高校数学C 内積の定義—長さとなす角から符号と値の意味を読み取る｜武蔵野個別指導塾

長さと余弦を掛ける定義から、鈍角で内積が負になる理由と、零ベクトルとの内積の扱いを読み取ります。

よくあるのは、理系の高校生が鈍角をはさむ2本の矢印の内積を計算し、最後に負の符号を外してしまう場面です。長さの積なのだから正になるはずだ、と考えたくなるかもしれません。しかし、内積には長さだけでなく向きの情報も入ります。負の値は計算の失敗ではなく、2本の向きが互いに開いていることを表します。

どの情報から始めるか

内積の定義を使う問題には、長さと角度が与えられて値を求める型があります。まず2つの長さを掛け、続いてその角度の余弦を掛けます。角度が鈍角なら余弦は負なので、長さが正でも結果は負です。値の正負を先に予想しておくと、計算後の符号を点検できます。

もう一つは、角度の範囲から内積の符号を選ぶ型です。正確な角度がなくても、鋭角、直角、鈍角のどれかがわかれば符号を決められます。ただし、この判定には両方のベクトルが零でないという条件が要ります。零ベクトルには向きがないので、なす角を設定できません。

さらに、角度や長さの候補が与えられ、指定された内積が実現するかを調べる型もあります。余弦の範囲を使えば、長さを固定したときに取り得ない値を除けます。等号のときは矢印が同じ向きか逆向きかまで確かめます。ここでは定義と符号を中心に扱い、成分による内積の計算や角度を逆算する手順には立ち入りません。

向きをそろえて定義を見る

a、bを平面上のベクトルとし、長さをそれぞれ|a|、|b|と書きます。両方が零ベクトルでないとき、始点をそろえて置いた2本の矢印のなす角をθとします。θは0°以上180°以下です。同じ向きなら0°、逆向きなら180°です。直線同士の鋭角を無条件に選ぶのではなく、矢印の向きまで見ます。

このとき内積a・bを次の実数で定義します。

a・b = |a||b| cos θ

左辺はベクトルではなく数です。右辺の2つの長さはともに正なので、値の符号はcos θの符号で決まります。図1のように始点をそろえると、角度の開きと符号の対応を読み取れます。

図1では、上から順に鋭角、直角、鈍角です。鋭角ではcos θ > 0、直角ではcos θ = 0、鈍角ではcos θ < 0です。0°ではcos θ = 1、180°ではcos θ = -1なので、両端も含めて考えます。長さが同じでも、向きが変われば内積の値は変わります。

余弦を長さの向きへの寄与として見る方法もあります。bの長さにcos θを掛けた数は、aの向きを正としたときのbの符号付きの成分です。鈍角ではその数が負になります。これに正の長さ|a|を掛けるので、内積にも負が残ります。符号付きの量と、必ず0以上となる距離を混同しないことが要点です。

一方、aまたはbが零ベクトルの場合は、なす角を定められません。その場合の内積は0と定めます。したがって内積が0でも、零ベクトルを含む場合には角度が90°だとは言えません。両方が非零であることを確認して初めて、内積0と直角を結び付けられます。

定義から、非零のaについてa・a = |a|²です。自分自身との角度が0°で、cos 0° = 1だからです。零ベクトルでも両辺は0です。内積は符号のある数ですが、自分自身との内積は長さの二乗なので負にはなりません。

角度を読み違えやすいのは、2本の矢印が同一直線上にあるときです。同じ向きなら角度は0°で、内積は長さの積です。逆向きなら180°で、内積は長さの積に負号を付けた値です。どちらも矢印を平行移動して始点を合わせれば判別できます。

非零の2本について内積が正なら鋭角側、負なら鈍角側に向いています。ただし正の場合には0°も、負の場合には180°も含まれます。鋭角や鈍角という言葉を厳密に使うときは、端点を別に記述します。角度の範囲を不等式で書いておけば、端点を誤って除く失敗を防げます。

