高校数学III 平行な直線のまわりの回転体—軸からの距離で半径を書き直す｜武蔵野個別指導塾

軸がy=3やx=-1に移ったとき、断面の内外の半径を距離から選び直し、平行軸回転を読み解きます。

よくあるのは、理系の高3が演習で、回転軸の位置を見落として座標値をそのまま半径にする場面です。グラフの高さが2なら半径も2、と決めてしまうと、軸がy=3にある図では本当の距離1を見逃します。座標の符号と距離の符号は別の話です。切り口を一本描き、軸から境界までの距離を測るところから始めましょう。

軸が移ると何を選び直すか

回転体の体積を求める問題では、まず回転する平面領域と軸の位置関係を読みます。軸に平行な方向を積分の向きに選び、軸に垂直な断面を考えると、その断面は円板または円環です。領域が軸に接していれば内側の穴の半径は0、離れていれば正の内半径ができます。境界線の座標を眺める前に、この違いを図で確かめます。

出方には、水平な直線y=cのまわりに回すもの、垂直な直線x=cのまわりに回すもの、境界が曲線で半径が位置によって変わるものがあります。どの場合も、半径は軸から境界までの距離です。ここでは軸をまたがない領域を扱います。軸をまたぐ場合は断面の重なりを別に調べる必要があります。

積分する区間は、回転前の領域を軸に平行な方向へ射影して決めます。例えば水平な軸なら、領域の左端から右端までのxが候補です。軸を動かしてもxの端点は変わりません。一方、半径は軸の移動によって変わります。この二つを別々に決めると、軸の座標を積分区間に誤って入れる失敗を防げます。

距離を断面積へつなぐ

図1のように、領域がy=cより上にあり、下の境界がy=f(x)、上の境界がy=g(x)だとします。区間a≦x≦bでc≦f(x)≦g(x)とします。fとgが連続なら半径と断面積も連続なので、断面積を積分して体積を求められます。外半径はg(x)-c、内半径はf(x)-cです。どちらも非負であり、外半径が内半径以上です。

図1のように、軸に垂直な線分を回すと、外側の円板から内側の円板を除いた円環になります。その面積はπ(g(x)-c)²-π(f(x)-c)²です。外側と内側は座標値の大小だけではなく、軸からの距離で決めます。軸が領域の上にあるなら、下の境界のほうが遠いので順序が逆になります。

一般に断面の外半径をR、内半径をrとすると、R≧r≧0を確認してから断面積をπ(R²-r²)と書きます。円環の幅R-rを半径とする円板の面積ではありません。軸が垂直なら同じ考えを横向きに使い、x座標の差を半径にしてyで積分します。平行移動して軸を新しい座標の0と考える方法もありますが、元の軸からの距離を直接書いても同じ結果です。

基本例題：水平な軸に接する領域

問題：0≦x≦2で、y=1、y=1+x/2、x=0、x=2に囲まれた領域を、直線y=1のまわりに1回転します。体積をπを用いた厳密値で求めてください。

図2のように、下の境界が回転軸と一致します。各xの縦の線分の長さは(1+x/2)-1=x/2です。回すと穴のない円板となり、半径はx/2です。両境界は連続で、区間内で1+x/2≧1なので、この半径は負になりません。

図2の右端では境界がy=2となり、軸からの距離は1です。y座標の2を半径とする式では、この端の断面からすでに食い違います。断面積をA(x)、体積をVとすると、次の順に計算できます。

A(x) = π(x/2)²
V = ∫[0→2] π(x/2)² dx
  = π/4 ∫[0→2] x² dx
  = π/4 [x³/3]₀²
  = 2π/3

答えは2π/3です。x=0で半径0、x=2で半径1となり、断面は連続に広がります。座標をY=y-1と平行移動すると、軸はY=0、上の境界はY=x/2です。同じ円板の式になることも、軸の引き算を確かめる手がかりです。

標準例題：軸から離れた領域

問題：0≦x≦1で、y=2+x、y=4、x=0、x=1に囲まれた領域を、直線y=-1のまわりに1回転します。体積をπを用いた厳密値で求めてください。

区間内で2+xは2から3まで変わるので、領域は軸より上にあり、下の境界は常に2+xです。両境界は連続です。遠い境界y=4までの距離が外半径5、近い境界y=2+xまでの距離が内半径3+xです。軸から領域まで隙間があるため、断面には穴が残ります。

