高校受験の数学 比例—表と座標から比例定数を求めて直線のグラフをかく｜武蔵野個別指導塾

表の対応からy÷xで比例定数を求め、負の座標を含む直線に戻して割る順序を確かめる練習ができます。

中1が表の対応する数を見ながら、xをyで割って比例定数を出してしまう場面があります。数がきれいに割り切れると、そのまま正しい式に見えるかもしれません。しかし、式に元の数を戻せば、割る向きの違いを見つけられます。表、式、座標、グラフを行き来して、同じ関係を別の形で表す練習をしましょう。

表から直線まで、何を読み取るか

比例では、表の対応を式に直し、得られた座標を直線上で確かめます。反比例や一次関数との詳しい比較には進みません。

比例の問題には、対応する数の表から式を作る型があります。xがいくつのときyがいくつかを同じ列で読み、yをxで割って定数を求めます。空欄のある表では、求めた式にxを代入して埋めます。負の数を含んでも、同じ手順で符号まで計算します。

次に、点の座標から式を作る型があります。座標は横の位置を先に、縦の位置を後に書きます。点が原点以外なら、その点のxとyを式に代入して比例定数を決められます。逆に、式に合うかどうかを問われた点は、両方の座標を代入して等式が成り立つか調べます。

さらに、式からグラフをかく型があります。比例のグラフは原点を通る直線です。原点のほかに式を満たす点を取り、直線を引きます。点の位置や直線の向きが正しいかは、別のxを代入して確かめられます。学習範囲の照合では、中学校学習指導要領の第1学年に数と式が置かれています。

対応する数を同じ列に置く

yがxに比例するとは、一定の数aを使って、y = axと表せることです。aを比例定数と呼びます。xにどんな数を入れても、その数に同じaをかけてyを求めます。たとえばy = 3xなら、xが2のときyは6、xが-2のときyは-6です。xが2倍、3倍になると、対応するyも2倍、3倍になります。

xが0でない組では、y = axの両辺をxで割るとa = y ÷ xです。割る順は、求めるyを、元になるxで割ると覚えましょう。x ÷ yは一般には別の数です。図1のように対応する組ごとに割り算を書くと、どの数を先に置くかが見えます。

図1では、xが2のときyは6なので6 ÷ 2 = 3です。xが-2のときも、-6 ÷ (-2) = 3となります。異なる組で同じ数が得られることは、比例の式を確認する手がかりです。ただし、表の一部だけで比例かどうかを判定するときは、残りの組も式に合うか確かめます。例えば最後の組がx = 4、y = 13なら、y = 3xに入れた値12と一致しないので、この表全体はその比例関係を表しません。

x = 0のときは、y = a × 0 = 0です。ところが0 ÷ 0では比例定数を決められません。原点の組だけが与えられている場合、y = 2xもy = -3xも原点を通るため、定数は一つに決まりません。原点以外の対応を探すか、別の条件が必要です。

座標平面では横軸がx、縦軸がyです。点の座標を(x, y)の順に読み、負ならそれぞれ左、下に進みます。比例定数が正なら直線は右上がり、負なら右下がりです。比例定数が0ならyは常に0で、グラフはx軸と重なります。向きは確認の助けですが、向きだけでは定数の値までは決まりません。

表の空欄を埋めるときには、まず定数を決めるために、xとyが両方書かれた列を選びます。そのxが0なら別の列を探します。定数を求めた後は、xが与えられた空欄に式を使い、yが与えられた空欄では、そのyになるxを考えます。たとえばy = 3xでy = -9なら、3に何をかけると-9になるかを考え、x = -3です。戻して3 × (-3) = -9となることも確かめます。

比例のグラフが直線になる理由も、対応から考えられます。たとえばy = 3xでは、横に1進むごとに縦には3進みます。負の範囲でも、xが-2から-1、0へと1ずつ増えると、yは-6から-3、0へと3ずつ増えます。一定の進み方で点が並ぶので、それらを通る直線で表せます。点を2つ取るときには、計算しやすく、目盛りの読みやすい数を選ぶと作図しやすくなります。

