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高校数学III 曲線の長さの根号整理—平方の形と符号を確かめて積分を計算する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 積分法の応用を掘り下げる

平方根を絶対値に直し、対数・指数・三角関数を含む弧の長さを求める手順をたどります。平方と符号を確かめて根号を外す。

よくあるのは、理系の高3が曲線の長さを求める演習で、平方根を外すときに絶対値を落としてしまう場面です。根号内がきれいな平方になっても、その底が負なら、符号を変えてから積分しなければなりません。計算が最後まで進んでも、長さが負になれば途中の判断を調べ直す必要があります。

ここでは関数で表された曲線の長さを題材に、平方を見つけることと、その平方根の符号を確かめることを分けて考えます。対数、指数関数、三角関数を含む自作の曲線で、閉区間での条件を点検しながら積分を仕上げます。

何を見抜く問題か

長さの式を立てた後に現れる √(1 + f′(x)²) が、この問題の出発点です。例えば導関数が2つの項の差で表されるとき、その二乗に1を加えると2つの項の和の二乗になる場合があります。差の二乗と和の二乗の違いは、積の4倍です。積が1/4になる組を見つけると、加えた1がちょうどその違いを埋めます。

別の型では、三角関数の恒等式を使うと根号内が分数の平方になります。さらに対数を含む関数では、式が定義される区間を先に確かめます。端点の値を代入してから定義域の外へ踏み込んだことに気づくより、最初に区間を調べるほうが安全です。

同じ平方の形を見つけても、底が正の区間と負の区間では、根号を外した結果の符号が違います。計算の目標は単に根号を消すことではありません。各位置で非負の長さの密度を作り、それを指定区間で足し合わせることです。

平方と絶対値の役割

関数 y = f(x) が閉区間 a ≦ x ≦ b で微分可能で、その導関数 f′ が連続であるとします。このとき曲線の長さ L は次の定積分で表されます。

L = ∫[a→b] √(1 + f′(x)²) dx

短い区間の横の変化を Δx、縦の変化をおよそ f′(x)Δx とみると、斜めの線分の長さはおよそ √(1 + f′(x)²)Δx です。この近似を細かくして足し合わせたものが上の公式です。導関数の連続性を確かめてから使います。長さの積分の中身は常に1以上なので、a < b なら長さは横幅 b − a 以上になります。

平方根の定義では、√(A²) は A とは限らず |A| です。A が正または0なら |A| = A、負なら |A| = -A です。A が途中で符号を変えるときは、零点を境に積分を分けます。図1のように、平方を見つける矢印と、符号を調べて根号を外す矢印を別の操作として見ます。

例えば A = x + 1/x なら、x > 0 では両項が正です。一方 x < 0 では両項が負です。x = 0 では式自体が定義されません。この例を0をまたぐ1つの区間にそのまま使うことはできません。絶対値の分割以前に、関数と導関数の定義域を確かめる必要があります。

平方を見つける際には、展開して中央の項も照合します。A² + B² を見ただけで (A + B)² とすることはできません。2AB の項が元の式にあるか、1を足すことで生まれるかまで確かめるのが要点です。

基本例題：正の区間で根号を外す

曲線 y = x²/4 − (1/2)ln x の 1 ≦ x ≦ 2 における長さを、対数を用いた厳密値で求めてください。

正の区間なので ln x は定義され、導関数も連続です。図2のように、端点は (1, 1/4) と (2, 1 − (1/2)ln 2) です。図の曲線は左端で水平になり、その後は上がります。まず微分します。

f′(x) = x/2 - 1/(2x)
1 + f′(x)² = 1 + x²/4 - 1/2 + 1/(4x²)
                 = x²/4 + 1/2 + 1/(4x²)
                 = (x/2 + 1/(2x))²

最後の平方を展開すると中央の項が1/2になるので、元の式と一致します。指定区間では x > 0 ですから、x/2 + 1/(2x) > 0 です。よって平方根はこの和そのものになります。

L = ∫[1→2] (x/2 + 1/(2x)) dx
  = [x²/4 + (1/2)ln x]₁→₂
  = 1 + (1/2)ln 2 - 1/4
  = 3/4 + (1/2)ln 2

積分後に代入した式は元の曲線の式と同じではありません。導関数の差を長さの密度の和に直したため、対数の項の符号が変わっています。答えは正で、横幅1より大きくなります。始点と終点を結ぶ線分の長さ以上にもなり、図の弧の長さとして矛盾しません。

ここで正と判断した根拠は、端点で正だったことだけではありません。区間内の任意の x が正であり、和の各項が正だからです。端点だけを調べても途中で符号が変わる関数はあるので、底の式全体の符号を区間で説明してください。

