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高校数学II 二項係数の和—代入する値を選び偶数項と奇数項を分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 式と証明・複素数と方程式単元別

1と-1の代入で偶数次と奇数次の係数を分け、定数項との違いから二項係数の和に迫ります。

よくあるのは、高2の高校生が展開式の係数の和を求めるとき、定数項だけを答えてしまう場面です。定数項は文字を含まない1つの項ですが、係数の和は各次数の係数を足したものです。展開の途中で数字が大きくなっても、式に入れる値を選べば、必要な和をまとめて取り出せます。偶数次と奇数次を分けるときには、符号がどう変わるかを確かめましょう。

数学IIの範囲にある二項定理を使い、ここでは微分を使わずに係数の和を扱います。係数に次数そのものを掛けた和などは扱いません。

どの和を取り出すか

出方の1つは、展開式の係数をすべて足す問題です。たとえば P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² と書けば、求めるのは a₀ + a₁ + a₂ です。x = 1 を入れると各 x の累乗が1になるので、P(1) がその和になります。一方、x = 0 を入れて残るのは a₀ です。求める対象を先に言葉で書くと、代入値を選びやすくなります。

もう1つは、偶数次の係数の和と奇数次の係数の和を別々に求める問題です。x = -1 では偶数次の符号は変わらず、奇数次の符号が反転します。1と-1の2つの値から、和と差の関係を作ります。ここで「偶数項」を左から数えた第2項、第4項という意味で使う問題もあります。次数の偶奇とは数え方がずれることがあるため、問題文の定義を必ず読みます。

さらに、係数に交互に正負を付けた和を求める問題もあります。最初の符号が正なら P(-1) に対応しますが、最初の符号が負なら -P(-1) です。式を書き換えて最初の2項を照合すれば、全体の符号の取り違えを防げます。

代入が係数を集める理由

n を0以上の整数とし、P(x) を次の整式とします。途中の次数がない場合、その係数は0として扱います。

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙxⁿ
P(1) = a₀ + a₁ + a₂ + … + aₙ
P(0) = a₀
P(-1) = a₀ - a₁ + a₂ - … + (-1) の n 乗・aₙ

図1のように、同じ展開式でも代入する値によって残り方が異なります。定数項にも1は掛かっているので、係数の和に含めます。また0は偶数なので、定数項は偶数次の係数の和に入ります。

偶数次の係数の和を E、奇数次の係数の和を O と置くと、代入の結果は次の2本です。

E + O = P(1)
E - O = P(-1)
2E = P(1) + P(-1)
2O = P(1) - P(-1)
E = {P(1) + P(-1)}/2
O = {P(1) - P(-1)}/2

足すと奇数次が消え、引くと偶数次が消えます。割る2は同じグループが2回現れるためです。P(-1) が負になることもあるので、後の式では括弧を保って引きます。E と O を足して P(1)、引いて P(-1) に戻るか確かめると、連立の符号を点検できます。

二項定理では、n 個の因子 (1 + x) のそれぞれから x を k 回選ぶと、xᵏ の係数は組合せの数 nCk です。選べる k は 0 以上 n 以下の整数で、0C0 = 1 とします。したがって (1 + x)ⁿ の係数の和は、各 k の組合せの数の和です。n が正の整数なら x = -1 で0になるため、偶数次と奇数次の係数和は等しくなります。ただし n = 0 では (1 + x)⁰ = 1 であり、奇数次はありません。この端の場合を正の整数の場合と一緒に扱わないようにします。

基本例題：2つの代入値を使う

(1 + x)⁶ の展開式について、係数の総和、偶数次の係数の和、奇数次の係数の和をそれぞれ整数で求めます。定数項も答え、総和との違いを確認します。

6は正の整数です。展開式を P(x) とし、偶数次を E、奇数次を O と置きます。まず1と-1を代入します。

P(x) = (1 + x)⁶
P(1) = (1 + 1)⁶
     = 2⁶
     = 64
P(-1) = (1 - 1)⁶
      = 0

係数の総和は64です。図2のように、64は2つのグループの和であり、0はその差です。

E + O = 64
E - O = 0
2E = 64
E = 32
O = 64 - 32
  = 32

定数項は P(0) = 1⁶ = 1 です。答えは総和64、偶数次32、奇数次32、定数項1です。元の条件に戻すと、32 + 32 = 64、32 − 32 = 0 で、2つの代入値に一致します。