基本例題：負の座標から式を作る

問題　yはxに比例し、x = -2のときy = 4です。比例定数と式を求め、x = 3のときのyを整数で答えなさい。またグラフをかきなさい。

比例なので、まず比例定数をaとして式をy = axと置きます。対応するxとyを同時に代入すると、次の等式になります。

4 = a × (-2)

両辺を-2で割って、aを取り出します。

a = 4 ÷ (-2)

a = -2

したがって比例定数は-2、式はy = -2xです。xとyを逆に使うと異なる数になるため、元の組を戻して確かめます。x = -2を式に入れると、y = (-2) × (-2) = 4です。問題で与えられたyに戻ります。

x = 3のときは、式のxを3に置き換えます。

y = (-2) × 3

y = -6

答えは-6です。負の比例定数に正の数をかけるので、yは負になります。この符号の見通しも計算の確認に役立ちます。

グラフにはまず原点(0, 0)を取ります。次に、与えられた点(-2, 4)を、原点から左に2、上に4の位置に取ります。図2のように2点を通る直線を引き、両方向に延ばします。

さらにx = 3のときの点(3, -6)も直線上にあるか見ます。原点から右に3、下に6の位置です。図2の3点は同じ直線にあり、計算した値とグラフが対応します。目盛りの間隔を横と縦でそれぞれ一定にし、点を打つ前に符号を確認すると、左上と右下を取り違えにくくなります。直線を原点で止めず、両側に延ばすことも忘れないようにしましょう。

もし点を(4, -2)と置くと、与えられた座標の順序が逆です。式に入れるとy = -8となり、縦の座標-2とは合いません。見た目で直線をかけても、座標の順序と代入の両方を確かめる必要があります。

条件が足りるかを見分ける例題

問題　yはxに比例し、点(6, -4)をグラフが通ります。比例定数と式を分数で表し、点(-3, 2)と点(3, 2)がそれぞれグラフ上にあるか調べなさい。さらに、原点だけを通るという条件なら比例定数が決まるか答えなさい。

比例定数をaとするとy = axです。点(6, -4)を代入します。

-4 = 6a

a = -4 ÷ 6 = -2/3

よって、比例定数は-2/3、式はy = (-2/3)xです。与えられた点に戻すと、(-2/3) × 6 = -4であり、縦の座標と一致します。分数のまま確かめるので、丸めによる誤差はありません。

点(-3, 2)では、x = -3を代入するとy = (-2/3) × (-3) = 2です。指定された縦の座標と等しいので、この点はグラフ上にあります。一方、点(3, 2)ではy = (-2/3) × 3 = -2です。指定された縦の座標2とは異なるので、グラフ上にありません。xとyのどちらか一方が合うだけでは足りず、同じ点の組で確かめます。

原点だけが条件なら、比例定数は決まりません。どのaでもx = 0を代入すればy = 0になるからです。たとえばy = xとy = -xは異なる直線ですが、どちらも原点を通ります。原点以外の点が与えられたときは、そのxが0でないのでy ÷ xを計算できます。ここが条件による分かれ目です。

点がグラフ上にないときは、すぐに図の読み違いと決めず、まず代入した値と問題の座標を並べます。横の値を入れて得た縦の値が違えば、その式と点は対応しません。式を作るときの割り算と、点を調べるときの掛け算は逆向きの確認として使えます。

割る順を逆にした答えを直す

x = 4のときy = 12という比例関係で、「4 ÷ 12 = 1/3だからy = (1/3)x」と答えたとします。割り算自体は正しいのですが、比例定数として使う数が違います。y = axをxで割るとa = y ÷ xであり、12 ÷ 4を計算する必要があります。

図3のように、誤った式にも元のxを戻してみます。x = 4ならy = 4/3となり、与えられた12には戻りません。正しくはa = 12 ÷ 4 = 3なのでy = 3xです。この式ではx = 4のときy = 3 × 4 = 12となり、条件に一致します。

