高校数学III 軸をまたぐ領域の回転体—断面の重なりと外半径の切替を調べる｜武蔵野個別指導塾

軸の上下を回した円板の重なりと、上下の距離が等しくなる位置を図と例題で追い、体積の式を選ぶ鍵は軸越えの断面です。

よくあるのは、理系の高3が演習で、軸の上下を回した体積を足して二重に数える場面です。紙に描いた上下の領域は重ならないので、それぞれを回した後も別々の立体に見えるかもしれません。しかし回転後は、両方とも軸を中心とする円板を埋めます。片方の円板が他方に含まれる切り口を想像すると、足し算の前に確かめたいことが見えてきます。

回した後の切り口を先に見る

軸をまたぐ領域の回転体では、元の図形の境界が軸からどれほど離れているかを調べます。典型的な問いは、上下の境界の遠い方が途中で入れ替わる場合、どちらか一方が区間全体で遠い場合、領域が軸の片側に出る区間と軸を含む区間が混在する場合です。いずれも積分の前に、固定した位置で領域を軸に垂直に切って考えます。

切り口を回すとどこまで埋まるかが決まれば、断面積を積分できます。上下の領域を別々に回した体積の和は、重なった部分を2回数えるため、求める立体の体積とは一般に一致しません。逆に、軸に触れない部分では中央に穴が残るので、いつでも大きな円板になるわけでもありません。まず軸を含むか、次に軸から最も遠い端はどちらかを確かめます。

軸からの距離が断面を決める

有限区間 a ≦ x ≦ b で、連続な関数 f、g が f(x) ≦ g(x) を満たす領域 g(x) ≧ y ≧ f(x) を考えます。この領域をx軸のまわりに1回転させます。xを固定すると、回転前の切り口はy軸方向の線分です。f(x) ≦ 0 ≦ g(x) なら、この線分は軸を含みます。

図1のように、上端と下端が作る円板は中心を共有し、小さい円板は大きい円板の内側に入ります。上端までの距離は g(x)、下端までの距離は -f(x) です。したがって外半径 R(x) はその大きい方であり、断面積は πR(x)² です。距離を比較しているので、負の座標 f(x) をそのまま正の g(x) と比べてはいけません。

図1の同心円は、2つの円を別々に足す図ではなく、回転後の切り口を表します。軸上から外側まで隙間なく埋まるので、共通部分を引いた和集合は外側の円板と一致します。上下の距離が等しい位置では、どちらを外半径としても同じ断面積になります。

外半径の候補は g(x) と -f(x) です。切替候補は g(x) = -f(x)、すなわち f(x) + g(x) = 0 から求めます。ただし等式の解を求めただけでは、実際に大小が入れ替わるとは限りません。候補の前後で差 g(x) + f(x) の符号を調べます。区間外の解は切替点に含めず、端点で等しい場合にも区間内部に分割点があるとは限りません。

断面積が連続なら、体積は ∫[a→b] πR(x)² dx です。ここでRは連続関数の大きい方なので連続です。区間ごとにRを定めて積分し、体積を足します。境界そのものの重なりは厚さを持たないため、分割点を両方の積分の端に入れても余分な体積は生じません。

一方、0 < f(x) なら線分全体が軸の上にあり、回転断面は外半径 g(x)、内半径 f(x) の円環です。g(x) < 0 なら外半径は -f(x)、内半径は -g(x) です。軸を含む断面との境目は f(x) = 0 または g(x) = 0 で探します。軸との交点と距離の等しい点は役割が違うので、両方を候補として並べると見落としを防げます。

基本例題：上下の距離が途中で逆転する

問題：0 ≦ x ≦ 2 において、直線 y = x + 1 と y = x − 3 に挟まれた領域をx軸のまわりに回転する。体積をπを用いた厳密値で求めてください。

上の境界 x + 1 は正、下の境界 x − 3 は負です。したがって区間内の各線分は軸を含み、断面は円板です。図2のように、左側では下端が、右側では上端が軸から遠くなります。直線は連続なので、以下の断面積を区間ごとに積分できます。

上端までの距離と下端までの距離が等しい点は、次のように求まります。

x + 1 = 3 - x
2x = 2
x = 1

0 ≦ x ≦ 1 では 3 − x ≧ x + 1、1 ≦ x ≦ 2 では x + 1 ≧ 3 − x です。図2でx = 1 の縦線の両端が軸から同じ距離にあることも、切替の確認になります。体積 V は次の通りです。

V = π∫[0→1] (3 - x)² dx + π∫[1→2] (x + 1)² dx
  = π∫[0→1] (9 - 6x + x²) dx + π∫[1→2] (x² + 2x + 1) dx
  = π[9x - 3x² + x³/3]₀¹ + π[x³/3 + x² + x]₁²
  = π(19/3) + π(19/3)
  = 38π/3