具体的にも (1 + x)⁶ の係数は低い次数から 1、6、15、20、15、6、1 です。偶数次は 1 + 15 + 15 + 1 = 32、奇数次は 6 + 20 + 6 = 32 となります。展開しても確かめられますが、次数が上がると書き落としが増えます。代入なら展開前の式から2つの値を計算し、最後に和と差に戻して点検できます。

標準例題：交互の符号と係数を区別する

(2 + x)⁵ = a₀ + a₁x + … + a₅x⁵ とします。a₀ + a₁ + … + a₅ と、a₀ − a₁ + a₂ − a₃ + a₄ − a₅ を整数で求め、その結果から偶数次と奇数次の係数の和を求めます。

前者は x = 1、後者は x = -1 の代入です。次数が5の奇数まであるので、最後の符号が負であることも一致します。

P(x) = (2 + x)⁵
P(1) = (2 + 1)⁵
     = 3⁵
     = 243
P(-1) = (2 - 1)⁵
      = 1
E + O = 243
E - O = 1
2E = 244
E = 122
O = 243 - 122
  = 121

答えは順に243、1、偶数次122、奇数次121です。122 + 121 = 243、122 − 121 = 1 と元の2つの和に戻ります。基本例題と異なり、-1を代入しても底が0にならないため、偶数次と奇数次が等しいとは限りません。等しくなるのは P(-1) = 0 のときです。

別の見方として、係数を低い次数から並べると 32、80、80、40、10、1 です。偶数次は 32 + 80 + 10 = 122、奇数次は 80 + 40 + 1 = 121 です。ここで第1項は定数項なので、左からの奇数番目が偶数次に当たります。順番が変わった式では項番号と次数の対応も改めて確認します。

発展例題：負の係数を含む和

(1 − 2x)⁵ の展開式を P(x) = b₀ + b₁x + … + b₅x⁵ とします。偶数次の係数の和 E と奇数次の係数の和 O を、符号を含めて整数で求めます。また、各係数の絶対値の和を整数で求めます。

まず、符号つきの係数の和を2つの代入で取り出します。奇数次の係数は負ですが、O はその負の値を含む和です。

P(1) = (1 - 2)⁵
     = -1
P(-1) = (1 + 2)⁵
      = 243
E + O = -1
E - O = 243
2E = 242
E = 121
O = -1 - 121
  = -122

答えは E = 121、O = -122 です。121 + (-122) = -1、121 − (-122) = 243 となり、元の式の1と-1への代入に戻ります。係数の和が負になっても、係数自体に負の数があるため矛盾しません。

絶対値の和を求めるには、各係数の符号を調べます。xᵏ の係数は、0 以上5以下の整数 k について 5Ck・(-2) の k 乗です。5Ck は正なので、偶数次は正、奇数次は負です。したがって奇数次の係数の符号を反転して足します。

絶対値の和 = E - O
           = 121 - (-122)
           = 243

これは P(-1) と一致します。ただし、絶対値の和がいつも P(-1) になるわけではありません。今回は偶数次が正、奇数次が負という符号の並びを先に確認したからです。たとえば係数の符号が途中で変わる別の整式では、各係数を調べずに同じ結論を使えません。

第何項で数える問題なら、二項定理の並べ方にも注意します。1から順に k = 0、1、2 と並べれば、第 k + 1 項の次数は k です。この並べ方では偶数次が奇数番目に対応します。逆順に並べれば対応が変わるので、単に「偶数項」と書かれているときは並べ方と意味を確認してから和を立てます。

