高校数学III 変化率が量に比例する微分方程式—指数関数の解と零の解を確かめる｜武蔵野個別指導塾

変化率が量に比例する式を、積の微分から指数関数へ導きます。量で割らずに零の解も残し、初期値と減少の条件を使って関数を決定します。

よくあるのは、理系の高3が演習で、変化率が量に比例する式の両辺を y で割り、初期値が 0 の場合まで同じ計算で済ませる場面です。計算が速く進んでも、割り算の前に y = 0 の可能性を捨てています。式を満たす関数を求めるときは、求めた関数を代入して終わりではありません。他の解を落としていないか、最初の条件に戻って確かめます。

量の変化から何を求めるか

微分方程式は、未知の数ではなく未知の関数と、その導関数との関係を表す式です。ここで扱うのは、定数 k に対して dy/dx = ky と表せる関係です。左辺は x の変化に対する y の変化率で、右辺はそのときの y の k 倍です。k が正なら正の量は増え、負なら正の量は減ります。ただし、y が負のときの増減は右辺の符号を見て決めます。

問題には、比例定数と初期値から関数を求める型があります。別の型では、異なる 2 点での値から比例定数を求めます。また、求めた関数を区間で積分し、変化する量の累積値を求めることもあります。いずれも、先に微分方程式の解と条件を結びつけてから、問いに応じた計算へ進みます。

比例定数は x によらない定数とします。時刻に応じて比例の割合自体が変わる式や、未知の関数の積を含む一般の方程式まで広げず、この形を高校で学ぶ微分と積分で調べます。計算の前に、与えられた区間で関数が微分可能であることを前提とし、求めた式がその区間で実際に微分可能かも確かめます。

解を落とさない考え方

実数全体、または初期点 a を含む区間で微分可能な関数 y が、各 x で y′ = ky を満たすとします。指数関数と積の微分を用いて、y に e⁻ᵏˣ を掛けた関数の導関数を計算します。ここで e⁻ᵏˣ は e の (-kx) 乗です。

(y e⁻ᵏˣ)′ = y′ e⁻ᵏˣ - k y e⁻ᵏˣ
           = (y′ - ky)e⁻ᵏˣ
           = 0

微分係数が区間内で常に 0 の関数は、その区間で定数です。よって y e⁻ᵏˣ = C と書けます。指数関数は 0 にならないので、両辺に eᵏˣ を掛けて y = Ceᵏˣ です。これは y で割っていないため、C = 0 も含みます。逆に、任意の定数 C についてこの関数を微分すると y′ = kCeᵏˣ = ky となります。したがって、示した形は解をすべて表します。

初期値 y(a) = b があれば、C = be⁻ᵏᵃ です。見通しよく書くと、y = beᵏ⁽ˣ⁻ᵃ⁾ となります。指数部分は e の k(x − a) 乗です。b = 0 なら y は常に 0 です。b が 0 でなければ指数関数が正なので、解は区間内で 0 にならず、符号も b と同じです。この結論は割り算で仮定したのではなく、割り算を避けた式から得られます。

図1のように、比例関係と初期値を解の式につなげます。上の導出は増える場合にも減る場合にも通用し、k = 0 なら y = b という一定の解になります。

変数分離という、y が 0 でない範囲で dy/dx = ky を y で割って積分する方法もあります。その際は零の解を先に別に調べ、得られた候補と合わせる必要があります。非零の場合の積分では ln|y| を用いますが、初期値の符号まで追う必要があります。上の積の微分を使う方法なら、その場合分けを導出の途中で必要としません。

基本例題：初期値から増加を読む

ある量 y は実数 x に対して y′ = 2y を満たし、x = 0 で y = 3 です。y を x の式で表し、x = ln 2 における値を整数で求めてください。

図2のように、初期値 3 を通り、右に進むにつれて傾きが大きくなる曲線を考えます。横軸は x、縦軸は y です。比例定数 2 は曲線の高さそのものではなく、各点での傾きがその高さの 2 倍であることを示します。

まず一般形に k = 2 を入れ、初期値を使います。

y = Ce²ˣ
3 = Ce⁰
C = 3
y = 3e²ˣ

x = ln 2 では eˣ = 2 です。したがって e²ˣ = (eˣ)² = 4 となります。

y = 3e²ˣ
y = 3・4
y = 12

答えは y = 3e²ˣ、指定された点での値は 12 です。途中で e²ˣ を 2eˣ と扱うと値がずれます。指数の 2 倍は、指数関数の値を 2 乗することに対応します。

元の条件に戻します。y′ = 6e²ˣ であり、2y = 6e²ˣ と一致します。x = 0 では y = 3 なので初期値も満たします。x = ln 2 では y = 12、傾きは y′ = 24 です。実際に傾きがその点の量の 2 倍であることまで確認できました。指数関数は実数全体で微分可能なので、使った範囲の条件も満たします。

