高校数学III 媒介変数で表す回転体—半径と断面の厚さを同じ変数でそろえる｜武蔵野個別指導塾

円板と円環の半径、座標の増減、微分係数を結び、端点の向きから考える媒介変数体積です。

よくあるのは、理系の高3が回転体の演習で、半径を媒介変数 t の式に直したところで安心し、断面の厚さの変換を落としてしまう場面です。曲線上の点の高さを t で表せても、隣り合う切り口の間隔がそのまま t の増加量になるとは限りません。座標がどれだけ動くかを一緒に追うと、式の各因子の意味が見えてきます。

何を切り、何を積むか

媒介変数で表す回転体では、曲線を直接 x の式に直せなくても、断面積を t で表して積分できます。問われ方には、曲線と軸の間を回す円板型、軸から離れた2本の境界の間を回す円環型、縦軸のまわりに回して y 方向に切る型があります。いずれも回転軸に垂直に切り、まずその切り口を描くことから始めます。

必要なのは、半径と積分する方向の座標の両方です。x 軸のまわりなら x 方向の厚さを使い、y 軸のまわりなら y 方向の厚さを使います。媒介変数の増加方向と座標の増加方向が逆の場合、端点を入れ替えるか、負の微分係数を使った定積分の向きを正しく扱います。円板や円環を足し合わせた体積は負にならないので、負の答えが出たら向きを調べ直します。

座標の増減と断面を対応させる

x = f(t)、y = g(t) が閉区間で連続に微分可能で、f がその区間で単調に増加するとします。さらに g(t) が非負で、曲線と x 軸の間の領域を考えます。各 x に対応する高さが定まり、断面積は πg(t)² です。断面積が連続なので、座標の端を x = f(a)、x = f(b) とすれば、置換積分によって体積 V は次のようになります。

V = π∫[f(a)→f(b)] y² dx
  = π∫[a→b] g(t)² f′(t) dt

f′(t) は、t が少し増えたときに x がどの割合で変わるかを表します。f′(t) が一定でなければ、同じ t の幅でも x 方向の幅は場所によって変わります。なお、座標の増減が途中で変わると、同じ座標に複数の点が対応することがあります。そのときは積分区間を分けるだけでなく、それぞれが表す領域を描き、重なりを数え直します。単調であることを先に調べるのは、断面の半径を一意に定めるためです。

端点で微分係数が0でも、単調性と置換に必要な連続性があれば、この定積分を使えます。0で割って逆関数を微分する必要はありません。

図1のように、半径は軸から曲線までの距離で、厚さは軸に沿う座標の増加分です。曲線に沿った長さを厚さとしてはいけません。また、t は図形上の座標とは限りません。x が減少する場合は、x の小さい端から大きい端へ積分するために、例えば V = π∫[a→b] g(t)²・(-f′(t)) dt とします。この式は a < b で f が減少する場合の式です。

軸の片側に2本の境界があり、同じ x での外半径が R、内半径が r なら、断面積は π(R² − r²) です。R と r は負でない距離として比べます。2本の境界の t が異なる場合は、そのまま同じ t を代入できません。同じ x に対応する値を求めてから差を取ります。以下の円環の例では、同じ t が同じ x に対応するよう条件を与えます。

基本例題：変化する厚さを残す

問題：0 ≦ t ≦ 1 で x = t²、y = t + 1 と表される弧と、x 軸、直線 x = 0、x = 1 で囲まれる領域を x 軸のまわりに回転します。体積を π を含む厳密な値で求めてください。

x = t² はこの区間で増加し、0 から1までを重複なく動きます。y = t + 1 は正で、各 x に対して円板の半径です。端ではそれぞれ (0, 1)、(1, 2) になります。断面積は連続で、dx/dt = 2t も連続です。

半径はt = 0で1、t = 1で2です。図2もx軸から両端までの高さが1対2になる共通の目盛りで読みます。同じtの増分に対応するxの幅は一定でないため、dx = 2t dtを使って積分します。

V = π∫[0→1] (t + 1)²・2t dt
  = π∫[0→1] (2t³ + 4t² + 2t) dt
  = π[t⁴/2 + 4t³/3 + t²]（0から1）
  = 17π/6

