高校数学III 折り返す媒介変数曲線の面積—進行方向を分けて重なりのない領域を数える｜武蔵野個別指導塾

左右へ往復する弧の符号と上下の枝を整理し、重なりを除いて数える鍵は折り返し面積です。

よくあるのは、理系の高3が演習で、往復した弧の積分が打ち消されて面積0になる場面です。式の計算が合っていても、求めた量と図形の面積が違うことがあります。動く点を追い、同じ場所を何回通ったかを記録してから、塗る領域を決めましょう。

何が折り返しているのか

媒介変数tが増えるとき、xの値が増え続けるとは限りません。途中でdx/dtの符号が変われば、点は左右の進行方向を変えます。このとき注意する対象は、点の移動と、曲線が囲む平面上の領域の2つです。移動の回数に応じて積分した値と、領域を1回塗った面積とは一致しない場合があります。

問題には、同じ弧を戻る型と、上側を進んで別の下側の弧から戻る型があります。前者では往路と復路の符号付きの寄与が消えます。後者では上下の高さの差を各xで測れば、囲まれた部分を重複なく数えられます。枝が交差する場合は上下の順序が変わる点でも分ける必要があります。

まず端点、dx/dtが0になる点、曲線の交点を調べます。次に各区間でxの増減とyの位置を表にし、どの部分を塗るか決めます。図形としての面積を問われたなら、曲線を何度描いても同じ領域は1回分です。以下では有限区間の多項式で表された曲線を扱い、式の連続性と微分可能性を使います。

符号付きの移動から縦の幅へ

図1のように、同じxに対する上側の高さをU(x)、下側をL(x)とします。両者が連続で、a ≦ x ≦ bでU(x) ≧ L(x)なら、その間の面積は∫[a→b] (U(x) − L(x)) dxです。端の点で枝が接していても、縦の幅が0になるだけです。

図1のように、上側を左から右、下側を右から左へたどるとします。上側の寄与は∫[a→b] U(x) dxです。下側の寄与は向きのため∫[b→a] L(x) dxとなり、2つの和は上下の差の積分になります。ただし、これはこの向きと1周という条件の下での説明です。逆向きなら和の符号も逆転します。複数回たどる場合は回数の調整も必要です。

置換を使うときは、x = f(t)、y = g(t)に対し、xが単調な枝ごとにdx = f′(t) dtとします。各枝でxの端点が対応するtの端点を確かめ、∫ y dxを∫ g(t)f′(t) dtに直します。f′(t)が負なら、tを増やす積分の向きとxの増加方向は逆です。yだけをtに直し、dxを残してはいけません。

単純な閉曲線とは、始点と終点の一致を除き、途中で自分自身と交わらない閉じた曲線です。単純であることは式の見た目から決めず、枝の共有点を調べます。閉曲線でも、縦線と何度も交わる形なら、xの区間を分けて各区間の上下を調べる必要があります。

基本例題：別の枝を通って戻る

0 ≦ t ≦ 2で、x = t(2 − t)、y = t − 1とします。この曲線とy軸で囲まれる部分の面積を厳密な分数で求めてください。

xとyは多項式なので連続かつ微分可能です。dx/dt = 2 − 2tより、0 ≦ t ≦ 1ではxが0から1へ増え、1 ≦ t ≦ 2では1から0へ減ります。端点はそれぞれ(0, -1)、(1, 0)、(0, 1)です。図2のように、左端の2点をy軸で結ぶと領域が閉じます。

図2の曲線ではy = t − 1を代入するとx = 1 − y²です。-1 ≦ y ≦ 1で各yに曲線上の点が1つあり、異なる高さで曲線が交わることはありません。各xについて上側はt = 1 + √(1 − x)、下側はt = 1 − √(1 − x)です。したがって上側のyは正、下側は負であり、上下が入れ替わることもありません。

上側を左から右に積分し、下側を同じ向きで引きます。上側はtが2から1へ、下側はtが0から1へ動くので、面積Sは次のようになります。

S = ∫[2→1] (t - 1)(2 - 2t) dt - ∫[0→1] (t - 1)(2 - 2t) dt
  = ∫[1→2] 2(t - 1)² dt + ∫[0→1] 2(t - 1)² dt
  = 2[(t - 1)³/3][0→2]
  = 4/3