もし初期値が 0 だったら、同じ式の C が 0 となり、答えは y = 0 です。非零のときに限る計算をそのまま持ち込まず、初期値を決める式に代入してから判断します。

標準例題：減少と経過時間

時刻 t が 0 以上の間、容器に残るある物質の量 Q は Q′ = -Q/2 を満たします。初めの量は 6 g です。量 Q を t の式で表し、2 g になる時刻を自然対数を用いた厳密値で求めてください。時刻の単位は時間です。

Q が正の間、変化率は負です。残量が減るにつれて変化率の絶対値も小さくなるので、一定の量が毎時間減る直線とは異なります。Q = 0 で割る必要はなく、一般形へ k = -1/2 と初期値を入れます。

Q = Ce⁽⁻ᵗ/²⁾
6 = Ce⁰
C = 6
Q = 6e⁽⁻ᵗ/²⁾

ここで e⁽⁻ᵗ/²⁾ は e の (-t/2) 乗を表します。求める時刻は次の式で定まります。

2 = 6e⁽⁻ᵗ/²⁾
1/3 = e⁽⁻ᵗ/²⁾
-ln 3 = -t/2
t = 2 ln 3

答えは Q = 6e⁽⁻ᵗ/²⁾ g、時刻は 2 ln 3 時間です。ln 3 は正なので、求めた時刻は t が 0 以上という条件に合います。指数関数は正であり、この解の量も常に正です。対数を取る前に両辺が正であることも確認できます。

条件に戻すと、t = 0 では Q = 6 です。微分すると Q′ = -3e⁽⁻ᵗ/²⁾ で、-Q/2 と一致します。また t = 2 ln 3 では指数部分が e⁻ˡⁿ³ = 1/3 なので、確かに残量は 2 g です。時間の式だけを再計算するのでなく、残量の場面に代入することで、符号や係数の間違いに気づけます。

発展例題：比例定数と累積量

実数 x に対して微分可能な関数 y は y′ = ky を満たします。k は定数で、y(0) = 2、y(ln 3) = 6 です。k と y を求め、さらに ∫[0→ln 3] y dx を整数で求めてください。

比例定数が与えられていないので、最初の値だけでは曲線を決められません。2 点目の値を使って k を決め、その後に定積分します。指数関数は連続なので、有限区間の定積分を計算できます。

まず初期値を入れます。

y = Ceᵏˣ
2 = Ce⁰
C = 2
y = 2eᵏˣ

次に x = ln 3 の条件を使います。

6 = 2eᵏˡⁿ³
3 = eᵏˡⁿ³
ln 3 = k ln 3
k = 1

ln 3 は 0 でないので、最後の割り算ができます。したがって y = 2eˣ です。積分する区間も値も決まったため、累積量は次のように計算できます。

∫[0→ln 3] y dx = ∫[0→ln 3] 2eˣ dx
                  = 2(eˡⁿ³ - e⁰)
                  = 2(3 - 1)
                  = 4

答えは k = 1、y = 2eˣ、積分値は 4 です。値を代入すると y(0) = 2、y(ln 3) = 6 です。さらに y′ = 2eˣ = ky なので、比例の条件も満たします。被積分関数は正で、区間の左端は右端より小さいため、積分値が正であることも整合します。

別の見方では、k = 1 が決まった時点で y′ = y です。よって積分値は y(ln 3) − y(0) = 6 − 2 = 4 とも求められます。この方法は積分計算の確認に役立ちますが、k が 1 と決まる前に y′ = y としてはいけません。一般には y′ = ky であり、係数を無視すると答えが変わります。

誤答を直す：0 で割っていないか

図3は、y′ = 3y、y(0) = 0 の場合に、両辺を y で割る道と、零の解を調べる道を分けています。この初期値では少なくとも x = 0 で y が 0 です。したがって初期点を含む計算で y を割り算の分母に置くことはできません。

誤答の例は「y′/y = 3 として ln|y| = 3x + C、初期値を入れると ln 0 があるので解はない」とするものです。ln 0 が定義されないこと自体は正しいのですが、その式は y が 0 でない範囲に限って導いたものです。初期値が 0 の点にその式を適用して解の有無を決めたところに飛躍があります。

正しくは、まず y = 0 を元の方程式に代入します。導関数も右辺も 0 なので式を満たし、初期値にも合います。他の解がないことは、積の微分から y = Ce³ˣ と示したうえで、0 = Ce⁰ から C = 0 と決まることによって確かめられます。単に零の解を見つけただけでは、他の解がないという説明にはなりません。