答えは 17π/6 です。元の領域に戻すと x = t² より t = √x であり、高さは 1 + √x です。その断面積 π(1 + √x)² を x = 0 から1まで積分しても同じ値です。端の断面積は π と 4π なので、その間にある断面積を幅1にわたって積む体積としても整合します。

標準例題：同じ切り口の円環

問題：0 ≦ t ≦ 1 で x = 2t、上の境界 y = 2 + t、下の境界 y = 1 + t とします。2本の境界と x = 0、x = 2 に囲まれる領域を x 軸のまわりに回します。体積を π を含む厳密な値で求めてください。

両境界は同じ t で同じ x = 2t を表します。x は0から2へ単調に増え、外半径は 2 + t、内半径は 1 + t です。どちらも正で、外半径が大きいため、断面は穴のある円です。境界と微分係数は連続なので、断面積を積分できます。

R² - r² = (2 + t)² - (1 + t)²
          = 3 + 2t
dx/dt = 2
V = π∫[0→1] (3 + 2t)・2 dt
  = π[6t + 2t²]（0から1）
  = 8π

答えは 8π です。厚さを t の幅と取り違えると 4π となり、x の区間が長さ2であることを反映できません。元の座標では上が y = 2 + x/2、下が y = 1 + x/2 です。断面積は π(3 + x) となり、x = 0 から2まで積分すると 8π に戻ります。

半径の差は常に1ですが、円環の面積は π で一定ではありません。穴の外側が広がるにつれて、同じ幅の輪でも面積が増えるからです。この点を図で確認すると、半径の差の二乗を使う誤りを避けられます。

発展例題：減少する座標を扱う

問題：0 ≦ t ≦ 1 で x = 3 − t²、y = 1 + t と表される弧と、x 軸、直線 x = 2、x = 3 で囲まれる領域を x 軸のまわりに回します。体積を π を含む厳密な値で求めてください。

この弧は t が0から1へ進むと、(3, 1) から (2, 2) へ進みます。x は単調に減少し、y は正です。各 x に高さが1つ定まり、連続な円板の断面を積みます。x の小さい端から積分すると、対応する t は1から0へ進みます。

V = π∫[2→3] y² dx
  = π∫[1→0] (1 + t)²・(-2t) dt
  = π∫[0→1] (1 + t)²・2t dt
  = 17π/6

答えは 17π/6 です。端点と微分係数の両方が逆向きになり、体積は正になります。x = 3 − t² から t = √(3 − x) を選ぶと、高さは 1 + √(3 − x) です。x = 2 で高さ2、x = 3 で高さ1という元の端点にも戻ります。幅1の間で高さ1から2までが基本例題と左右反転して現れるため、同じ体積であることも確かめられます。

別の考え方は、最初から t の増加に沿って正の厚さを 2t dt とみなす方法です。ただし、符号を暗記して付けるのでなく、x の増減と左右の端点を先に書きます。微分係数が途中で符号を変える表示では、1つの弧としてそのまま扱わず、区間ごとに対応と領域の重なりを確認する必要があります。ここでは往復しない弧に限っています。

厚さを落とした式を直す

基本例題で、半径を (t + 1) と求めたあと、誤って π∫[0→1] (t + 1)² dt とすることがあります。この値は 7π/3 ですが、x = t² の変化を反映していません。t = 1/2 の近くでは dx/dt = 1、t = 1 の近くでは dx/dt = 2 です。同じ t の小さな幅に対応する x の幅は同じではありません。

図3のように、t の幅と x の幅の対応を書き添えます。正しくは断面積 π(t + 1)² に dx/dt = 2t を掛けて t で積分します。dx/dt が1であるような特別な表示では因子を省いても偶然同じになりますが、その一致を一般化しないでください。

もう1つの失敗は、減少する x に対して、t の端点を0から1のまま dx/dt を負のまま掛けることです。負の値が出たら絶対値を機械的に付ける前に、x の小さい端と大きい端に対応する t を調べます。円環で内外を逆にした場合も負になりますから、符号だけ直しても原因が残ります。

練習問題

各問の体積を π を含む厳密な値で求めてください。指定した領域は、それぞれの弧と記載された直線で囲まれるものとします。各区間での単調性と断面を確認してから計算します。

