高校数学III・C 媒介変数の曲線と面積—折り返しで区間を分けて重複を防ぐ｜武蔵野個別指導塾

同じ弧を往復する点と上下の枝を持つ点を比べ、媒介変数の区間を面積の積分へ結び付けます。

よくあるのは、理系高3の演習で、同じ領域を二度通る媒介曲線を、そのまま全区間で積分してしまう場面です。式の計算は正しくても、求めた値が領域の面積の2倍になることがあります。まず点がいつ、どちらへ進むかを調べ、その後に積分を選びます。図形を描く作業と、積分の区間を決める作業はつながっています。

どの区間を面積に使うか

媒介変数 t によって x = x(t)、y = y(t) と表された点を考えます。問題の型の1つは、曲線と x 軸で囲まれた領域です。x が増える区間で曲線が軸の上にあれば、縦の長さ y に幅 dx を掛けて面積を求められます。ところが x が減る区間では dx が負になるため、同じ式の符号が反転します。

2つ目は、同じ軌跡を何度も通る型です。開始点と終了点が同じという事実だけでは、1周なのか複数周なのか決まりません。途中の点と進行方向、各点に対応する t の個数まで調べます。3つ目は、2つの枝が囲む領域です。同じ x における上側と下側の高さを比べ、それぞれの枝を過不足なく1回通る区間を選びます。

いずれも、積分の計算を始める前に、端点、交点、x の増減、y の符号を並べると見通しが立ちます。点が止まる値や折り返す値を区切りにし、各区間で何を数えているかを言葉で書きます。軌跡の重複と、面積を表す積分の符号は別々に調べます。

動く点から縦の幅へ

x と y が連続的に微分可能で、a ≦ t ≦ b で x が単調増加し、y ≧ 0 とします。このとき、曲線と x 軸の間の面積は、置換積分により次のように表せます。

S = ∫[x(a)→x(b)] y dx
  = ∫[a→b] y(t)x′(t) dt

途中の孤立した点で x′(t) = 0 となっても、x が単調増加し、式の置換が成立する場合には使えます。x が単調減少する区間では、元の a から b への積分に負号を付けるか、積分の端を b から a に入れ替えます。曲線が軸の下にある場合は縦の長さが -y です。最初から絶対値を付ける操作では、重複して通る回数は消えません。

図1のように、t の区間を分けて矢印の向きを見ます。折り返した先で同じ曲線を戻るなら、行きと帰りは同じ領域に対応します。面積を1回数えるには、行きまたは帰りのうち1つを使います。

図1の右側にある縦の線分が、固定した x における高さです。媒介変数の変化による横の移動を積分に移すには x′(t) が必要です。接線の傾き dy/dx を求める必要はありません。点が停止するところでは dy/dx を無理に割り算で定義せず、前後の軌跡と向きを確かめます。

基本例題：同じ弧を往復する

点 P は 0 ≦ t ≦ 2 で x = t(2 − t)、y = x(1 − x) を満たします。点の描く曲線と x 軸で囲まれる領域の面積を分数で求めてください。

x を平方完成すると、次の式です。

x = 1 - (t - 1)²
x′ = 2 - 2t

したがって 0 ≦ t ≦ 1 では x は 0 から 1 へ増え、1 ≦ t ≦ 2 では 1 から 0 へ減ります。y は x の式で決まり、0 ≦ x ≦ 1 で非負です。t と 2 − t は同じ x と y を与えるので、後半は前半の弧を逆向きにたどります。図2のように、囲まれる部分は1つです。

図2の両端は (0, 0)、(1, 0) で、弧はその間で軸より上です。前半を使えば、連続な関数の積分として面積を求められます。x を積分変数に取り直すと、次の計算です。

S = ∫[0→1] x(1 - x) dx
  = ∫[0→1] (x - x²) dx
  = [x²/2 - x³/3] の 0 から 1 までの差
  = 1/2 - 1/3
  = 1/6

答えは 1/6 です。元の式に x = 0 と x = 1 を戻すと y = 0 で、途中では y ≧ 0 ですから、この積分は図の領域をちょうど1回数えています。全区間で ∫ yx′ dt を計算すると、帰りが負になって 0 です。一方、全区間で |yx′| を積分すると同じ面積が2回現れ、1/3 になります。どちらも求める面積そのものではありません。

