高校数学III・C 楕円と面積積分—媒介変数の向きと区間を図から決める｜武蔵野個別指導塾

楕円の上半分を三角置換し、横座標が減る区間の符号と部分領域の境界をたどります。向きから楕円面積を読み解きます。

よくあるのは、理系高3の演習で、楕円上の点を x = a cos θ、y = b sin θ と置き、θ が増える向きと x が減る向きを取り違える場面です。積分の端を θ の小さい順に並べても、dx の符号を落とせば面積は負になります。反対に、負号を機械的に付けても、どの弧を通ったかが違えば別の領域を求めてしまいます。図で両端と上下を定めてから、式に移しましょう。

境界を見て積分の形を選ぶ

x 軸に垂直な細い帯を取り、各 x で上端と下端が定まるなら、その高さの差を x について積分します。例えば上半分と x 軸の間なら、上半分の正の平方根が高さです。楕円全体の面積公式を先に使う必要はありません。

直線で切られた部分では、楕円と直線の交点が積分区間を決めます。直線が途中で x 軸を横切るかどうかではなく、求める領域の上端と下端がどこで入れ替わるかを調べます。左右対称であっても、指定された領域が対称とは限りません。

媒介変数を用いる型では、端点の x 座標を θ に対応させ、増加方向も書きます。θ の範囲を先に固定すれば平方根の符号が定まり、置換後の積分を元の領域へ戻して確認できます。ここでは楕円の部分領域を扱い、曲線の長さや回転体には立ち入りません。

楕円の弧と横幅をつなぐ

a > 0、b > 0 とし、楕円 x²/a² + y²/b² = 1 を考えます。上半分は -a ≦ x ≦ a で y = b√(1 − x²/a²) です。平方根は 0 以上を選ぶので、下半分を含めていません。この関数は閉区間で連続ですから、区間内の面積を定積分で表せます。

x = a cos θ、y = b sin θ と置くと、0 ≦ θ ≦ π で上半分を右端から左端まで1回通ります。この範囲では sin θ ≧ 0 なので、正の平方根は sin θ です。また dx/dθ = -a sin θ です。図1のように、角度が増える方向と横座標が増える方向は逆です。

図1では右端が θ = 0、左端が θ = π です。右から左へ弧をたどる積分は ∫ y dx が負になります。面積として左から右へ足す場合は、対応する θ の端点を逆順にするか、右から左へ積分して負号を付けます。どちらでも同じ結果になることが、符号の点検になります。

一般に -a ≦ u < v ≦ a とし、u = a cos β、v = a cos α、0 ≦ α < β ≦ π とします。このとき上半分と x 軸、2本の直線 x = u、x = v に囲まれた面積 S は次のようになります。

S = ∫[u→v] b√(1 - x²/a²) dx
  = ∫[β→α] b sin θ・(-a sin θ) dθ
  = ab ∫[α→β] sin² θ dθ
  = ab [(θ/2) - (sin 2θ)/4] の α から β までの差

置換の式は、端点と微分を同時に変えています。最後の式は sin² θ = (1 − cos 2θ)/2 を用いました。端点で微分係数が 0 になることは、閉区間の積分の置換を妨げません。途中の開区間では x は単調に減り、端点にも連続につながるからです。面積が正になることも式と図の双方で確かめます。

基本例題：右側の帯を求める

楕円 x²/16 + y²/9 = 1 の上半分と x 軸、直線 x = 2、x = 4 で囲まれる領域の面積を、π と根号を用いた正確な式で求めてください。

上半分は y = 3√(1 − x²/16) です。2 ≦ x ≦ 4 で連続かつ 0 以上ですから、図2の塗られた帯の面積はその高さの積分です。x = 4 cos θ と置くと、x = 4 は θ = 0、x = 2 は θ = π/3 に対応します。図2のように θ の増加で点は右から左へ進みます。

図2の領域の左端から右端へ積分するので、θ の端点は π/3 から 0 です。0 ≦ θ ≦ π/3 では平方根が sin θ となり、dx = -4 sin θ dθ です。

S = ∫[2→4] 3√(1 - x²/16) dx
  = ∫[π/3→0] 3 sin θ・(-4 sin θ) dθ
  = 12 ∫[0→π/3] sin² θ dθ
  = 12 [θ/2 - sin 2θ/4] の 0 から π/3 までの差
  = 12 (π/6 - √3/8)
  = 2π - 3√3/2