もう一つの誤りは、x = 0、y = 0の組から0 ÷ 0を計算して定数を出そうとすることです。0では割れないため、この計算は使えません。表の別の列にxが0でない組があれば、そこから定数を求め、残った組を式に戻して確かめます。ほかの条件がなければ、定数が決まらないと答えます。

グラフでは、原点と一つの点を通る線を引いたつもりでも、目盛りを数え間違えることがあります。式に別のxを代入し、その点が線上にあるか調べてください。合わないときは、式の計算、座標の順、点の位置、定規を当てた位置を順に見直します。どこで対応が崩れたかを探すと、線を引き直す理由も明確になります。

練習：式と点をつなぐ

次の4問はそれぞれ独立した問題です。比例定数と座標は整数または約分した分数で答え、必要なグラフは直線としてかいてください。

1. yはxに比例し、x = 5のときy = 15です。比例定数と式を求め、x = -4のときのyを答えなさい。
2. yはxに比例し、点(-4, -6)をグラフが通ります。比例定数と式を求め、点(2, 3)がグラフ上にあるか答えなさい。
3. y = (-1/2)xのグラフをかき、x = 6のときの点の座標を答えなさい。原点以外に使った点も答えなさい。
4. xとyの組が(0, 0)、(2, -8)、(-3, 12)、(5, -19)です。これら全組が同じ比例関係にあるか答え、理由を示しなさい。

答えと解き方

1. a = 15 ÷ 5 = 3なので、比例定数は3、式はy = 3xです。x = -4を代入してy = 3 × (-4) = -12です。元の条件にも戻すと、x = 5でy = 3 × 5 = 15となります。負のxを使った答えも、式から-12と確かめられます。

2. a = (-6) ÷ (-4) = 3/2です。比例定数は3/2、式はy = (3/2)xです。元のx = -4ではy = (3/2) × (-4) = -6となり、与えられた点に戻ります。x = 2ではy = (3/2) × 2 = 3なので、点(2, 3)はグラフ上にあります。

3. x = 6を代入するとy = (-1/2) × 6 = -3です。点の座標は(6, -3)です。原点とこの点を取り、両方を通る直線を引きます。たとえばx = -2ではy = 1となるので、点(-2, 1)も線上にあるか確認できます。原点でもy = (-1/2) × 0 = 0となり、どちらの位置も式と合います。

4. x = 2、y = -8の組から、比例するとすればa = (-8) ÷ 2 = -4です。候補の式はy = -4xです。x = 0ならy = 0、x = -3ならy = 12となり、最初の3組は合います。しかしx = 5ならy = -20で、与えられた-19とは異なります。したがって全組は同じ比例関係にありません。1組から候補を作った後、残りの組もそれぞれ調べる必要があります。

要点を短く

比例の式はy = ax、xが0でない組からa = y ÷ xを求めます。
座標は(x, y)の順に扱い、元の組を式に戻して確かめます。
グラフは原点と式に合う別の点を通る直線です。
原点だけでは比例定数は決まりません。

表と図を照らす際は、同じ点を別の方法で読む練習も有効です。まず式から横の値に対応する縦の値を計算し、次にその組を座標として取ります。最後に点から横と縦を読み直せば、計算の間違いと描き写すときの間違いを分けて見直せます。直線が原点を通っていても、もう一つの点が違えば別の比例関係です。

手が止まった位置を探す

お子さまが答えを間違えたときは、最終結果だけでなく、どの組を選び、どちらを先に割ったかを確認します。式が合っていれば、次に座標を横から読めているか、負の位置を正しく取れているかを見ます。図は合っていても式に戻せない場合は、点が式を満たす意味を一組ずつ言葉にしてみます。

個別指導で確かめるなら、同じ問題の表を隠し、求めた式から元のyを再現できるか尋ねると、暗記した手順と対応の理解を区別できます。原点しかない条件も添え、割れないことを理由とともに説明できるか確かめます。比例定数は、対応を往復して確かめられる数です。