もう一つの誤りは、初期値が正だから比例定数も正だと決めることです。初期値の符号は量の符号を決め、比例定数の符号は正の量の増減を決めます。初期値と傾きの役割を別々に書くと、減少する場合のマイナスを落としにくくなります。k = 0 の場合は、変化率が常に 0 なので初期値のまま一定です。

練習問題：条件を式に戻す

次の 5 問では、未知の関数は指定された区間で微分可能とします。対数は自然対数です。問題を解いてから、後の答えと条件への代入を比べてください。

1. 実数 x で y′ = 4y、y(0) = 5 です。y を x の式で表し、x = ln 2 の値を整数で求めてください。
2. t が 0 以上で Q′ = -2Q、Q(0) = 8 g です。量を t の式で表し、1 g になる時刻を自然対数による厳密値で求めてください。t の単位は時間です。
3. 実数 x で y′ = -3y、y(2) = 0 です。条件を満たす関数を求めてください。
4. 実数 x で y′ = ky、y(0) = 4、y(ln 2) = 8 です。定数 k と関数 y、積分 ∫[0→ln 2] y dx を求め、積分値は整数で表してください。
5. 実数 x で y′ = ky、y(1) = -2、y′(1) = 6 です。定数 k と関数 y を求め、x = 1 + ln 2 の値を既約分数で表してください。

答えと解き方

1. 一般形と初期値から、次のようになります。

y = Ce⁴ˣ
5 = C
y = 5e⁴ˣ
y(ln 2) = 5・2⁴ = 80

答えは y = 5e⁴ˣ、値は 80 です。元に戻すと y′ = 20e⁴ˣ = 4y、y(0) = 5 です。x = ln 2 では指数部分が 16 なので、初めの量 5 の 16 倍という値にも一致します。

2. 減少する比例定数は -2 です。初めの量を代入してから、残量が 1 g となる時刻を解きます。

Q = Ce⁻²ᵗ
8 = C
Q = 8e⁻²ᵗ
1 = 8e⁻²ᵗ
-2t = -ln 8
t = (ln 8)/2

答えは Q = 8e⁻²ᵗ g、時刻は (ln 8)/2 時間です。Q′ = -16e⁻²ᵗ = -2Q、Q(0) = 8 です。求めた時刻では e⁻²ᵗ = 1/8 となり、量は確かに 1 g です。時刻は正で、指定区間にも入ります。

3. y で割らずに一般形を使います。

y = Ce⁻³ˣ
0 = Ce⁻⁶
C = 0
y = 0

e⁻⁶ は正なので C = 0 と決まります。答えの y = 0 は微分しても 0 で、-3y も 0 です。x = 2 の値も 0 です。零の関数を候補として見つけるだけでなく、一般形と初期値から他の候補が残らないことを確かめます。

4. 初期値と 2 点目の値を順に使います。

y = 4eᵏˣ
8 = 4eᵏˡⁿ²
ln 2 = k ln 2
k = 1
y = 4eˣ
∫[0→ln 2] y dx = 4(2 - 1) = 4

答えは k = 1、y = 4eˣ、積分値は 4 です。y(0) = 4、y(ln 2) = 8、y′ = y = ky と、2 つの値と方程式に戻ります。区間上で y は正なので、積分値も正であることに矛盾はありません。

5. 初期点の値と傾きを方程式に代入すると、k が直接求まります。

6 = k・(-2)
k = -3
y = -2e⁻³⁽ˣ⁻¹⁾
y(1 + ln 2) = -2e⁻³ˡⁿ²
y(1 + ln 2) = -2/8 = -1/4

答えは k = -3、y = -2e⁻³⁽ˣ⁻¹⁾、指定点の値は -1/4 です。x = 1 で y = -2、y′ = 6 となります。関数が負で k も負なので、y′ = ky は正です。増加といっても正の値になるわけではなく、負のまま 0 に近づくことを式で確認できます。

覚えておくこと

• y′ = ky の解は、定数 C を用いて y = Ceᵏˣ と表せます。
• y(a) = b なら y = beᵏ⁽ˣ⁻ᵃ⁾ で、b = 0 も含みます。
• y で割る場合は、零の解を別に調べます。
• 求めた関数を微分し、方程式と与えられた値の両方へ戻します。

つまずいた場所を見分ける

初期値が 0 の問題で式が立ち止まったら、分母に y を置いた行に戻ります。そこで y が 0 でない理由を示せなければ、積の微分による導出に切り替え、零を含む一般形から初期値を入れます。傾きの符号を間違えた場合は、k と y を別々に書き、積 ky の符号を決めてから図の向きを確認します。

個別指導で確かめるなら、まず初期点とその点の傾きを図に書き、次に「変化率が量の何倍か」を式で説明できるかを見ます。最後に、得られた関数の微分と初期値への代入を本人の手で行い、図の増減と式の符号が合うかを照らします。零の解まで含む式は、割り算の条件を見落とさずに作れます。