高校数学C 一次独立と係数比較—平行でない二つのベクトルで表す根拠を確かめる｜武蔵野個別指導塾

平行な二つの矢印では同じベクトルに複数の係数が対応する例から、成立条件と使い方から係数比較を見極めます。

よくあるのは、理系の高校生が平行な二つのベクトルを使って式を作り、文字ごとの係数をそのまま比較する場面です。両辺が同じ矢印を表していても、係数が同じとは限りません。どこで比較してよいかを確かめるには、式の形だけでなく、基準となる矢印の向きを見る必要があります。

どの問いで条件を見るか

出方の一つは、二つのベクトルから別のベクトルを作り、その係数を求める問題です。斜めの矢印を2方向の移動に分け、成分の連立方程式を解きます。答えが一組に決まる理由も、二方向が平行でないことにあります。

もう一つは、ベクトルの等式から文字を求める問題です。両辺を同じ二つのベクトルの和に整理し、条件を確かめてから係数を比較します。式を移項した後に基準の二つが平行だと気づいた場合は、比較を取り消し、一本のベクトルについての式に直します。

さらに、文字の値によって二つの基準が平行になる問題もあります。先に文字で割ると、その文字が0になる場合を落としかねません。平行になる場合を先に分け、それぞれで解が存在するか、何組あるかまで調べます。

二方向で表すことと一組に決まること

a、bを平面上のベクトルとし、実数s、tを使ってsa + tbと表したものをaとbの一次結合と呼びます。ここではa、bがともに零ベクトルでなく、平行でない場合を考えます。この条件を、二つのベクトルが一次独立であるともいいます。

図1のように、同じ始点からa方向とb方向へ進むと、平行四辺形の向かいの頂点へ着きます。負の係数も許すので、矢印と逆向きへ進むこともできます。任意の点を通りbに平行な直線と、始点を通りaに平行な直線は、方向が異なるため1点で交わります。その交点までの移動をsa、残りをtbとすれば、平面上の任意のベクトルをsa + tbと表せます。

図1では、紺と緑の移動をつないだ結果が赤の矢印です。図は正の係数の場合ですが、直線を延長すれば負や0の場合も同じ考え方で表せます。存在することと、その表し方が一組に決まることは別の主張です。後者を式で示します。

同じベクトルに2通りの表示があるとして、sa + tb = ua + vbと置きます。移項すると次の式です。

(s - u)a + (t - v)b = 0

もしs − uが0でないなら、a = -(t − v)b/(s − u)となります。これはaがbの実数倍であることを意味し、平行でないという仮定に反します。したがってs − u = 0です。残りは(t − v)b = 0で、bは零ベクトルでないのでt − v = 0です。よってs = u、t = vとなり、表示は一意です。

この結論が係数比較の根拠です。sa + tb = ua + vbからs = u、t = vと進む前に、同じa、bで整理されていることと、その二つが平行でないことを確認します。aやbが零の場合もこの条件を満たさず、係数は一意に決まりません。

成分で判定する場合、a = (p, q)、b = (r, s)とすると、ps − qrが0でなければ平行ではありません。たとえばpが0でないとき、平行ならb = kaと書けるのでr = kp、s = kqとなり、ps − qr = 0です。逆にps − qr = 0なら、pが0でないときk = r/pとしてs = kqとなります。p = 0ならaが非零なのでqは0でなく、条件からr = 0となり、やはりbはaの実数倍です。非零の条件も忘れずに使います。

基本例題：二方向の移動に分ける

【問題】a = (1, 1)、b = (1, -1)、c = (3, 1)とします。c = xa + ybとなる実数x、yを整数で求めてください。

まずaもbも零ではありません。1・(-1) − 1・1 = -2なので平行でなく、係数は一組に決まります。成分を並べると次のようになります。

(3, 1) = x(1, 1) + y(1, -1)
(3, 1) = (x + y, x - y)
x + y = 3
x - y = 1
2x = 4
x = 2
y = 1

