を考えます。係数 4 と 3 はそれぞれ中心から端までの長さです。x 軸に平行な全幅は 8、y 軸に平行な全幅は 6 です。

図2の淡い部分を Q とすると、対称性から求める面積は 4Q です。上側の境界は 0 ≦ x ≦ 4 で連続であり、t が 0 から π/2 に増える間、x は 4 から 0 に減ります。置換の両端と微分を次のように対応させます。

x = 4 cos t
 y = 3 sin t
 dx = -4 sin t dt
x = 0 のとき t = π/2
x = 4 のとき t = 0

したがって、縦の線分の高さを積分すると、次の計算になります。

Q = ∫[0→4] y dx
  = ∫[π/2→0] 3 sin t・(-4 sin t) dt
  = 12∫[0→π/2] sin² t dt
  = 12[t/2 - sin 2t/4]₀→π/2
  = 3π
4Q = 12π

答えは 12π です。端点を元の式に戻すと、t = 0 で (4, 0)、t = π/2 で (0, 3) となり、図の弧に対応します。4つの領域は軸を境に重ならず、合同ですから、4倍して楕円の内側をちょうど1回数えています。

公式 πab に a = 4、b = 3 を入れても 12π です。ただしこの確認だけで区間の取り違えは見つかりません。積分の端点と図2の塗りを照合し、Q が全体の4分の1であることも確かめます。

標準例題　右半分を求める

楕円 x²/36 + y²/4 = 1 の内部のうち、x ≧ 0 の部分の面積を π を用いた厳密値で求めてください。

横の端点は (6, 0)、縦の端点は (0, 2) です。x = 6 cos t、y = 2 sin t と表せます。右半分は x 軸で上下に分けると、第1象限と第4象限の2つの合同な領域です。面積を R とし、第1象限の面積の2倍として計算します。

第1象限では 0 ≦ t ≦ π/2、x は 6 から 0 へ減ります。上側の境界は 0 ≦ x ≦ 6 で連続なので、置換積分を使えます。

R = 2∫[0→6] y dx
  = 2∫[π/2→0] 2 sin t・(-6 sin t) dt
  = 24∫[0→π/2] sin² t dt
  = 24・π/4
  = 6π

答えは 6π です。t = 0 と t = π/2 を元の座標に戻すと (6, 0) と (0, 2) です。右半分を上下に切った各部分が、計算した弧の下の領域と一致します。全体の面積は π・6・2 = 12π なので、その半分とも一致します。

右側の弧を第4象限から第1象限へ通る区間で表す方法もあります。ただし、上側と下側では y の符号が違います。上の面積と下の面積の差ではなく和を求めるため、対称性で第1象限にそろえる方法を選びました。

発展例題　縦の直線で右端を切り取る

楕円 x²/16 + y²/9 = 1 の内部のうち、x ≧ 2 の部分の面積を π と √3 を用いた厳密値で求めてください。

右側の端は x = 4 です。切り口 x = 2 は端ではなく途中にあるため、右半分全体の面積を2で割ることはできません。求める領域は x 軸に関して上下対称です。まず上半分の x = 2 から x = 4 までを積分し、2倍します。

上側の境界を x = 4 cos t、y = 3 sin t と表すと、切り口では cos t = 1/2 です。第1象限の範囲 0 ≦ t ≦ π/2 に限定すると、対応する値は t = π/3 です。x = 4 は t = 0 に対応します。x が 2 から 4 に増えるとき、t は π/3 から 0 に減ります。

S = 2∫[2→4] y dx
  = 2∫[π/3→0] 3 sin t・(-4 sin t) dt
  = 24∫[0→π/3] sin² t dt
  = 24[t/2 - sin 2t/4]₀→π/3
  = 24(π/6 - √3/8)
  = 4π - 3√3

答えは 4π − 3√3 です。上側の境界は積分区間で連続で、x は対応する弧を重複なく動きます。切り口の上端は t = π/3 を元の式に代入して (2, 3√3/2) です。この点は 2²/16 + (3√3/2)²/9 = 1 も満たします。下端は対称な (2, -3√3/2) ですから、上下の2倍が問題の領域に戻っています。

値も正で、右半分全体の面積 6π より小さくなります。この大小関係だけでは正確な値の証明にはなりませんが、倍率や符号の間違いを探す手掛かりになります。切り口が移動する場合も、まず cos t の値を求め、どの象限の解が必要かを決めてから積分します。

よくある誤答を図から直す

基本例題で、0 ≦ t ≦ π/2 を使って次のように書く誤りを考えます。

誤り: ∫[0→π/2] 3 sin t・(-4 sin t) dt = -3π

計算した定積分は負ですが、面積が負になったわけではありません。t が増える向きに沿うと x は右から左へ減り、dx が負になります。この式は向きの付いた積分です。さらに、絶対値を取った 3π は第1象限の面積であり、楕円全体の答えではありません。