答えは 38π/3 です。区間の左端の半径は3、中央の半径は2、右端の半径は3です。このように端から中央まで小さくなって再び大きくなる断面に戻して考えると、2つの積分が同じ値になる結果とも合います。両側の距離を足して半径4とするのは、線分の長さを半径と取り違えています。

別の見方では、x = 1 の左右で置換すると2つの断面が対称です。対称性を使って片側の積分を2倍することもできますが、その前に対応する位置で半径が等しいことを確認してください。式を短くするために、元の領域がどの軸に関して対称なのかを省略しないことが肝心です。

標準例題：切替点が区間の外にある場合

問題：0 ≦ x ≦ 1 で、y = 2 + x と y = x − 1 に挟まれた領域をx軸のまわりに回転する。体積をπを用いた厳密値で求めてください。

各境界は連続で、上端は正、下端は0以下です。よって各断面は円板です。候補の距離は 2 + x と 1 − x であり、その差は次の通りです。

(2 + x) - (1 - x) = 1 + 2x > 0

この区間では上端が常に遠く、下端が軸に達するx = 1でも円板の半径は3です。距離の等式の解は x = -1/2 ですが、区間外なので積分区間を分けません。

V = π∫[0→1] (2 + x)² dx
  = π∫[0→1] (4 + 4x + x²) dx
  = π[4x + 2x² + x³/3]₀¹
  = 19π/3

求める体積は 19π/3 です。左端では上下の距離が2と1、右端では3と0です。いずれも上端が外側で、式に戻した半径と合います。下端が軸に触れる端点を見て別の穴を作る必要はありません。端点で内側の距離が0になる円環も、半径3の円板と同じ断面だからです。

この問題は、等式を解く方法に加えて差が常に正であることを直接示せます。符号がすぐ読める場合は差を使うと短くなります。等式の解が存在しても範囲に入るとは限らないため、計算後の区間確認は省けません。

発展例題：円環から円板へ移る

問題：0 ≦ x ≦ 4 で、y = x − 1 と y = x − 3 に挟まれた領域をx軸のまわりに回転する。体積をπを用いた厳密値で求めてください。

境界は連続で、上端と下端の差は常に2です。まず上端が軸に達するのは x = 1、下端が軸に達するのは x = 3 です。この間に軸を含み、その外では軸の片側にあります。さらに軸を含む区間では、上端までの距離 x − 1 と下端までの距離 3 − x が等しい点を調べます。

x - 1 = 3 - x
2x = 4
x = 2

0 ≦ x ≦ 1 は軸の下側で、外半径 3 − x、内半径 1 − x の円環です。1 ≦ x ≦ 2 は下端が遠い円板、2 ≦ x ≦ 3 は上端が遠い円板です。3 ≦ x ≦ 4 は軸の上側で、外半径 x − 1、内半径 x − 3 の円環です。

V/π = ∫[0→1] {(3 - x)² - (1 - x)²} dx
    + ∫[1→2] (3 - x)² dx
    + ∫[2→3] (x - 1)² dx
    + ∫[3→4] {(x - 1)² - (x - 3)²} dx
    = ∫[0→1] (8 - 4x) dx + 7/3 + 7/3 + ∫[3→4] (4x - 8) dx
    = 6 + 7/3 + 7/3 + 6
    = 50/3
V = 50π/3

したがって体積は 50π/3 です。x = 1 と x = 3 では円環の内半径が0になり、隣の円板につながります。x = 2 では上下の距離がともに1なので、切替前後の断面積はともにπです。実際の端点と切替点に戻しても、計算に使った半径は途切れません。

別解では、x = 2 を中心に左右を対応させると、円環の2つの体積と円板の2つの体積はそれぞれ等しくなります。その対称性を使って左半分を2倍できます。ただし、左半分にも円環と円板の境目があるため、2種類の断面を1つの式にはできません。

足しすぎる解答を直す

基本例題で、次の式を立てる誤りを考えます。

π∫[0→2] (x + 1)² dx + π∫[0→2] (3 - x)² dx

これは上側と下側を別々に回して得た円板の断面積を足したものです。各断面で両方の円板は同じ中心を持ちます。図3のように小さい円板は大きい円板の中に入るため、その面積が余分に加わっています。元の平面では上下に分かれていても、回転後に重なることが失敗の原因です。

例えば基本例題の x = 1 では上下の距離がともに2です。2つの円板を足すと断面積は 8π ですが、実際の切り口は半径2の円板なので 4π です。この1点の確認は、立式が重複を含むことを見つける手掛かりになります。体積を得るには各位置で外側を選び、切替点で積分を分けます。

