高校数学III 尖点を含む曲線の長さ—零になる導関数と区間の分割を確かめる｜武蔵野個別指導塾

サイクロイドの端で両導関数が0になる場合も、連続な速さを積分できます。半角の符号が変わる区間を分け、一弧と部分弧の長さを計算します。

よくあるのは、理系の高3が演習で、尖点では2つの導関数がともに0になるから、曲線の長さの公式が一切使えないと考える場面です。接線の傾きを求める式では分母が0になり、そこで手が止まるかもしれません。しかし、長さに必要なのは傾きの商ではなく、2つの座標の変化を合わせた量です。端点でその量が0になっても、区間全体で連続なら定積分を考えられます。

何を調べてから積分するか

典型的な問いは、座標式と媒介変数の範囲を与え、一弧の長さを求めるものです。端点が尖った形でも、まず端点の座標と途中の進み方を調べます。別の型では、尖点を区間の途中に含めて長さを求めます。この場合、根号を外した後の符号が変わる場所で区間を分ける必要があります。

さらに、同じ曲線の一部分を指定する問題では、媒介変数の値がどの点に対応するかが重要です。図の左右だけで区間を決めず、座標式に端の値を代入しましょう。ここで扱うのは座標式が与えられた弧の長さです。曲線の分類や、転がる円から座標式を導く話には立ち入りません。

計算を始める前の短い見取り図として、次の3点を紙に書きます。座標の導関数は連続か、弧を指定の向きにたどるか、根号を外した後に符号は変わるか、です。どれかが曖昧なままだと、積分が正しくても問題の弧とは別のものを数えることがあります。

尖った端と速さの式

曲線が x = f(t), y = g(t) と表され、閉区間で f′ と g′ が連続であるとします。この区間を動く点の道のりは、次の定積分です。

L = ∫[a→b] √(f′(t)² + g′(t)²) dt

根号の中は2つの平方の和です。したがって被積分関数は負になりません。これは媒介変数を時間と見たときの速さに当たる量ですが、実際の運動を想定しなくても弧の長さを計算できます。区間中に同じ弧を複数回たどる表示なら、その回数分を含む道のりになるため、図形としての長さを問うときは重なりを別に調べます。

図1のように、尖った端では両成分が0でも、近くの点の変化を合わせた速さが0に近づきます。0であることは、速さの式が定義されないこととは違います。たとえば x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), a > 0 では、t = 0 で両導関数が0です。この座標式は閉区間で微分可能で、導関数も連続です。よって端点を含めた定積分が使えます。

この表示を微分すると x′ = a(1 − cos t), y′ = a sin t です。平方の和を整理するには、sin² t + cos² t = 1 と 1 − cos t = 2 sin²(t/2) を使います。

x′² + y′² = a²((1 - cos t)² + sin² t)
= 2a²(1 - cos t)
= 4a² sin²(t/2)
√(x′² + y′²) = 2a|sin(t/2)|

最後の絶対値が重要です。平方根は常に0以上なので、√(u²) は |u| です。0から2πでは sin(t/2) は0以上ですが、2πを越える区間では負になる部分があります。絶対値を外す前に半角の範囲を確認します。尖点で割り算をする必要はなく、また端で値が0の連続関数の積分なので、広義積分にする必要もありません。

基本例題：一弧の端から端まで

座標 x = 3(t − sin t), y = 3(1 − cos t) で表される曲線の 0 ≤ t ≤ 2π の長さを厳密値で求めてください。

まず両端を代入すると、t = 0 で (0, 0)、t = 2π で (6π, 0) です。0 < t < 2π では x′ = 3(1 − cos t) > 0 なので、弧は左から右へ進み、途中で同じ点を再通過しません。t = π では (3π, 6) です。図2の弧と端点が求める範囲に対応します。

両導関数は連続で、両端ではともに0です。長さの式を立て、根号内を整理します。

x′ = 3(1 - cos t)
y′ = 3 sin t
L = ∫[0→2π] √(9(1 - cos t)² + 9 sin² t) dt
= ∫[0→2π] 6|sin(t/2)| dt