基本例題：鈍角の余弦を残す

長さがそれぞれ4、6の非零ベクトルa、bのなす角が120°です。内積a・bを整数で求めてください。

図2のように始点をそろえると、120°は直角より大きく、内積は負になるはずです。先に符号を予想してから式に代入します。

cos 120° = -1/2
a・b = |a||b| cos 120°
     = 4・6・(-1/2)
     = -12

答えは-12です。図2の2本はともに長さが正ですが、bのa方向への符号付きの成分は6・(-1/2) = -3です。これに4を掛けても-12となります。別の見方でも負の符号が残り、定義に戻した値と一致します。

ここで120°を60°に取り替えると、逆向きにした矢印との角度を使ったことになります。問題のbは逆向きにされていません。余弦の値を覚えていても、どの矢印の角度を使ったかを図で点検する必要があります。絶対値を取る操作も、内積を求めるという条件からは出てきません。

標準例題：値が存在する範囲

非零ベクトルu、vの長さがそれぞれ3、5です。なす角が0°から180°まで変わるとき、内積u・vの取り得る範囲を不等式で表し、両端での向きを答えてください。

長さが固定されて角度が変わるので、値の変動は余弦で追えます。角度θは定義から0°以上180°以下であり、その範囲で余弦は-1以上1以下です。正の15を掛ければ不等号の向きは変わりません。

-1 ≤ cos θ ≤ 1
-15 ≤ 15 cos θ ≤ 15
u・v = 3・5 cos θ
     = 15 cos θ
-15 ≤ u・v ≤ 15

答えは-15 ≤ u・v ≤ 15です。θ = 180°のとき-15で、2本は逆向きです。θ = 0°のとき15で、2本は同じ向きです。たとえばθ = 90°なら余弦が0なので、範囲内の0も実際に得られます。余弦はこの角度の範囲で連続して-1から1までの値を取るので、間の値も実現します。

端点を元の条件に戻すと、同じ向きでは3・5・1 = 15、逆向きでは3・5・(-1) = -15です。長さの積15を上回る内積や、-15を下回る内積は、どの角度を選んでも作れません。負の端を0に変えてしまうと、鈍角の配置を落とします。

また、この範囲は長さが固定された非零の2本についての結論です。一方の長さが0なら内積は常に0で、端点の角度を議論できません。式の形が似ていても、角度を定義した条件を引き継いでいるかを見ることが必要です。

発展例題：条件に合う向きを選ぶ

非零ベクトルp、qの長さはそれぞれ2、7です。なす角の候補が60°、90°、120°、180°の4つに限られています。内積p・qが-7以下となる候補をすべて選び、それぞれの値を整数で答えてください。

候補が有限個なので、まず各角度の余弦を確かめ、定義に代入してから境界を含めて判定します。内積が負という条件だけで選ぶと、-7と等しい場合を含むかどうかを見落とすおそれがあります。

p・q = 2・7 cos θ
     = 14 cos θ
θ = 60° のとき 14・(1/2) = 7
θ = 90° のとき 14・0 = 0
θ = 120° のとき 14・(-1/2) = -7
θ = 180° のとき 14・(-1) = -14

-7以下なのは120°と180°です。対応する値は順に-7、-14です。120°は境界と等しいので含め、90°の0は負でないので除きます。候補を全部調べているため、他に選ぶ角度はありません。

逆に、選んだ角度を問題の条件へ戻します。120°なら長さ2と7の積14に-1/2を掛けて-7、180°なら-1を掛けて-14です。どちらも指定された不等式を満たします。選ばなかった60°と90°ではそれぞれ7と0となり、いずれも-7より大きいことも確かめられます。

もし候補に角度ではなく、長さが0のベクトルが含まれていたら、この表の角度をそのまま割り当てることはできません。その場合は零との内積を0と定めることに戻ります。角度の判定と零の場合を分けると、計算できない入力を無理に表へ入れずに済みます。