もう1つの失敗は、軸からの距離ではなく座標の大小を比べることです。上端の座標は常に下端以上ですが、下端が負ならその絶対値の方が大きいこともあります。上が正、下が負であることを確認したうえで、上端と下端の符号を反転した値を比べてください。さらに領域が軸の外に出る場合は、内半径を忘れると空洞まで埋めてしまいます。試しに軸から最も近い点が回転後も軸から離れるかを見れば、円環が必要か判断できます。

練習問題

いずれも指定された領域をx軸のまわりに1回転させます。境界を含む領域とし、体積はπを用いた厳密値で答えてください。区間と断面の形を先に決めてから計算します。

1. 0 ≦ x ≦ 2 で、y = x + 2 と y = x − 4 に挟まれた領域。
2. 0 ≦ x ≦ 2 で、y = x + 3 と y = x − 2 に挟まれた領域。
3. 0 ≦ x ≦ 3 で、y = x と y = x − 3 に挟まれた領域。
4. 0 ≦ x ≦ 3 で、y = x − 1 と y = x − 2 に挟まれた領域。
5. 0 ≦ x ≦ 2 で、y = 4 − x² と y = -1 に挟まれた領域。

練習の答えと戻し方

1

上端は正、下端は負です。距離の等式 x + 2 = 4 − x より切替点は x = 1 です。左は下端、右は上端が遠いので、

V/π = ∫[0→1] (4 - x)² dx + ∫[1→2] (x + 2)² dx
    = 37/3 + 37/3
    = 74/3

答えは 74π/3 です。x = 1 では両距離が3で、左右の式は同じ断面積を与えます。端の距離も4と4になり、左右の積分が等しい図形の対応に合います。

2

上端は正、下端は0以下です。距離の差は (x + 3) − (2 − x) = 1 + 2x で正なので、上端が常に外側です。

V/π = ∫[0→2] (x + 3)² dx
    = [x³/3 + 3x² + 9x]₀²
    = 98/3

答えは 98π/3 です。x = 0 では距離が3と2、x = 2 では5と0です。どちらも選んだ上端が遠く、軸を含む切り口に穴はありません。

3

上端は0以上、下端は0以下です。x = 3 − x から x = 3/2 で遠い端が入れ替わります。

V/π = ∫[0→3/2] (3 - x)² dx + ∫[3/2→3] x² dx
    = 63/8 + 63/8
    = 63/4

答えは 63π/4 です。中央で両距離は 3/2、両端では外半径3です。中央の左右で断面が対応するので、等しい2つの積分という結果にも戻せます。

4

軸との交点は x = 1、2、上下の距離の等式は x − 1 = 2 − x から x = 3/2 です。0から1は下側の円環、1から2は円板、2から3は上側の円環です。円板も x = 3/2 で外半径を分けます。

V/π = ∫[0→1] {(2 - x)² - (1 - x)²} dx
    + ∫[1→3/2] (2 - x)² dx
    + ∫[3/2→2] (x - 1)² dx
    + ∫[2→3] {(x - 1)² - (x - 2)²} dx
    = 2 + 7/24 + 7/24 + 2
    = 55/12

答えは 55π/12 です。x = 1、2 では内半径が0で円環と円板がつながり、x = 3/2 では両距離が1/2です。4つの式をそれぞれの境目に戻すと断面積が一致します。

5

上端 4 − x² は区間内で0以上、下端は -1 です。両境界は連続です。4 − x² = 1 より、区間内の切替点は x = √3 です。√3 の前は上端、その後は下端が遠くなります。

V/π = ∫[0→√3] (4 - x²)² dx + ∫[√3→2] 1 dx
    = [16x - 8x³/3 + x⁵/5]₀√3 + 2 - √3
    = 2 + 44√3/5

答えは π(2 + 44√3/5) です。切替点で上端は 4 − (√3)² = 1 なので両半径は1です。右端では上端が軸に達しますが、下端までの距離1が残り、半径1の円板になります。

覚えておくこと

軸を含む線分の回転断面は、遠い端までの円板です。
外半径の候補は座標ではなく軸からの距離です。
軸との交点と距離の等しい点を分けて調べます。
軸の片側の線分は内半径を持つ円環を作ります。
断面積を区間ごとに積分して体積を足します。

どこで考えがずれたかを見つける

答えが合わないときは、まずあるxで縦線を引き、その線分が軸を含むかを声に出して説明してみてください。次に、回転後の切り口を同心円で描き、中心から外端と内端までの距離をそれぞれ書きます。図と式の半径が一致しなければ積分計算をやり直す前に立式を直せます。

個別指導で確かめるなら、境界の符号表、距離の差の符号表、分割した各区間の断面図を並べます。例えば距離が等しい点を求められても、その前後の大小を逆に読めば体積は変わります。端点や分割点を式に代入して隣の断面がつながるかも確かめると、計算の誤りと図形の読み違いを切り分けられます。回転後の重なりを見極めれば、軸をまたぐ領域の体積は断面から決まります。