したがって答えはx = 2、y = 1です。図2のように2aを進み、そこからbをつなぐとcに着きます。逆向きの成分を含むbも、2番目の成分を減らす移動として扱います。

図2の終点は(3, 1)です。式に戻しても2(1, 1) + (1, -1) = (3, 1)となり、指定のcと一致します。成分の等式から連立方程式を解くこと自体は平行な場合にも可能ですが、そのときは解の個数を別に調べます。

標準例題：比較できる形に整える

【問題】a、bは平行でない非零ベクトルです。次の等式を満たす実数x、yを整数で求めてください。

2(xa + b) - (a - yb) = 5a + 4b

両辺にaとbが現れるため、まず分配法則で同じ順に整理します。平行でないという条件があるので、整理後には係数比較が使えます。

2xa + 2b - a + yb = 5a + 4b
(2x - 1)a + (y + 2)b = 5a + 4b
2x - 1 = 5
y + 2 = 4
2x = 6
x = 3
y = 2

答えはx = 3、y = 2です。元の左辺へ戻すと2(3a + b) − (a − 2b) = 5a + 4bで、右辺に一致します。2組の係数が一致するので、a、bの具体的な長さや角度を決める必要はありません。

反対に、最初の等式のaとbが平行であれば、同じ計算で係数を並べることはできても、それぞれを等しいと置く根拠はありません。等式全体は成立していても、a側の差をb側の差が打ち消せるからです。条件を式に添えておくと、どの行で比較が正当化されたか追えます。

発展例題：平行になる値を先に分ける

【問題】実数kに対し、a = (1, 2)、b = (2, k)、c = (3, 6)とします。c = xa + ybを満たす実数の組(x, y)を、kの値に応じてすべて求めてください。組は整数または文字を使った式で表します。

aは非零で、bも第1成分が2なので非零です。平行かどうかを調べる式は1・k − 2・2 = k − 4です。そこでk = 4とk ≠ 4を分けます。成分から得る方程式は両方の場合に共通です。

x + 2y = 3
2x + ky = 6
2x + 4y = 6
(k - 4)y = 0

最後の式は、2本目から1本目の2倍を引いて得ました。k ≠ 4ならk − 4は0でないので割れます。

y = 0
x + 2・0 = 3
x = 3

したがって(x, y) = (3, 0)です。元の式に戻すと3a + 0b = (3, 6) = cです。二方向が平行でないため、この組以外はありません。

k = 4ならb = (2, 4) = 2aです。このとき最後の式は0 = 0となり、yを0に限定できません。元の式は次の一つの条件にまとまります。

xa + y(2a) = 3a
(x + 2y)a = 3a
x + 2y = 3

aは非零なので最後の実数の等式が得られます。任意の実数tを用い、答えは(x, y) = (3 − 2t, t)です。実際に戻すと(3 − 2t)a + t(2a) = 3a = cとなります。任意のtで元の条件を満たし、逆に元の条件を満たす組もx + 2y = 3に従うため、この表示で尽くせます。

ここでcを(3, 7)に変えると、k = 4の場合はx + 2y = 3と2x + 4y = 7が同時に必要となります。前者の2倍は2x + 4y = 6なので矛盾し、解はありません。平行な場合は常に無数の解があるのではなく、目的のベクトルがその方向に乗るかどうかも調べます。0で割らずに残った式を確認すれば、解なしと無数の解を区別できます。

誤答を矢印に戻す

【誤答】a = (1, 0)、b = (2, 0)のとき、xa + yb = 3a + bならx = 3、y = 1である、と係数を比較する。

図3のようにbはaの2倍です。右辺は5aであり、左辺も(x + 2y)aです。たとえばx = 5、y = 0でも同じ矢印になります。図3には右辺を3aとbに分けた移動と、5aとして一度に進む移動を描いています。