1. 0 ≦ t ≦ 1、x = 3t、y = t + 2 の弧と x 軸、x = 0、x = 3 で囲まれる領域を x 軸のまわりに回す。
2. 0 ≦ t ≦ 2、x = t²、y = 2 の弧と x 軸、x = 0、x = 4 で囲まれる領域を x 軸のまわりに回す。
3. 0 ≦ t ≦ 1、x = t、上の境界 y = 3 + t、下の境界 y = 2 + t と、x = 0、x = 1 で囲まれる領域を x 軸のまわりに回す。
4. 0 ≦ t ≦ 1、x = 4 − 2t、y = 1 + 2t の弧と x 軸、x = 2、x = 4 で囲まれる領域を x 軸のまわりに回す。
5. 0 ≦ t ≦ 1、x = 1 + t、y = 2t の弧と y 軸、y = 0、y = 2 で囲まれる領域を y 軸のまわりに回す。

答えと考え方

1. x は0から3へ増え、半径は2から3へ増えます。dx/dt = 3 より、

V = 3π∫[0→1] (t + 2)² dt
  = 3π[t³/3 + 2t² + 4t]（0から1）
  = 19π

元の座標では y = x/3 + 2 で、両端の高さは2と3です。幅3の円板の積み重ねとして同じ式になります。

2. x は0から4へ増え、半径は常に2です。端点で dx/dt = 0 ですが、x は区間内で単調であり、断面積は連続です。

V = π∫[0→2] 4・2t dt
  = 4π[t²]（0から2）
  = 16π

元の領域は半径2、長さ4の円柱を作るので、π・2²・4 = 16π と一致します。端の微分係数が0であることは、体積が0になることを意味しません。

3. x は0から1へ増え、外半径 3 + t、内半径 2 + t はともに正です。差の二乗ではなく、二乗の差を使います。

V = π∫[0→1] ((3 + t)² - (2 + t)²) dt
  = π∫[0→1] (5 + 2t) dt
  = π[5t + t²]（0から1）
  = 6π

x = t なので、元の上下の境界から直接得る断面積も π(5 + 2x) です。端の断面積は 5π と 7π で、その平均に幅1を掛けた値と一致します。

4. t の増加に対して x は4から2へ減ります。正の x 方向の幅に対応する因子は 2 です。

V = π∫[0→1] (1 + 2t)²・2 dt
  = 2π∫[0→1] (1 + 4t + 4t²) dt
  = 2π[t + 2t² + 4t³/3]（0から1）
  = 26π/3

元の式では t = (4 − x)/2、したがって y = 5 − x です。x = 2 と4で高さ3と1に戻り、その円板を積分しても 26π/3 です。

5. 回転軸が y 軸なので、横に切ります。y は0から2へ増え、半径は x = 1 + t、厚さの因子は dy/dt = 2 です。

V = π∫[0→1] (1 + t)²・2 dt
  = 2π[t + t² + t³/3]（0から1）
  = 14π/3

元の座標で x = 1 + y/2 です。y = 0 で半径1、y = 2 で半径2となり、縦方向の長さ2に沿う円板の積分に戻せます。x 軸回転の式を文字だけ交換せず、軸からの距離と切る向きを選びます。

手元に残す要点

• 回転軸に垂直な断面を描き、円板か円環かを決めます。
• 半径は軸からの距離であり、円環は外半径の二乗から内半径の二乗を引きます。
• x 方向に積むなら dx/dt、y 方向に積むなら dy/dt を対応させます。
• 座標が減るときは端点と微分係数の符号を一緒に扱います。
• 計算後は元の領域、端の断面、体積の正負に戻って点検します。途中の式にも単位や長さの意味を添えると、掛け忘れの場所を探しやすくなります。

式が止まったときの見分け方

断面積を書けないときは、軸に垂直な直線を領域に引き、その線分を回した形を描きます。円環なのに円板としている場合や、軸からの距離ではなく境界どうしの距離を半径にしている場合は、この図で違いが見えます。積分区間が決まらないときは、t の両端で座標を計算し、どちらが小さいかを記します。

個別指導で確認するときには、書いた式の各因子を指しながら、半径、断面積、座標の厚さを説明できるかを見ます。次に座標が減る表示や縦軸回転を選び、同じ説明が通るかを確かめます。媒介変数の式と断面の図を往復できれば、体積の積分に必要な向きと幅が定まります。