標準例題：指数の和へ変形する

曲線 y = (eˣ + e⁻ˣ)/2 の 0 ≦ x ≦ ln 3 における長さを、分数の厳密値で求めてください。

指数関数とその導関数は指定区間で連続です。微分した式は指数の差ですが、長さの密度は指数の和に変わります。積 eˣ・e⁻ˣ が1であることが、平方に直せる理由です。

f′(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/2
1 + f′(x)² = 1 + (e²ˣ - 2 + e⁻²ˣ)/4
                 = (e²ˣ + 2 + e⁻²ˣ)/4
                 = ((eˣ + e⁻ˣ)/2)²

eˣ と e⁻ˣ はどちらも正なので、底の和は区間全体で正です。絶対値を外してから積分します。

L = ∫[0→ln 3] (eˣ + e⁻ˣ)/2 dx
  = [(eˣ - e⁻ˣ)/2]₀→ln 3
  = (3 - 1/3)/2 - (1 - 1)/2
  = 4/3

端点の高さはそれぞれ1、5/3です。高さの差2/3をそのまま長さにすると、横方向の変化が抜けます。今回の答え4/3は横幅 ln 3 および両端点を結ぶ線分の長さより大きく、長さとしての条件に合います。

別の見方として、積分の直前で u = eˣ と置くこともできます。ただし dx = du/u も必要になり、端点も1から3へ変わります。この例では指数関数を直接積分する方が短く、置換による利点はありません。置換は根号を外した後の式が扱いやすくなる場合に選びます。

発展例題：三角関数と置換をつなぐ

曲線 y = -ln(cos x) の -π/4 ≦ x ≦ π/4 における長さを、根号と対数を用いた厳密値で求めてください。

この区間では cos x ≧ √2/2 > 0 です。対数の真数は正で、導関数も連続です。まず平方根を整理します。

f′(x) = sin x / cos x = tan x
1 + f′(x)² = 1 + tan² x
                 = 1/cos² x
√(1 + f′(x)²) = |1/cos x|
                         = 1/cos x

最後の等号は cos x が区間全体で正だから成り立ちます。cos x の符号を調べずに絶対値を外してはいけません。ここでは積分の形を整えるため、u = 1/cos x + tan x と置きます。

du/dx = sin x/cos² x + 1/cos² x
      = (1 + sin x)/cos² x
      = (1/cos x)(1/cos x + tan x)
      = u/cos x

この区間では u = (1 + sin x)/cos x > 0 です。したがって du/u = dx/cos x と書けます。端点も新しい変数に直します。

x = -π/4 のとき u = √2 - 1
x =  π/4 のとき u = √2 + 1
L = ∫[√2-1→√2+1] (1/u) du
  = ln(√2 + 1) - ln(√2 - 1)
  = 2 ln(√2 + 1)

最後は (√2 + 1)(√2 − 1) = 1 を使いました。端点の高さはどちらも ln 2 / 2 なので、両端を結ぶ線分は長さ π/2 の水平な線分です。曲線の密度 1/cos x は区間内で1以上であり、端点以外でも1より大きい部分があるため、答えが π/2 より大きいことと整合します。

置換しないで結果だけを公式として覚える方法もありますが、ここでは u の微分が積分の中身に u を掛けた形になることを示しました。u が正である確認は、ln u を使うためにも、u で割るためにも必要です。もし選んだ置換式が0になる区間なら、この割り算をそのまま使えません。

誤答を直す：負の底をそのまま積分しない

次は基本例題の関数の対数を ln|x| とした曲線 y = x²/4 − (1/2)ln|x| の -3 ≦ x ≦ -1 を考えます。図3のように区間は0の左側にあり、x/2 と 1/(2x) はともに負です。導関数はこの区間で連続であり、基本例題と同じ平方の式が使えます。

誤った式は、√((x/2 + 1/(2x))²) を x/2 + 1/(2x) とするものです。この式を左から右へ積分すると負の値になり、長さの候補にはなりません。図3に示すように、底が負のときはその反対の符号が平方根です。

√((x/2 + 1/(2x))²) = -(x/2 + 1/(2x))
L = ∫[-3→-1] (-x/2 - 1/(2x)) dx
  = [-x²/4 - (1/2)ln|x|]₋₃→₋₁
  = -1/4 - (-9/4 - (1/2)ln 3)
  = 2 + (1/2)ln 3

両端の高さの差は、曲線に代入して 2 − (1/2)ln 3 です。求めた長さは横幅2より大きく、両端を結ぶ線分よりも長い値です。負の答えに最後だけマイナスを付けるのではなく、積分前の各 x で密度が非負になるように直します。