ここで上側の積分の端点を逆にしたとき、前の符号も変わっています。下側ではyとdx/dtの符号を両方含めてから、上下差のために引いています。途中の負号を省くと、正しい面積に戻れません。

別の見方として、横に切れば右端がx = 1 − y²、左端がx = 0です。幅の積分は∫[-1→1] (1 − y²) dy = 4/3です。縦切りの答えを元の図形に戻すと、各高さの幅は非負で、最大幅は1、縦の長さは2です。面積4/3は外側の長方形の面積2を超えず、両端で幅0という条件とも合います。

標準例題：閉じた2つの枝を分ける

-1 ≦ t ≦ 1で、x = t²、y = t(1 − t²)とします。この曲線が囲む面積を厳密な分数で求めてください。

両座標は多項式なので連続かつ微分可能です。dx/dt = 2tですから、-1から0ではxが1から0へ減り、0から1では0から1へ増えます。t = -1と1ではどちらも(1, 0)、t = 0では(0, 0)です。負のtではy < 0、正のtではy > 0です。0 < x < 1ではt = ±√xの2つに対応し、上枝と下枝は端点以外で交わりません。よって1周で単純な閉曲線を描きます。

上側はt = 0から1へ動き、下側はt = -1から0へ逆向きに動きます。上下差を左から右へ積分すると、下側の逆向きの寄与を足せます。

S = ∫[0→1] t(1 - t²)・2t dt + ∫[-1→0] t(1 - t²)・2t dt
  = 2∫[-1→1] (t² - t⁴) dt
  = 4∫[0→1] (t² - t⁴) dt
  = 4(1/3 - 1/5)
  = 8/15

上側と下側がx軸に関して対称なので、上側の面積を2倍しても同じです。この別解は対称性を確認した後なら短くなります。xで直接見れば上下差は2√x(1 − x)で、0から1まで正です。積分値8/15は正であり、端点で上下差が0という元の条件にも対応します。

発展例題：同じ閉曲線を2回たどる

-2 ≦ t ≦ 2で、u = t² − 1、x = u²、y = u(1 − u²)とします。描かれる曲線が囲む領域の面積を厳密な分数で求めてください。ただし曲線を繰り返し描いても領域は1回だけ数えます。

uはt = -2から0へ進むと3から-1へ減り、t = 0から2へ進むと-1から3へ増えます。xとyは連続かつ微分可能ですが、uの範囲全体が閉曲線を2回描くわけではありません。uが-1から1までの部分が閉曲線で、1から3の部分はその外に伸びる弧です。外側の弧は往路と復路で同じ点を通り、新しい閉じた領域を作りません。

閉曲線の部分はuが1から-1へ、次に-1から1へ動くため、同じ境界を逆向きに1回ずつたどります。-1 < u < 0ではy < 0、0 < u < 1ではy > 0です。x = u²なので、同じxに対応する上側と下側のuは正負の組であり、端点以外では異なる点です。囲まれる領域は1個です。

面積の計算では、その境界のうちuが-1から1へ動く1回分を選びます。dx/du = 2uを使い、上側の寄与と下側の逆向きの寄与を合わせると、

S = ∫[-1→1] u(1 - u²)・2u du
  = 2∫[-1→1] (u² - u⁴) du
  = 4[ u³/3 - u⁵/5 ][0→1]
  = 8/15

u = t² − 1に戻すと、u = -1はt = 0、u = 1はt = ±√2です。したがって閉曲線を描く区間は-√2 ≦ t ≦ 0と0 ≦ t ≦ √2です。この確認をしないままtの全区間で符号付きの積分をすると、同じ経路を逆向きにたどる分が消えて0になります。その0は面積ではありません。u = 2ではx = 4、y = -6となり、外側の弧はx ≧ 1にあります。閉曲線の内部0 ≦ x ≦ 1を新たに分割しないことも、元の式から確かめられます。

0になった式を図へ戻す

基本例題の曲線をt = 0から2へたどり、その後同じ曲線を逆向きに戻るとします。図3のように往路と復路は一致します。各小区間の∫ y dxは逆向きで符号が変わるので、和が0になるのは自然です。

図3の往復だけでは、同じ弧を2回なぞるので新たな領域を囲みません。一方、基本例題ではy軸の線分も境界に加えて領域を指定しました。0という積分値を見たら、求める対象の境界が何かを先に確かめます。閉じる線分を勝手に加えるのも、指定された線分を忘れるのも誤りです。

