高校数学C 位置ベクトルと原点—二点を結ぶ差が原点の取り方によらないと示す｜武蔵野個別指導塾

原点を移した位置ベクトルを計算し、二点の差が変わらない理由と係数和1の意味を追います。

よくあるのは、原点を移した後も、ある点の位置ベクトルを移す前と同じ値で書いてしまう場面です。点そのものは動かないので、矢印も同じだと思いたくなります。しかし位置ベクトルの始点は原点です。始点を変えれば、終点が同じでも矢印は一般に変わります。

一方、2点を結ぶ矢印は、原点をどこに選んでも同じです。この違いを式で追うと、係数の和が1になる表示の意味も見えてきます。内分の比を求める公式には立ち入らず、点の表示が原点の移動にどう応じるかを扱います。

どんな問いで原点を意識するか

1つ目は、原点Oから見た2点A、Bの位置ベクトルが与えられ、ベクトルABを求める型です。終点Bの位置から始点Aの位置を引きます。引く順序を逆にすると、同じ線分でも反対向きのベクトルBAです。

2つ目は、原点をOから別の点O′に移した後の位置ベクトルを求める型です。OからO′への移動を各点の古い位置ベクトルから引きます。元の位置ベクトルをそのまま残すと、新しい原点から終点へ向かう矢印になりません。

3つ目は、点Pの位置を複数の点の位置ベクトルの和で表したとき、原点を移しても同じ係数で同じ点を表せるかを問う型です。各係数の和が1なら、新しい原点への移動がちょうど1回分引かれます。和が1でないときは、一般に余分な移動が残ります。

位置を表す矢印と移動を表す矢印

平面上に原点Oを定めます。点Aの位置ベクトルとはベクトルOAのことです。以下ではa、b、p、dをベクトルとし、それぞれベクトルOA、OB、OP、OO′を表します。O′を新しい原点とし、新しい位置ベクトルには記号′を付けます。

図1のように、OからO′、O′からAへ続けるとOからAへの移動です。したがってa = d + a′、すなわちa′ = a − dです。Bも同様にb′ = b − dとなります。原点と点が一致すれば位置ベクトルは零ですが、それも正当な位置表示です。

図1では点AとBは固定され、始点だけがOからO′へ移ります。折れ線O→A→BとO→Bを比べると、ベクトルAB = b − aです。新しい原点でも、同じ計算は次のようになります。

b′ - a′ = (b - d) - (a - d)
         = b - a

移動dが打ち消し合うため、差は原点に依存しません。AとBが一致するときも両辺は零であり、等式は成立します。ベクトルBAはa − bですから、向きを確かめてから差を書きましょう。

次に、実数s、tを用いてp = sa + tbと表せたとします。これは原点Oに関する式です。実際の点Pの新しい位置はp′ = p − dです。一方、同じ係数で新しい位置ベクトルを組み合わせると、次の式になります。

sa′ + tb′ = s(a - d) + t(b - d)
           = sa + tb - (s + t)d
           = p - (s + t)d

よってs + t = 1なら、この式はp − d = p′に等しくなります。係数の和が1とは、原点の移動を全体として1回分だけ引く条件です。係数は負でもかまいません。和が1という条件は、点が線分の内部にあるという条件ではありません。

逆に、ある固定されたs、tについて、どの原点に移しても同じ係数で同じPを表せるなら、任意のdに対して(s + t − 1)dが零です。零でないdを選べるのでs + t = 1が必要です。ただし移動しないdが零の場合は、係数和に関係なく式が一致します。特定の原点移動1回の一致と、任意の移動に対する一致を区別します。

基本例題：原点を移した後の差

原点Oを基準に、A、B、O′の位置ベクトルがそれぞれa = (2, 1)、b = (6, 3)、d = (1, 2)です。O′を原点とするときのA、Bの位置ベクトルとベクトルABを成分で求め、移動前後の差が一致することを確かめてください。

図2のように、OからO′へ移った分を両方の位置から引きます。座標の各成分は終点の成分から始点の成分を引きます。

a′ = a - d
   = (2, 1) - (1, 2)
   = (1, -1)
b′ = b - d
   = (6, 3) - (1, 2)
   = (5, 1)

図2でO′からAへは右に1、下に1、O′からBへは右に5、上に1進みます。それぞれの矢印の始点が新しい原点であることを確認できます。次に移動前の差を求めます。

ベクトルAB = b - a
             = (6, 3) - (2, 1)
             = (4, 2)