0 ≤ t/2 ≤ π では sin(t/2) ≥ 0 です。ここでは絶対値を外しても負の長さは入りません。

L = ∫[0→2π] 6 sin(t/2) dt
= [-12 cos(t/2)]₀→₂π
= 12 + 12
= 24

答えは 24 です。原始関数を微分すると 6 sin(t/2) に戻ります。始点と終点を結ぶ弦の長さは 6π で、6π < 24 ですから、弧が弦より短いという不自然さもありません。端点の速さ0は積分の値を壊さず、むしろ弧の形と整合しています。

標準例題：尖点を途中に含める

座標 x = 2(t − sin t), y = 2(1 − cos t) で表される曲線について、π ≤ t ≤ 3π の長さを厳密値で求めてください。

端点は (2π, 4) と (6π, 4) です。間の t = 2π で (4π, 0) となり、両導関数が0になります。x′ = 2(1 − cos t) は区間内で負にならず、孤立した点を除いて正なので、点は右へ進みます。指定区間の弧は尖点を境に左右に分かれ、同じ弧を重ねていません。

導関数は連続なので、速さを積分します。ただし半角は π/2 から 3π/2 へ動くため、t = 2π で符号が変わります。

L = ∫[π→3π] 4|sin(t/2)| dt
= ∫[π→2π] 4 sin(t/2) dt + ∫[2π→3π] -4 sin(t/2) dt
= [-8 cos(t/2)]π→₂π + [8 cos(t/2)]₂π→₃π
= 8 + 8
= 16

答えは 16 です。両端の高さは同じなので弦の長さは 4π です。4π < 16 で、長さの大小にも合います。前半と後半はそれぞれ8で、尖点を境とする2つの弧を足しています。

別の見方では、t = 2π を中心に左右の速さが対応するので、前半の積分を2倍できます。ただし対称性を使う前に、区間の両端が中心から等距離であることと、対応する速さが等しいことを確認します。等距離でない部分弧まで2倍すると、余分な弧を数えてしまいます。

発展例題：尖点を挟む非対称な区間

座標 x = 5(t − sin t), y = 5(1 − cos t) の曲線について、π ≤ t ≤ 5π/2 の長さを厳密値で求めてください。

導関数は閉区間で連続です。始点は (5π, 10)、途中の尖点は (10π, 0)、終点は (25π/2 − 5, 5) です。x′ は負にならず、区間のどの部分区間でも正となる点があるため、xは全体として増加します。よってこの範囲に同じ弧の重複はありません。

速さは 10|sin(t/2)| です。半角の範囲は π/2 ≤ t/2 ≤ 5π/4 なので、t = 2π の前後で分けます。

L = ∫[π→2π] 10 sin(t/2) dt + ∫[2π→5π/2] -10 sin(t/2) dt
= [-20 cos(t/2)]π→₂π + [20 cos(t/2)]₂π→₅π/₂
= 20 + (20 - 10√2)
= 40 - 10√2

答えは 40 − 10√2 です。2つ目の弧は尖点から終点までの水平距離 5π/2 − 5 より長く、1つ目の弧もその水平距離 5π より長いことを確認できます。両者の和も始点と終点の弦以上です。前半の長さを2倍する方法は、この問題では端の位置が対称でないため使えません。分割してそれぞれの端を代入する方法なら、非対称な区間にも対応できます。

誤答をほどく：0と負を区別する

標準例題で「t = 2π では x′ = y′ = 0 だから、長さは求められない」とする答えを考えます。接線の傾きとして y′/x′ を計算する方法は、その点で0を分母にするので使えません。しかし長さの公式の根号は商ではありません。両成分が0なら、その点の速さは √(0² + 0²) = 0 です。区間全体で速さが連続であることを確かめれば、その点を含む定積分を計算できます。

別の誤りは、√(4a² sin²(t/2)) を、符号を調べず 2a sin(t/2) とすることです。図3のように、t = 2π より右では sin(t/2) が負になります。そのまま積分すれば後半は負に数えられ、前半と打ち消し合うことがあります。負の速さで弧を消してはいけません。

直し方は、まず絶対値を付けた式を書くことです。次に sin(t/2) = 0 となる値を区間内で探し、正負を調べます。区間の外の零点で分ける必要はありません。尖点そのものでは左右どちらの式も0になり、分割した積分の値を足しても端点を余計に数えることはありません。

根号の中が0になる点が現れたときは、即座に公式を捨てるのではなく、導関数の連続性を確認します。一方で、連続性が与えられない別の表示に同じ理由を無条件で使うこともできません。式の定義域と端点を先に確かめ、必要な条件を一つずつ満たしてから計算へ進みましょう。