R = 4-(-1) = 5
r = (2+x)-(-1) = 3+x
V = π∫[0→1] {25-(3+x)²} dx
  = π∫[0→1] (16-6x-x²) dx
  = π[16x-3x²-x³/3]₀¹
  = 38π/3

答えは38π/3です。端点で半径の組はそれぞれ(5, 3)、(5, 4)ですから、断面積は16πから9πへ変化し、積分の中身16-6x-x²と一致します。外半径5の円柱の体積5²πに収まり、体積も正です。

別の見方は、大きな円柱から、y=-1とy=2+xの間を回した立体を引くことです。ただし引く立体も軸からの距離3+xで作ります。境界同士の差2-xを半径にすると、穴の位置を回転軸へ移してしまいます。円環の断面を先に描く方法は、その取り違えを見つけやすい方法です。

発展例題：垂直な軸と変わる半径

問題：0≦y≦2で、x=y²/2、x=2、y=0、y=2に囲まれた領域を、直線x=3のまわりに1回転します。体積をπを用いた厳密値で求めてください。

軸が垂直なので、横に切ってyで積分します。区間内で0≦y²/2≦2ですから、領域はx=3の左側にあります。左側の曲線のほうが軸から遠く、外半径は3-y²/2です。右側の直線までの距離は3-2=1なので、内半径は1です。境界は連続で、外半径は1以上です。

R = 3-y²/2
r = 1
V = π∫[0→2] {(3-y²/2)²-1²} dy
  = π∫[0→2] (8-3y²+y⁴/4) dy
  = π[8y-y³+y⁵/20]₀²
  = 48π/5

答えは48π/5です。y=0では半径3と1の円環、y=2では両半径が1となって断面積が0になります。もとの領域もy=2で幅が0なので、端点の様子が一致します。軸が右側にあるとき、距離は「軸の座標-境界の座標」です。左側にあるときの引き算をそのまま使うと負の半径を書いてしまいます。

横に切る代わりに縦に切りたくなるかもしれません。しかし縦線分を垂直な軸のまわりに回した形は、軸に垂直な円板の断面そのものではありません。円板や円環の面積を積分する方法を使うなら、軸に垂直な切り口を選び、その位置をyで動かします。計算の前に切る方向を決める理由はここにあります。

誤答を距離の図へ戻す

基本例題で、上の境界の座標を使ってπ∫[0→2] (1+x/2)² dxとしたとします。図3のように、この式の半径はy=0から上の境界までの距離です。指定された軸y=1からの距離ではないため、違う立体を計算しています。右端で誤った半径は2ですが、実際は1です。

図3の縦の線分を、実際の軸から上の境界までたどり直すと、正しい半径はx/2です。修正は積分をやり直す前に、半径の両端を明示するところから始めます。軸と境界が同じ位置なら距離は0になるはずだ、と端点で確認すると判断しやすくなります。

もう一つの誤りは、円環の断面積をπ(R-r)²とすることです。例えば標準例題のx=0ではR=5、r=3なので、正しくは25π-9π=16πです。幅2を二乗した4πでは、外側から穴を除く面積に戻りません。距離が負になる場合も二乗すればよいと急がず、遠近と非負性を先に調べます。軸の位置が条件から定まらない場合には、領域がどちら側にあるかを確定してから式を分ける必要があります。

軸が下にある場合でも、軸の座標が負なら引き算の符号に注意します。例えば標準例題で下の境界の座標は2+xですが、軸の座標は-1です。距離は(2+x)-(-1)であり、2+xから1を引くのではありません。数直線に-1と2+xを置けば、その間の長さが3+xになる理由を確認できます。

一方、軸が領域の上や右にあるときは、軸の座標から境界の座標を引きます。どちらの順か迷う場合は、距離を絶対値で書いてから、領域が軸の片側にある条件を用いて絶対値を外せます。外半径と内半径の順序が区間途中で変わる設定では、その境界も調べなければなりません。今回の例では境界の上下または左右が区間内で保たれるため、一つの式で表せます。