誤答を直す：0と1の役割

(1 + x)⁶ の係数の総和を「x = 0 を代入して1」とする答えは誤りです。x = 0 にすると、x を含む項はすべて0になり、定数項しか残りません。係数を残したいなら、各 x の累乗を1にする x = 1 を選びます。図3のように、代入する前に「何を残すか」を書き出すと、2つの操作を区別できます。

もう1つの誤りは、E − O = -3 のような式で O を求めるとき、負号を落とすことです。たとえば E + O = 5 なら、2式を引いて 2O = 5 − (-3) = 8 です。O = 4、E = 1 となり、1 − 4 = -3 に戻ります。5 − 3 と計算すると元の差に戻りません。負の値を引く箇所は括弧で囲み、最後に差へ代入し直します。

また、(1 + x)⁰ でも偶数次と奇数次が半分ずつだとするのは誤りです。この式は定数1なので E = 1、O = 0 です。x = -1 を入れたときも0ではなく1となります。0乗の扱いを別に確かめ、正の整数の指数で使った結論の条件を見直します。

練習：まず5問を解く

各問で係数には符号を含め、答えは整数で書きます。偶数次には定数項を含めます。

(1 + x)⁷ の係数の総和と定数項を求めてください。
(1 + x)⁸ の偶数次と奇数次の係数の和をそれぞれ求めてください。
(3 + x)⁴ の偶数次と奇数次の係数の和をそれぞれ求めてください。
(2 − x)⁵ の係数の総和と、偶数次の係数の和から奇数次の係数の和を引いた値を求めてください。
(1 − 3x)⁴ の偶数次と奇数次の係数の和、および各係数の絶対値の和を求めてください。

練習の答えと解き方

P(x) = (1 + x)⁷ とすると、係数の総和は P(1)、定数項は P(0) です。

P(1) = 2⁷ = 128
P(0) = 1⁷ = 1

答えは総和128、定数項1です。7個の因子から x を選ぶ回数は0から7までです。各選び方を1で数えた合計が128で、0回選ぶ場合が定数項1という元の意味にも合います。

P(x) = (1 + x)⁸ とし、偶数次を E、奇数次を O とします。

P(1) = 2⁸ = 256
P(-1) = 0⁸ = 0
E + O = 256
E - O = 0
E = 128
O = 128

答えはそれぞれ128です。128 + 128 = 256、128 − 128 = 0 と2つの代入結果に戻ります。0回選ぶ定数項は E に入れています。

P(x) = (3 + x)⁴ とします。-1を代入した底は2であり、0ではありません。

P(1) = 4⁴ = 256
P(-1) = 2⁴ = 16
E + O = 256
E - O = 16
2E = 272
E = 136
O = 256 - 136
  = 120

答えは偶数次136、奇数次120です。136 + 120 = 256、136 − 120 = 16 なので、求めた和を問題の式に代入した値へ戻せます。

P(x) = (2 − x)⁵ とします。求める2つの値はそれぞれ P(1) と P(-1) です。

P(1) = (2 - 1)⁵
     = 1
P(-1) = (2 + 1)⁵
      = 243

答えは総和1、指定された差243です。実際に係数は 32、-80、80、-40、10、-1 なので、偶数次は122、奇数次は-121です。122 + (-121) = 1、122 − (-121) = 243 と元の係数の和でも確かめられます。

P(x) = (1 − 3x)⁴ とします。偶数次と奇数次を E、O と置きます。

P(1) = (-2)⁴ = 16
P(-1) = 4⁴ = 256
E + O = 16
E - O = 256
2E = 272
E = 136
O = 16 - 136
  = -120

偶数次は136、奇数次は-120です。k が0以上4以下の整数のとき、xᵏ の係数は 4Ck・(-3) の k 乗なので、偶数次は正、奇数次は負です。よって絶対値の和は 136 − (-120) = 256 です。136 + (-120) = 16、136 − (-120) = 256 と、元の2つの代入値にも一致します。