練習問題

次の曲線はそれぞれ指定区間を1回たどります。長さはすべて厳密値で求めてください。座標に単位は付けません。

1. x = 4(t − sin t), y = 4(1 − cos t) の 0 ≤ t ≤ 2π。
2. x = 6(t − sin t), y = 6(1 − cos t) の 0 ≤ t ≤ π。
3. x = t − sin t, y = 1 − cos t の 2π ≤ t ≤ 3π。
4. x = 7(t − sin t), y = 7(1 − cos t) の π ≤ t ≤ 4π。
5. x = 2t³, y = 3t² の -1 ≤ t ≤ 1。

答えと解き方

1. 導関数は連続で、両端でともに0です。速さは 8|sin(t/2)| となり、この範囲では絶対値の中は0以上です。

L = ∫[0→2π] 8 sin(t/2) dt
= [-16 cos(t/2)]₀→₂π
= 32

端点は (0, 0), (8π, 0) で、弦の長さ 8π より32は大きいです。端点を座標式に戻すと指定の一弧に一致します。

2. 速さは 12 sin(t/2) です。半角は0からπ/2までなので符号を変える必要はありません。

L = ∫[0→π] 12 sin(t/2) dt
= [-24 cos(t/2)]₀→π
= 24

端点は (0, 0), (6π, 12) です。弦の長さは √(36π² + 144) であり、24以下です。終点を式に代入すると高さ12となり、半弧の範囲を取り違えていません。

3. この区間の半角はπから3π/2までなので、正弦は0以下です。両導関数は連続で、左端ではともに0です。

L = ∫[2π→3π] -2 sin(t/2) dt
= [4 cos(t/2)]₂π→₃π
= 4

端点は (2π, 0), (3π, 2) です。弦 √(π² + 4) は4以下で、得られた長さは弦以上です。負号を外すと負の値になるため、半角の符号が判定の要です。

4. t = 2π で速さが0となり、そこで正弦の符号が変わります。右端の t = 4π は次の尖点です。

L = ∫[π→2π] 14 sin(t/2) dt + ∫[2π→4π] -14 sin(t/2) dt
= 28 + 56
= 84

始点 (7π, 14)、分割点 (14π, 0)、終点 (28π, 0) はそれぞれ元の座標式から出ます。前半と後半の長さは各々の弦以上で、合わせた84も全体の弦以上です。端点で0になることと、その内側で負号が必要なことを別に確認します。

5. この曲線では三角関数を使いません。導関数は x′ = 6t², y′ = 6t で連続です。t = 0 で両方が0となり、原点で尖っています。xは区間全体で増加するので、2つの枝は原点以外で重なりません。

√(x′² + y′²) = 6|t|√(t² + 1)
L = 2∫[0→1] 6t√(t² + 1) dt
= [4(t² + 1)√(t² + 1)]₀→₁
= 8√2 - 4

偶関数の速さを使って右半分を2倍しました。始点は (-2, 3)、終点は (2, 3) なので弦は4です。8√2 − 4 > 4 で、弦より長いという条件を満たします。原始関数を微分すると 12t√(t² + 1) に戻り、2倍した被積分関数 と一致します。

手元に残す要点

• 長さには両座標の導関数の平方和の平方根を使います。
• 導関数が連続なら、端や途中で速さが0になる点も積分区間に含められます。
• √(u²) = |u| として、符号が変わる点で区間を分けます。
• 座標の増減と端点を調べ、求める弧を何回たどるかを確かめます。
• 答えは弦以上かを調べ、端点を元の座標式に戻します。

つまずきの場所を見分ける

式が立たないときは、まず2つの導関数を別々に書き、尖点で何が0になるかを確認します。商の分母が0になる問題と、平方和の根号が0になる問題を区別できれば、使用できる式が見えてきます。図には端点、途中の尖点、進む向きを書き、指定区間のどの値がどの点に対応するかを説明してみましょう。

式は立つのに答えが負になる場合は、根号を外した行を見直します。絶対値を付けてから半角の範囲を調べれば、符号の取り違えを見つけられます。個別指導では、計算結果だけでなく、区間を分けた理由を図と式の両方で説明できるかを確かめます。尖点の速さが0であることを、長さを測るための情報として使えます。