断面の式ができた後も、積分の値だけを見て終えないようにします。端点での断面積、領域が接する位置、体積の正負を元の図と照らします。これらは計算の代わりにはなりませんが、軸の取り違えや内外の逆転を発見する手がかりになります。

練習：先に図を描いて半径を決める

次の5問は、それぞれ指定された領域を1回転した立体の体積を、πを用いた厳密値で求めてください。境界の交点も含めて領域を読み、断面の半径を記してから計算します。

1. 0≦x≦3で、y=2、y=2+x、x=0、x=3に囲まれた領域をy=2のまわりに回します。
2. 0≦x≦2で、y=0、y=x、x=0、x=2に囲まれた領域をy=-2のまわりに回します。
3. 0≦x≦1で、y=x²、y=1、x=0に囲まれた領域をy=2のまわりに回します。
4. 0≦y≦3で、x=1、x=1+y/3、y=0、y=3に囲まれた領域をx=1のまわりに回します。
5. 0≦y≦1で、x=y、x=2、y=0、y=1に囲まれた領域をx=-1のまわりに回します。

答えと解き方

1. 軸に接する円板で、半径は(2+x)-2=xです。境界は連続で、区間内の半径は非負です。

V = π∫[0→3] x² dx
  = π[x³/3]₀³
  = 9π

端の半径は0と3で、もとの三角形の軸からの高さと一致します。答えは9πです。

2. 軸は領域の下にあり、外半径はx+2、内半径は2です。各境界は連続で、0≦x≦2では外半径が内半径以上です。

V = π∫[0→2] {(x+2)²-2²} dx
  = π∫[0→2] (x²+4x) dx
  = π[x³/3+2x²]₀²
  = 32π/3

x=0で2本の境界は一致し、両半径は2です。x=2では半径4と2の円環になります。答えは32π/3です。

3. 軸が領域より上なので、遠い境界はy=x²です。外半径2-x²、内半径1を使います。区間内でx²≦1なので半径の大小も保たれます。

V = π∫[0→1] {(2-x²)²-1} dx
  = π∫[0→1] (3-4x²+x⁴) dx
  = π[x-4x³/3+x⁵/5+2x]₀¹
  = 28π/15

x=1では境界が接して両半径が1、断面積は0です。x=0では半径2と1の円環です。答えは28π/15です。

4. 水平な線分を回すと円板になり、半径はy/3です。境界が連続で、0≦y≦3では半径は0から1に増えます。

V = π∫[0→3] (y/3)² dy
  = π/9 [y³/3]₀³
  = π

y=3でxは1から2までなので、軸x=1からの距離1と合います。答えはπです。

5. 軸は領域の左側にあり、外半径は2-(-1)=3、内半径はy-(-1)=y+1です。区間内では1≦y+1≦2なので、半径の順序は変わりません。

V = π∫[0→1] {9-(y+1)²} dy
  = π∫[0→1] (8-2y-y²) dy
  = π[8y-y²-y³/3]₀¹
  = 20π/3

y=0では半径3と1、y=1では半径3と2です。境界と軸の距離を端点に戻しても一致します。答えは20π/3です。

手元に残す4行

軸に垂直に切り、断面を動かす方向で積分します。 半径は軸の座標と境界の座標の差の絶対値です。 軸から遠い距離を外半径、近い距離を内半径にします。 断面積はπに外半径の二乗と内半径の二乗の差を掛けます。

途中で止まったときの見分け方

まず図に軸と領域を描き、適当な位置に軸へ垂直な線分を1本引きます。その線分の両端から軸までの距離を言葉で説明できなければ、積分計算を進めても式の誤りは残ります。端点で領域の幅が0になるなら、内外の半径が等しくなるかも確かめます。

個別指導で確認するときは、座標値と距離を別の欄に書き、なぜその順に引くのかを図の上で説明してみましょう。式が合っていても切る向きの説明が曖昧なら、垂直な軸の問題に移ったときに混乱しやすくなります。軸からの距離を描ければ、移動した軸でも断面積の意味を保てます。