新しい位置から計算しても同じ結果です。

b′ - a′ = (5, 1) - (1, -1)
         = (4, 2)

逆に、Aから(4, 2)進むと(6, 3)となりBに着きます。O′から見ても(1, -1)に(4, 2)を加えると(5, 1)です。原点の移動前後で終点まで戻れたので、差の向きと値を両方確かめられます。

標準例題：同じ点を二つの原点で表す

Oを原点として、Aの位置ベクトルをa = (1, 3)、Bの位置ベクトルをb = (7, -1)とします。点Pの位置ベクトルがp = 2a − bであるとき、Pの成分を求めてください。さらにO′の位置ベクトルがd = (3, 2)のとき、新しい原点からのPの位置ベクトルを2通りで求め、結果を成分で答えてください。

係数の和が2 + (-1) = 1なので、同じ係数が使えると予想できます。まず古い原点からPの位置を計算します。

p = 2(1, 3) - (7, -1)
  = (2, 6) - (7, -1)
  = (-5, 7)

原点を直接移す方法では、Pからdを引きます。

p′ = p - d
   = (-5, 7) - (3, 2)
   = (-8, 5)

もう一方は、AとBの新しい位置を先に求めます。

a′ = (1, 3) - (3, 2)
   = (-2, 1)
b′ = (7, -1) - (3, 2)
   = (4, -3)
2a′ - b′ = 2(-2, 1) - (4, -3)
          = (-4, 2) - (4, -3)
          = (-8, 5)

結果は一致します。新しい原点の位置(3, 2)に(-8, 5)を足すと(-5, 7)となり、元のPに戻ります。また係数に負があるため、図でPを線分ABの内側に決めつけてはいけません。実際にベクトルAP = p − a = (-6, 4)で、ベクトルAB = (6, -4)の逆向きです。

発展例題：係数を決め、例外も調べる

Oを原点とし、a = (2, 0)、b = (0, 3)をそれぞれ点A、Bの位置ベクトルとします。実数kに対して点Pをp = ka + (2k − 1)bで定めます。O′の位置ベクトルがd = (4, -2)であるとき、同じ点Pが新しい位置ベクトルでもp′ = ka′ + (2k − 1)b′と表されるようなkを求めてください。答えは分数で表し、求めた値が条件を満たすことも確かめてください。

この問題は新旧の式を比較すると短く解けます。新しい原点が古い原点と異なるのでdは零ではありません。係数の和はk + (2k − 1) = 3k − 1です。

p′ = p - d
ka′ + (2k - 1)b′ = p - (3k - 1)d

両者が等しい条件を整理します。

p - d = p - (3k - 1)d
(3k - 2)d = 0
3k - 2 = 0
k = 2/3

最後の1行の前には、dが零でないことを使っています。これを実際の点へ戻します。

2k - 1 = 1/3
p = (2/3)(2, 0) + (1/3)(0, 3)
  = (4/3, 1)
p′ = (4/3, 1) - (4, -2)
   = (-8/3, 3)
a′ = (2, 0) - (4, -2)
   = (-2, 2)
b′ = (0, 3) - (4, -2)
   = (-4, 5)
(2/3)a′ + (1/3)b′ = (-4/3, 4/3) + (-4/3, 5/3)
                     = (-8/3, 3)

両方の計算が一致し、さらにd + p′ = (4/3, 1)と元のPにも戻ります。したがってk = 2/3は必要であるだけでなく十分です。

もしO′がOと一致するならdは零です。その場合はどのkでも新旧の表示は一致し、3k − 2 = 0とは結論できません。dが零なら(3k − 2)d = 0はどのkでも成立し、係数3k − 2を0と決められないためです。係数和1が必要となるのは、零でない移動での一致を求める場合、または任意の原点への移動を要求する場合です。

誤答を矢印の始点から直す

図3のように、Oを原点とするAの位置がa、O′の位置がdのとき、新しい位置もaとする誤りを考えます。aはOからAへの矢印です。O′から同じaだけ進んだ終点は一般にAではなく、別の点Qです。

図3ではO′からAへ進むには、まずO′からOへ戻り、それからOからAへ進みます。戻る矢印は-dなので、正しい位置はa − dです。O′ = Oならdは零であり、この場合に限って同じaを使っても終点が変わりません。