また、各区間の積分の絶対値を無条件に足す方法も危険です。同じ弧を2回通れば、同じ部分を2回数えます。x軸をまたぐ2枝の場合は、上側と下側の差が必要です。まず領域を薄い縦の帯で切り、各帯の高さを一度だけ数える式に戻しましょう。枝の交点があれば、積分の途中で上下の順序が変わらないかも調べます。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立です。面積はすべて厳密な分数で答えてください。

1. 0 ≦ t ≦ 4でx = t(4 − t)、y = t − 2とします。曲線とy軸で囲まれる面積を求めてください。
2. -1 ≦ t ≦ 1でx = t²、y = 3t(1 − t²)とします。曲線が囲む面積を求めてください。
3. -1 ≦ t ≦ 1でx = t²、y = t(1 − t²)²とします。曲線が囲む面積を求めてください。
4. 0 ≦ t ≦ 2でx = t(2 − t)、y = 2t − 2とします。曲線とy軸で囲まれる面積を求めてください。
5. -1 ≦ t ≦ 1でx = 2t²、y = t(1 − t²)とします。曲線が囲む面積を求めてください。

練習の答えと道筋

1. y = t − 2よりx = 4 − y²、-2 ≦ y ≦ 2です。右端から左端を引きます。

S = ∫[-2→2] (4 - y²) dy
  = [4y - y³/3][-2→2]
  = 32/3

元の式にt = 0、2、4を代入すると(0, -2)、(4, 0)、(0, 2)です。横幅が両端で0、中央で4という条件と積分の幅は一致します。面積は外接長方形の16以下です。

2. xは負のtで減少し正のtで増加します。上側と下側の符号が反対で、同じxの点はtが正負の組です。

S = ∫[-1→1] 3t(1 - t²)・2t dt
  = 12∫[0→1] (t² - t⁴) dt
  = 8/5

両端は(1, 0)、折り返し点は(0, 0)です。0 < x < 1の高さの差は6√x(1 − x)で正なので、求めた値は領域を1回数えた正の面積です。

3. 両枝はyの符号が逆で、0 < |t| < 1では0になりません。したがって端点以外に枝の交点はありません。

S = ∫[-1→1] t(1 - t²)²・2t dt
  = 4∫[0→1] (t² - 2t⁴ + t⁶) dt
  = 4(1/3 - 2/5 + 1/7)
  = 32/105

元の式では両端が(1, 0)、中央が(0, 0)です。各xでの高さの差は2√x(1 − x)²となり、積分した式と一致します。

4. y = 2(t − 1)よりx = 1 − y²/4、-2 ≦ y ≦ 2です。横の幅を積分します。

S = ∫[-2→2] (1 - y²/4) dy
  = [y - y³/12][-2→2]
  = 8/3

端点は(0, -2)、(0, 2)、折り返し点は(1, 0)です。幅は両端で0、中央で1ですから、答えは外接長方形の面積4より小さくなります。

5. dx/dt = 4tを使います。上枝と下枝はx = 0と2で接続し、その間では高さの符号が異なります。

S = ∫[-1→1] t(1 - t²)・4t dt
  = 8∫[0→1] (t² - t⁴) dt
  = 16/15

x = 2t²に戻すと0 ≦ x ≦ 2、上下差は2√(x/2)(1 − x/2)です。これは両端で0、途中で正となり、求める領域の幅に対応します。

持ち帰る手順

端点とdx/dtの符号変化を調べます。 枝の交点と上下関係を確かめます。 重複しない領域を縦の幅で表します。 置換では微分係数と積分の向きをそろえます。 答えを元の図と条件に戻します。

途中で止まったときの点検

負の値や0が出たら、まず積分区間ごとの進行方向を矢印で書きます。次に同じxに対して上側と下側の高さを指さし、その差を言葉で説明できるか調べます。式が合っていても、重複して通る区間をそのまま足すと別の量になります。

個別指導の場では、端点の代入、増減表、塗った領域と積分範囲の対応を順に確かめます。解答の負号だけを直すのではなく、その負号が右向きか左向きかを図で説明できれば、別の曲線にも判断を移せます。面積は、向きを追った後に領域を1回数えて決まります。