答えは 2π − 3√3/2 です。元の条件へ戻すと、θ = π/3 の点は (2, 3√3/2)、θ = 0 の点は (4, 0) です。いずれも楕円上にあり、積分した高さは区間の内部で正です。面積が正になることと、幅 2、高さ 3 の長方形より小さいことも整合します。

標準例題：直線を下端にする

楕円 x²/9 + y²/4 = 1 の上半分と直線 y = 1、および y 軸で囲まれる第1象限の領域の面積を、π と根号を用いて正確に求めてください。

まず交点を求めます。y = 1 を楕円の式に代入すると、x²/9 + 1/4 = 1 です。第1象限の交点の x 座標は 3√3/2 です。0 ≦ x ≦ 3√3/2 では上半分の y は 1 以上なので、上端から下端を引きます。閉区間で両方の関数は連続です。

S = ∫[0→3√3/2] (2√(1 - x²/9) - 1) dx

x = 3 cos θ とすると、左端は θ = π/2、右端は θ = π/6 です。この範囲で sin θ は正です。楕円の下の面積から高さ 1 の長方形を引くと、次のようになります。

S = 6 ∫[π/6→π/2] sin² θ dθ - 3√3/2
  = 6 [θ/2 - sin 2θ/4] の π/6 から π/2 までの差 - 3√3/2
  = 6 (π/4 - π/12 + √3/8) - 3√3/2
  = π - 3√3/4

交点 (3√3/2, 1) を元の楕円に戻すと 3/4 + 1/4 = 1 です。左端では楕円の高さが 2 で直線より上、右端で両者は一致します。結果が正なのは、端点以外で上端と下端に正の差があることとも一致します。直線を引き忘れると楕円の下の別の領域になるため、高さの差を先に書くことが必要です。

発展例題：斜めの境界と交点

楕円 x²/4 + y² = 1 の上半分と直線 y = x/2 に囲まれる第1象限の領域の面積を、π を用いて正確に求めてください。境界には y 軸上の線分も含めます。

交点では y = x/2 なので、楕円の式に代入します。第1象限に限る条件を使って正の根を取ります。

x²/4 + (x/2)² = 1
x²/2 = 1
x = √2
y = √2/2

上半分は y = √(1 − x²/4) です。0 ≦ x ≦ √2 では両辺が 0 以上で、1 − x²/4 ≧ x²/4 ですから、楕円は直線以上です。したがって交点までの差を積分します。上端と下端は連続です。

S = ∫[0→√2] (√(1 - x²/4) - x/2) dx

x = 2 cos θ とすると、x = 0 に θ = π/2、x = √2 に θ = π/4 が対応します。この区間の sin θ は正です。斜めの直線の下も面積として引きます。

S = 2 ∫[π/4→π/2] sin² θ dθ - ∫[0→√2] x/2 dx
  = 2 [θ/2 - sin 2θ/4] の π/4 から π/2 までの差 - [x²/4] の 0 から √2 までの差
  = 2 (π/4 - π/8 + 1/4) - 1/2
  = π/4

交点を両方の元の式へ戻すと、x²/4 + y² = 1/2 + 1/2 = 1、y = x/2 です。区間内では上下関係を平方する前に両者が非負であることを確認しました。面積は正であり、求めた π/4 もその条件を満たします。交点の負の根を採用すれば第1象限の条件から外れます。

負の面積が出た答案を直す

基本例題で次のように書いたとします。

x = 4 cos θ より、x = 2 で θ = π/3、x = 4 で θ = 0
S = ∫[0→π/3] 3 sin θ・(-4 sin θ) dθ
  = -2π + 3√3/2

微分の符号は合っていますが、端点を並べ替えた際に積分の向きを変えていません。図3のように θ が 0 から π/3 へ増えると、x は 4 から 2 へ減ります。これは面積を左から右へ足す向きの逆です。

図3の上段の移動をそのまま使うなら、S = -∫[0→π/3] 3 sin θ・(-4 sin θ) dθ と直します。あるいは下段のように端点を π/3 から 0 にして負号を付けずに計算します。どちらの書き方でも正の同じ面積になります。

もう一つの失敗は、答えが正だからといって区間を確認しないことです。上半分で θ を 0 から 2π まで動かすと下半分も通ります。平方根を sin θ と置けるのは sin θ ≧ 0 の範囲です。端点だけでなく、その間に通る弧と平方根の符号も確認すれば、正の数が偶然出た答案も点検できます。