もう一つ、p = 2a + bなら新しい原点でもp′ = 2a′ + b′とする誤りがあります。係数和は3なので、右辺はp − 3dです。実際の新しい位置p − dとの差は-2dになります。非零のdなら同じ点を示しません。修正するときは係数和を確かめ、和が1でなければp′ = 2a′ + b′ + 2dと補正します。終点の一致を検算することが、式だけを見た符号間違いの発見につながります。

手を動かす5問

各問でベクトルは成分で答え、係数は整数または分数で答えてください。Oを元の原点、O′を新しい原点とします。

1. A、Bの位置がa = (-2, 4)、b = (3, -2)です。ベクトルABとBAを求め、それぞれ終点を確かめてください。
2. 点CとO′の位置がc = (5, -3)、d = (-1, 4)です。O′からのCの位置c′を求め、元の位置に戻してください。
3. a = (4, 1)、b = (-2, 5)、d = (1, -2)です。p = 3a − 2bで定めるPの新しい位置を求め、同じ係数での計算も確かめてください。
4. a = (1, 2)、b = (3, -1)、d = (2, 1)です。p = a + bで定めるPについて、a′ + b′がPを表すか判定し、Pの正しい新しい位置を求めてください。
5. d = (0, 3)であり、p = ta + (4 − 2t)bです。原点をO′に移しても同じ係数でPを表すtを求め、その条件を式に戻して確かめてください。

5問の解き方

1. 始点と終点を入れ替える

ベクトルAB = b - a
             = (3, -2) - (-2, 4)
             = (5, -6)
ベクトルBA = a - b
             = (-2, 4) - (3, -2)
             = (-5, 6)

Aに(5, -6)を足すとBの(3, -2)、Bに(-5, 6)を足すとAの(-2, 4)です。逆向きの矢印になっていることも確かめられます。

2. 新しい始点を引く

c′ = c - d
   = (5, -3) - (-1, 4)
   = (6, -7)
d + c′ = (-1, 4) + (6, -7)
        = (5, -3)

O′から(6, -7)進むとCへ着きます。古い位置を新しい原点からそのまま進めると、Cには着きません。

3. 和が1の係数を使う

p = 3(4, 1) - 2(-2, 5)
  = (12, 3) - (-4, 10)
  = (16, -7)
p′ = (16, -7) - (1, -2)
   = (15, -5)
a′ = (4, 1) - (1, -2)
   = (3, 3)
b′ = (-2, 5) - (1, -2)
   = (-3, 7)
3a′ - 2b′ = (9, 9) - (-6, 14)
           = (15, -5)

係数和は3 − 2 = 1です。d + p′ = (16, -7)となるので、両方の表示が元の点Pを示します。

4. 和が1でない表示を見直す

p = (1, 2) + (3, -1)
  = (4, 1)
p′ = (4, 1) - (2, 1)
   = (2, 0)
a′ = (1, 2) - (2, 1)
   = (-1, 1)
b′ = (3, -1) - (2, 1)
   = (1, -2)
a′ + b′ = (0, -1)

a′ + b′は(2, 0)と異なり、Pを表しません。O′の位置に正しいp′を足すと(4, 1)です。一方、a′ + b′を足すと(2, 0)となり、別の点に着きます。

5. 係数和から逆算する

t + (4 - 2t) = 1
4 - t = 1
t = 3
4 - 2t = -2

係数は3と-2で、和は1です。dは(0, 3)で零ではないので、この条件は必要です。実際に新しい表示を展開して十分性も確かめます。

3a′ - 2b′ = 3(a - d) - 2(b - d)
           = 3a - 2b - d
           = p - d
           = p′

よってt = 3です。点の座標が与えられていなくても、最後の等式は任意のa、bについて成り立ち、同じPに到達します。

持ち帰る3つの式

• 新しい位置はa′ = a − dです。
• ベクトルAB = b − a = b′ − a′です。
• 同じ係数で同じ点を表す条件は、任意の原点移動に対して係数の和が1であることです。

どの一歩で止まったかを見る

位置ベクトルの始点を尋ねてOと答えた後、新しい原点ではどこが始点かを図に指してみてください。矢印の終点が合わなければa′ = a − dを経路から作り直します。差の向きに迷うなら、求めた成分を始点に足して終点へ戻します。

個別指導で式を見直すときは、係数の和を書いてから、新旧それぞれの表示を展開し、差が何倍のdか説明します。dが零の例外も言葉にできれば、原点の移動による変化と、変わらない2点間の移動を区別できます。原点を選び直しても、2点を結ぶ矢印は同じです。