誤りの原因は、等式に同じ文字が並んでいることを、係数が一意である根拠とした点です。aとbは平行なので、a方向の量をb方向の量で補えます。比較を使う前にb = 2aを代入し、非零なaについて次のように直します。

xa + y(2a) = 3a + 2a
(x + 2y)a = 5a
x + 2y = 5

よって任意の実数tについて(x, y) = (5 − 2t, t)です。(3, 1)はその一組ですが、唯一ではありません。逆に、この形の組を代入すれば係数の和は5となり、右辺に戻ります。等式を満たすかの確認と、他の組がないかの確認を分けて考えます。

練習：係数と条件を点検する

次の5問は、指定の形で答えてください。ベクトルは平面上にあり、文字は実数です。

1. a = (2, 1)、b = (1, 2)、c = (7, 8)です。c = xa + ybを満たすx、yを整数で求めてください。
2. 平行でない非零ベクトルa、bについて、(u + 2)a + (2v − 1)b = 4a − 7bです。u、vを整数で求めてください。
3. a = (1, -1)、b = (3, -3)です。xa + yb = 4aを満たす組(x, y)を、任意の実数tを使ってすべて表してください。
4. a = (0, 2)、b = (h, 1)です。aとbが平行でないためのhの条件を求めてください。
5. a = (1, 3)、b = (2, 6)、c = (4, 11)です。c = xa + ybを満たす実数x、yが存在するか答えてください。

練習の答えと途中式

1. a、bはともに非零で、2・2 − 1・1 = 3なので平行ではありません。成分を比べます。

2x + y = 7
x + 2y = 8
4x + 2y = 14
3x = 6
x = 2
y = 3

答えはx = 2、y = 3です。戻すと2(2, 1) + 3(1, 2) = (7, 8)で、指定されたcになります。平行でないので他の組はありません。

2. 基準が平行でないので係数比較を使えます。

u + 2 = 4
2v - 1 = -7
u = 2
2v = -6
v = -3

答えはu = 2、v = -3です。左辺の係数はそれぞれ2 + 2 = 4、2・(-3) − 1 = -7となり、右辺に戻ります。比較の前に基準の条件が与えられている点が根拠です。

3. b = 3aなので係数を直接比較できません。aは非零ですから、一本にまとめます。

xa + 3ya = 4a
(x + 3y)a = 4a
x + 3y = 4
x = 4 - 3y

任意の実数tを使い、答えは(x, y) = (4 − 3t, t)です。代入すると(4 − 3t)a + t(3a) = 4aとなります。逆に元の式からx + 3y = 4が必要なので、この形で解を尽くします。

4. aは非零で、bも第2成分が1なので非零です。平行でない条件を成分から調べます。

0・1 - 2h ≠ 0
-2h ≠ 0
h ≠ 0

答えはh ≠ 0です。h = 0ならb = (0, 1) = (1/2)aで平行です。h ≠ 0ならaの実数倍の第1成分は常に0ですが、bの第1成分は0でないため平行にはなりません。

5. b = 2aなので左辺は(x + 2y)aです。第1成分と第2成分について、次がともに必要です。

x + 2y = 4
3(x + 2y) = 11
12 = 11

矛盾するので解は存在しません。別の見方では、左辺の第2成分は第1成分の3倍ですが、cでは4の3倍が11ではありません。指定されたcへ戻せる係数はないと判断できます。

手元に残す要点

平行でない非零ベクトルの一次結合は、平面の任意のベクトルを一組の係数で表します。
係数比較は、同じ二つの基準を並べ、平行でないことを確かめてから使います。
平行な場合は一本にまとめ、解なしと無数の解を区別します。

立ち止まる場所を見つける

係数を比較した行に印を付け、その直前の二つの基準が平行でない理由を言葉にしてみてください。理由を言えないときは、零ベクトルの有無と実数倍の可能性へ戻ります。成分があるなら判定式を計算し、文字を含むなら0になる値を先に分けます。

個別指導で確かめるなら、平行な場合に異なる係数の組を2組作り、元の矢印が同じになることを説明する練習が有効です。次に、平行でない場合に二つの表示を引き算し、なぜ差の係数がともに0になるかを一行ずつ追います。係数比較の正しさは、基準の向きから決まります。