練習：境界と角度を自分で対応させる

次の面積はすべて π と必要な根号を用いた正確な式で答えてください。各楕円の上半分を使い、境界の直線も含めて考えます。

1. x²/25 + y²/4 = 1 の上半分と x 軸、x = 0、x = 5 に囲まれる面積。
2. x²/36 + y²/16 = 1 の上半分と x 軸、x = 3、x = 6 に囲まれる面積。
3. x²/4 + y²/25 = 1 の上半分と x 軸、x = -1、x = 0 に囲まれる面積。
4. x²/16 + y²/36 = 1 の上半分と直線 y = 3、y 軸で囲まれる第1象限の面積。
5. x²/36 + y²/9 = 1 の上半分と直線 y = x/2、y 軸で囲まれる第1象限の面積。

練習の解答と点検

1. x = 5 cos θ では x = 0 に π/2、x = 5 に 0 が対応します。高さは非負で連続です。

S = 10 ∫[0→π/2] sin² θ dθ
  = 10 [θ/2 - sin 2θ/4] の 0 から π/2 までの差
  = 5π/2

両端 (0, 2)、(5, 0) は元の楕円上で、求めた範囲は上半分の右半分です。面積は正です。

2. x = 6 cos θ とすると x = 3 は π/3、x = 6 は 0 に対応します。上端と x 軸の差は連続で非負です。

S = 24 ∫[0→π/3] sin² θ dθ
  = 24 (π/6 - √3/8)
  = 4π - 3√3

左端の高さは 2√3、右端の高さは 0 で、どちらも元の楕円の式を満たします。面積は正です。

3. x = 2 cos θ では x = -1 が 2π/3、x = 0 が π/2 です。左側でも上半分では sin θ が正です。

S = 10 ∫[π/2→2π/3] sin² θ dθ
  = 10 (π/3 + √3/8 - π/4)
  = 5π/6 + 5√3/4

左端の高さは 5√3/2 で、1/4 + 3/4 = 1 となります。右端の高さは 5 です。正の帯の面積として整合します。

4. y = 3 を代入すると x²/16 + 1/4 = 1 です。第1象限の交点は (2√3, 3) です。0 ≦ x ≦ 2√3 で楕円が直線以上です。

S = 24 ∫[π/6→π/2] sin² θ dθ - 3・2√3
  = 24 (π/6 + √3/8) - 6√3
  = 4π - 3√3

交点を戻すと 3/4 + 1/4 = 1 です。左端の高さは 6 で、直線より上にあります。差が内部で正なので面積も正です。

5. 交点では y = x/2 です。これを代入します。

x²/36 + x²/36 = 1
x² = 18
x = 3√2
y = 3√2/2

第1象限を選びました。0 ≦ x ≦ 3√2 では上半分の高さは直線以上です。x = 6 cos θ とすると、両端は π/2、π/4 に対応します。

S = 18 ∫[π/4→π/2] sin² θ dθ - ∫[0→3√2] x/2 dx
  = 18 (π/8 + 1/4) - 18/4
  = 9π/4

交点を楕円に戻すと 1/2 + 1/2 = 1 で、直線の条件も満たします。差は内部で正で、結果も正です。負の交点は第1象限にないので取りません。

面積式の点検をもう一段

直線で切った問題では、交点の式を解いた後に、試しに区間の内側の1点を選んで上下を確かめる方法もあります。ただし1点の比較だけでは、途中に別の交点がないことの証明にはなりません。交点がその区間に他にないことと、両方の関数が連続であることを合わせて使います。発展例題では、平方する両辺が非負であることから不等式を直接示しました。

また、左右対称を使って面積を倍にするなら、領域の境界も y 軸について対称でなければなりません。右側の帯を倍にしてよいのは、対応する左側の帯も求める範囲に入る場合です。対称な楕円を描いただけで、片側の領域まで倍にしないようにしましょう。

答案を閉じる前に

縦の帯の高さを、同じ x における上下の境界の差で表します。 置換後は両端と dx の符号を一緒に書きます。 平方根の符号と通る弧を照合します。 交点を元の条件へ戻し、面積の正値を確かめます。

途中式で負の値が出る人には、積分の端点を声に出して左端、右端の順に対応させてもらいます。交点が合っても面積が合わない場合は、各帯の高さが楕円の高さそのものか、直線との差かを個別指導で確かめます。図の一つの横座標に縦線を引き、上下の境界を指せるかを見ると、計算の失敗と領域の取り違えを区別できます。角度の向きと帯の高さがそろえば、楕円の部分面積を筋道立てて記述できます。