標準例題：上下の枝を比べる

-1 ≦ t ≦ 1 で x = t²、y = t(1 − t²) とします。この曲線で囲まれる領域の面積を分数で求めてください。

端点 t = -1、1 はともに (1, 0)、t = 0 は (0, 0) です。x′ = 2t なので、前半は x が 1 から 0 に減り、後半は 0 から 1 に増えます。0 < x < 1 に対して t = ±√x であり、2つの値はそれぞれ1回ずつ現れます。前半では y ≦ 0、後半では y ≧ 0 です。したがって後半が上側、前半が下側であり、両枝は端点以外で交わりません。

同じ x に対する上下の値を y上、y下とすると、次の関係です。

y上 = √x(1 - x)
y下 = -√x(1 - x)
y上 - y下 = 2√x(1 - x)

上側の面積を t で求めて2倍しても同じです。上側では x が増え、x′ = 2t ですから、次のようになります。

S = 2∫[0→1] t(1 - t²)・2t dt
  = 4∫[0→1] (t² - t⁴) dt
  = 4[t³/3 - t⁵/5] の 0 から 1 までの差
  = 4(1/3 - 1/5)
  = 8/15

答えは 8/15 です。t を -t に変えると x は変わらず y の符号だけが反転するので、上下の面積が等しいという理由も明記できます。上下の枝を単に2倍するのではなく、同じ x に対して対応し、軸の反対側にあることが必要です。端点を代入して閉じることと、中間で上下が交差しないことを確認して初めて、この領域を指定できます。

発展例題：周期と重複回数を切り分ける

0 ≦ t ≦ 4π で x = 2 cos t、y = sin t とします。点の描く曲線に囲まれる領域の面積を π を用いた正確な式で求めてください。

まず媒介変数を消去すると、すべての点で次の式が成り立ちます。

x²/4 + y² = cos² t + sin² t
            = 1

逆に、この式を満たす点は、適切な角 t を 0 ≦ t < 2π に取って表せます。その範囲で異なる t は異なる点に対応し、端の 0 と 2π は同じ点です。さらに三角関数は 2π 周期なので、2π ≦ t ≦ 4π は最初の1周をもう一度たどります。消去式は軌跡を示しますが、何周したかは示しません。

上半分では 0 ≦ t ≦ π、y ≧ 0 です。このとき x′ = -2 sin t ≦ 0 なので、x は 2 から -2 に減ります。下半分は上半分の軸対称であり、面積は上半分の2倍です。関数は連続的に微分可能で、区間内の x は単調ですから、向きを逆にして置換できます。

S = 2∫[0→π] y・(-x′) dt
  = 4∫[0→π] sin² t dt
  = 2∫[0→π] (1 - cos 2t) dt
  = [2t - sin 2t] の 0 から π までの差
  = 2π

答えは 2π です。t = 0、π/2、π、3π/2 では順に (2, 0)、(0, 1)、(-2, 0)、(0, -1) を通り、1周の向きを照合できます。全区間では |y x′| = 2 sin² t を積分して 4π となります。上側と下側は異なる半分の面積を受け持つので、1周分を合わせた値は 2π です。今回は同じ楕円を2周するため、全区間の値は求める面積の2倍です。

誤った式を直す

基本例題に対して「面積は ∫[0→2] |yx′| dt = 1/3」と書いたとします。積分の計算自体は正しくても、これは同じ弧を行きと帰りに1回ずつ数えた量です。図3のように、矢印は反対向きでも、通る弧と囲む領域は同じです。

図3の行きに対応する t は 0 から 1、帰りは 1 から 2 です。各 x が 0 と 1 の間にあるとき、対応する点は両区間に1回ずつあります。修正答案では「t と 2 − t が同じ点を与えるので、0 ≦ t ≦ 1 を用いる」と書き、その区間で x が 0 から 1 へ増えることを添えます。端点は2つの区間に共通しますが、端点自体に面積はないため、重複を問題にする対象は弧の内部です。

別の誤りは、全区間の符号付き積分が 0 だから面積も 0 と結論することです。帰りの負の寄与が行きの正の寄与を打ち消していると考えれば矛盾はありません。曲線が閉じているか、進行方向が変わるか、縦の長さを何回数えたかを順に点検します。計算結果が正でも、重複の説明がなければ面積の根拠は不足します。