もう1つの失敗は、同じ式で -1 ≦ x ≦ 1 を一度に扱うことです。x = 0 で対数も導関数も定義されないため、ここで述べた閉区間の公式の条件を満たしません。単に0で区間を分けて端点に代入するのも不適切です。問題の区間が定義域に入っているかを先に戻って確認してください。

手を動かす5問

次の長さはすべて厳密値で求めてください。対数が残る場合は ln を用いて構いません。それぞれ区間で関数と導関数が定義されること、平方根の底の符号を確認してから計算します。

y = x²/4 − (1/2)ln x の 2 ≦ x ≦ 4 の弧の長さを求めてください。
y = x²/4 − (1/2)ln|x| の -2 ≦ x ≦ -1/2 の弧の長さを求めてください。
y = (eˣ + e⁻ˣ)/2 の ln 2 ≦ x ≦ ln 4 の弧の長さを求めてください。
y = (eˣ⁻¹ + e¹⁻ˣ)/2 の 1 ≦ x ≦ 1 + ln 2 の弧の長さを求めてください。
y = -ln(cos x) の 0 ≦ x ≦ π/3 の弧の長さを求めてください。

解答と道筋

正の区間で f′(x) = x/2 − 1/(2x) です。根号は x/2 + 1/(2x) になり、次のように計算します。

L = [x²/4 + (1/2)ln x]₂→₄
  = 4 + (1/2)ln 4 - 1 - (1/2)ln 2
  = 3 + (1/2)ln 2

端点を元の関数に入れると高さは 1 − (1/2)ln 2 と 4 − (1/2)ln 4 です。横幅は2で、答えは両端を結ぶ線分の長さ以上です。

区間は負で0を含みません。f′(x) = x/2 − 1/(2x) は連続で、平方根の底 x/2 + 1/(2x) は負です。したがってその符号を反転します。

L = [-x²/4 - (1/2)ln|x|]₋₂→₋₁/₂
  = (-1/16 + (1/2)ln 2) - (-1 - (1/2)ln 2)
  = 15/16 + ln 2

両端の高さはそれぞれ 1 − (1/2)ln 2、1/16 + (1/2)ln 2 です。横幅3/2と端点の高さの差から作る線分の長さより答えは大きく、符号も正です。

密度は正の式 (eˣ + e⁻ˣ)/2 です。端点で eˣ が2と4になることに注意します。

L = [(eˣ - e⁻ˣ)/2]ln 2→ln 4
  = (4 - 1/4)/2 - (2 - 1/2)/2
  = 15/8 - 3/4
  = 9/8

元の曲線の端点の高さは5/4と17/8なので、高さの差は7/8です。答えはこの差および横幅 ln 2 を用いた弦の長さを超えます。

微分すると f′(x) = (eˣ⁻¹ − e¹⁻ˣ)/2 です。2つの指数の積は1なので、密度は (eˣ⁻¹ + e¹⁻ˣ)/2 です。

L = [(eˣ⁻¹ - e¹⁻ˣ)/2]₁→₁₊ln 2
  = (2 - 1/2)/2 - (1 - 1)/2
  = 3/4

元の関数に戻すと端点の高さは1と5/4です。横幅 ln 2 と高さの差1/4を持つ弦より、3/4は長くなります。指数の中の -1 を微分や端点代入で落とさないようにします。

区間内で cos x は正ですから、密度は 1/cos x です。u = 1/cos x + tan x と置くと du/u = dx/cos x となり、u は1から 2 + √3 まで増えます。

L = ∫[1→2+√3] (1/u) du
  = ln(2 + √3)

元の曲線の端点の高さは0と ln 2 です。横幅 π/3 と高さの差 ln 2 による弦よりも答えは長くなります。置換後に対数へ入る数が正であることも確かめます。

手元に残す要点

導関数が閉区間で連続か、式の定義域を含めて調べます。
1 + f′(x)² を平方に直したら展開して照合します。
√(A²) = |A| と書き、区間内の符号を確認します。
置換するときは微分、端点、割る式の零を点検します。
長さが横幅や両端の弦より短くないか確かめます。

どこで止まったかを見分ける

平方が見えないときは、まず f′(x) の2項の積を書いて、差の二乗と和の二乗の違いが1になるか調べます。平方まで進んでも答えが負なら、絶対値を外す前の式に戻り、区間内の符号を言葉で説明します。対数や分母がある場合は、式変形以前に定義域を確認します。

個別指導で確かめるなら、式だけでなく、区間を示した図と「なぜその底は正か負か」という説明を並べると、計算のつまずきが見えます。置換を選んだ場合は、新しい端点と微分の式も横に置き、同じ変数で積分が完結しているかを点検します。平方の底の符号を区間全体で捉えると、根号の整理は長さにふさわしい式へつながります。