図3のように、弧の始点と終点をたどってください。第1象限の面積を x の小さい方から大きい方へ積分するなら、対応する t の範囲は π/2 から 0 です。区間を逆にすることによる符号と、4倍する対称性は別々の操作です。

図3の向きに沿った式を使うなら、その前に負号を付けて第1象限の面積を得ます。その後、求める領域が全体であることを確認して4倍します。右半分なら2倍、上半分なら第1象限と第2象限を合わせて2倍です。領域の指定を読まずに倍率を決めると、符号を正しく直しても答えがずれます。

別の誤りとして、横幅 8 を a に、縦幅 6 を b に入れる例があります。式の係数は半分の 4 と 3 です。端点を代入して一致しなければ、軸の全長と中心からの長さを読み直してください。

練習問題

次の5問では、面積を π や √3 を用いた厳密値で求めてください。境界を含むかどうかは面積に影響しませんが、どの領域を数えるかを図に示してから解きます。

1. x = 3 cos t、y = 2 sin t、0 ≦ t ≦ 2π で描く楕円の内部全体の面積を求めてください。
2. x²/25 + y²/16 = 1 の内部で y ≧ 0 の部分の面積を求めてください。
3. 横の端から端までの長さが 4、縦の端から端までの長さが 12 で、中心が原点、軸が座標軸に平行な楕円の内部のうち、x ≦ 0 の部分の面積を求めてください。
4. x²/36 + y²/9 = 1 の内部で x ≧ 3 の部分の面積を求めてください。
5. x = 8 cos t、y = 2 sin t、0 ≦ t ≦ 2π で描く楕円の内部で、第1象限にある部分の面積を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 中心から横と縦の端までの長さは 3 と 2 です。第1象限は t が 0 から π/2 に対応し、x は 3 から 0 に減ります。全体はその4倍です。

面積 = 4・6∫[0→π/2] sin² t dt
     = 24・π/4
     = 6π

端点は元の座標式から (3, 0)、(0, 2) です。左右と上下に同じ形があり、4倍で全体に戻ります。

2. 横と縦の係数は 5 と 4 です。上半分は第1象限の2倍なので、次のように求まります。

面積 = 2・20∫[0→π/2] sin² t dt
     = 40・π/4
     = 10π

元の方程式に y = 0 を入れると x = ±5、x = 0 を入れると y = ±4 です。上半分の2つの領域を足した答えで、全体 20π の半分にも一致します。

3. 全幅を2で割ると a = 2、b = 6 です。左半分は右半分と対称で、全体の半分です。

面積 = π・2・6/2
     = 6π

係数を2倍すると横幅 4、縦幅 12 に戻ります。全幅をそのまま係数にしなかったことをここで確かめられます。

4. x = 6 cos t、y = 3 sin t とします。右上の弧で x = 3 は t = π/3、x = 6 は t = 0 です。上下を合わせます。

面積 = 2・18∫[0→π/3] sin² t dt
     = 36(π/6 - √3/8)
     = 6π - 9√3/2

切り口の上端は (3, 3√3/2) で、方程式に代入すると 9/36 + (27/4)/9 = 1 です。下側はその対称な領域なので、2倍した範囲は指定の x ≧ 3 に一致します。

5. 第1象限は全体の4分の1です。係数は 8 と 2 なので、置換による積分を使えば次のようになります。

面積 = 16∫[0→π/2] sin² t dt
     = 16・π/4
     = 4π

t = 0 で (8, 0)、t = π/2 で (0, 2) となります。その間は両座標が正で、求める象限の弧を1回描きます。

覚えておくこと

• x = a cos t、y = b sin t では、0 ≦ t ≦ π/2 が第1象限の弧です。
• その間 x は減るので、置換後の積分区間と符号を対応させます。
• a、b が正の楕円全体の面積は πab です。
• 半分や一部の面積は、図で対象を確かめてから倍率や端点を決めます。

式が止まったときの見分け方

答えが負なら、面積の符号と点が進む向きを区別できているか調べます。答えが正でも全体の4倍や4分の1になっているなら、積分が表す領域と最後の倍率を図に戻します。直線で切る問題では、切り口の座標を媒介変数の式に代入して、該当する象限の値を選べているかが鍵です。

個別指導で確かめるなら、まず楕円の4つの端点を書き、次に指定された区間の始点と終点を指して説明します。そのうえで、縦に切った線分の高さ、x の増減、対称性による倍率を式の各部分に対応させます。図と式を往復すると、計算が合っていても領域の選択が違う場合を見つけられます。楕円の面積は、描いた弧と塗った領域の対応から決まります。