負の符号を消す誤答を直す

長さ3と4、なす角120°の2本について、3・4・(1/2) = 6とする答えを考えます。図3のように、120°の余弦は負です。60°の余弦をそのまま使ったため、符号が反転しています。

正しい計算は3・4・(-1/2) = -6です。図3の矢印は鈍角をなし、後ろ向きの寄与を持ちます。答えが正なら、長さか余弦のどちらかの入力を確認します。長さは負にせず、余弦の符号を正します。

別の誤りとして、内積0なら必ず90°と結論する場合があります。非零同士なら正しいのですが、片方が零ならなす角はありません。まず2本の長さが正かを確認し、零なら内積の定めに戻るという順序で修正します。計算結果だけでなく、結論に使った条件まで書くと区別できます。

練習：角度と値を行き来する

次の5問はそれぞれ独立です。内積の値は指定がなければ整数で答えてください。角度を用いる場合、ベクトルは非零です。

1. 長さ8と3、なす角60°のベクトルの内積を求めてください。
2. 長さ5と2、なす角150°のベクトルの内積を根号を用いて求めてください。
3. 長さ6と9の2本が直角をなすとき、内積を求めてください。また一方が零ベクトルの場合、なす角を90°と言えるか答えてください。
4. 長さ4と7の2本について、内積が29となる配置があるか答え、理由を示してください。
5. 長さ2と5の2本のなす角が0°、90°、180°のいずれかです。内積が0以下となる角度をすべて選び、各値を求めてください。

練習の解答と戻し方

1

60°の余弦は1/2です。長さの積に掛けます。

8・3 cos 60° = 24・(1/2)
                 = 12

答えは12です。鋭角なので正という予想と合います。元の長さと角度を定義に戻しても24の半分の12となります。

2

150°は180°から30°を引いた角です。その余弦は-√3/2です。

5・2 cos 150° = 10・(-√3/2)
                  = -5√3

答えは-5√3です。鈍角なので負であり、絶対値の二乗は75です。定義に戻した値の二乗も100・(3/4) = 75で、符号も一致します。

3

直角の余弦を使うと、次のようになります。

6・9 cos 90° = 54・0
                 = 0

答えは0です。非零の2本を直角に置いた条件へ戻すと、余弦が0なので確かに内積は0です。一方、零ベクトルを含むときも内積は0ですが、零ベクトルには向きがなく、なす角を90°とは言えません。

4

長さの積は28です。角度の余弦は1を超えないので、内積も28を超えません。

-1 ≤ cos θ ≤ 1
-28 ≤ 28 cos θ ≤ 28
28 cos θ ≤ 28 < 29

したがって条件に合う配置はありません。仮に29を代入するとcos θ = 29/28となり、余弦の範囲に反します。式を満たす数を形式的に置いても、実際の角度が存在するとは限りません。

5

長さの積は10です。候補ごとに定義へ戻します。

0°: 10 cos 0° = 10
90°: 10 cos 90° = 0
180°: 10 cos 180° = -10

答えは90°と180°で、値は順に0、-10です。0以下には0も含みます。残る0°の値10は正なので条件を満たさず、3候補をすべて確かめられました。

手元に残す要点

• 非零の2本は始点をそろえ、0°から180°のなす角を使います。
• 内積は長さの積と余弦の積であり、結果は数です。
• 鋭角では正、直角では0、鈍角では負です。
• 零ベクトルとの内積は0ですが、なす角は定まりません。
• 固定した長さの積を内積の絶対値は超えません。

どこで止まったかを見分ける

答えの符号だけが違うなら、図に矢印の向きを描き、問題の角度が鋭角か鈍角かを先に言葉にしてみてください。値の大きさも合わないなら、長さの積と余弦を別々に書いてから掛けます。零を含む問題で迷ったときは、角度が定まるかという問いに戻ります。

個別指導で途中式を見せるなら、定義の式の横に「非零」「角度」「余弦の符号」を添えると、どこで判断が変わったかを説明できます。鈍角の内積に現れる負号は、2本の向きの情報を伝えています。