練習問題

次の5問は面積を求める問題です。1〜4は分数、5は π を含む正確な式で答えてください。各問で、点の通過回数と積分区間の選び方も説明します。

1. 0 ≦ t ≦ 2 で x = 2t、y = x(4 − x) とする。曲線と x 軸で囲まれる領域の面積を求める。
2. 0 ≦ t ≦ 4 で x = t(4 − t)、y = x(4 − x) とする。曲線と x 軸で囲まれる領域の面積を求める。
3. -2 ≦ t ≦ 2 で x = t²、y = t(4 − t²) とする。曲線で囲まれる領域の面積を求める。
4. 0 ≦ t ≦ 3 で x = t、y = t(3 − t) とする。曲線と直線 y = x で囲まれる領域の面積を求める。
5. 0 ≦ t ≦ 2π で x = 3 cos t、y = 2 sin t とする。曲線で囲まれる領域の面積を求める。

練習の解答と照合

1

x = 2t は 0 から 4 まで単調増加し、各 x を1回通ります。両端で y = 0、途中で y ≧ 0 ですから、求める面積は次のとおりです。

S = ∫[0→4] x(4 - x) dx
  = [2x² - x³/3] の 0 から 4 までの差
  = 32 - 64/3
  = 32/3

元の式で t = 0、2 を代入すると (0, 0)、(4, 0) となり、指定された区間と積分の端が一致します。

2

x = 4 − (t − 2)² なので、前半に 0 から 4 へ進み、後半に同じ弧を戻ります。t と 4 − t は同じ x を与え、y も一致します。よって前半の1回分を数えます。

S = ∫[0→4] x(4 - x) dx
  = [2x² - x³/3] の 0 から 4 までの差
  = 32/3

1と同じ形の軌跡ですが、こちらの点は同じ領域を往復します。t = 0、2、4 を戻すと x は順に 0、4、0 で、通過回数の判断を確かめられます。

3

x′ = 2t です。t が -2 から 0 では下側の枝を右から左へ、0 から 2 では上側を左から右へ進みます。t と -t は同じ x に対し反対の y を与え、途中で y の符号は上下に分かれます。端点は (4, 0)、中央は (0, 0) です。

S = 2∫[0→2] t(4 - t²)・2t dt
  = 4∫[0→2] (4t² - t⁴) dt
  = 4[4t³/3 - t⁵/5] の 0 から 2 までの差
  = 4(32/3 - 32/5)
  = 256/15

0 < t < 2 では上側の高さが正であり、下側と交わらないので、得られた正の値は囲まれた領域に対応します。

4

曲線と直線の交点を、同じ x の高さを等しくして求めます。

x(3 - x) = x
x(2 - x) = 0
x = 0, 2

x = t なのでどちらも指定区間内です。0 ≦ x ≦ 2 では曲線が直線以上にあり、x は増加します。交点の間を1回通るため、縦の差を積分します。

S = ∫[0→2] {x(3 - x) - x} dx
  = ∫[0→2] (2x - x²) dx
  = [x² - x³/3] の 0 から 2 までの差
  = 4 - 8/3
  = 4/3

t = 0、2 を元の式に戻すと交点は (0, 0)、(2, 2) です。2 < t ≦ 3 の部分はこの2曲線で囲まれた領域の境界に含まれません。

5

x²/9 + y²/4 = 1 で、0 ≦ t < 2π において曲線を1周します。上半分では x が 3 から -3 に減り、下半分は軸対称です。元の式で t = 0、π/2、π、3π/2 を代入すれば、それぞれ右、上、左、下の端を通ります。

S = 2∫[0→π] 2 sin t・3 sin t dt
  = 12∫[0→π] sin² t dt
  = 6∫[0→π] (1 - cos 2t) dt
  = [6t - 3 sin 2t] の 0 から π までの差
  = 6π

対称な上下を合わせているため、上半分の積分に付けた係数2は重複ではありません。全周の絶対値積分にもさらに2を掛けると、上下をもう一度数えることになります。

答案を提出する前に

• 端点と交点を代入し、閉じる範囲を定めます。
• x の増減と y の符号で区間を分けます。
• 各区間が同じ点や領域を何回通るか調べます。
• 上下の差と積分の向きを面積に合わせます。
• 結果を元の条件と図へ戻して照合します。

符号付き積分が負や 0 になったときは、まず点の向きを指で追い、面積と取り違えていないかを見ます。正の答えでも、往復を数えた可能性は残ります。個別指導では、各区間の始点と終点を図に書いてもらい、同じ x に対応する t を求めるところから確認します。式と図の対応を言葉で説明できれば、折り返しのある曲線でも面積の重複を見抜けます。