高校数学II 整式の割り算—欠けた次数を補い商と余りの関係式を作る｜武蔵野個別指導塾

欠けた次数を零で補う筆算から、余りの次数を確かめ、割る式と商の積に戻す道筋をたどります。

よくあるのは、高2の高校生が整式の筆算で、途中にない項の場所を詰めて書く場面です。例えば三次の項の次に一次の項があると、二次の列を空けずに引き算し、異なる次数どうしをまとめてしまいます。数字の筆算と似た形でも、列が表すのは位ではなく x の次数です。欠けた列に係数 0 を置けば、どの項を引くかが見えるようになります。ここでは一変数の整式の除法を扱い、商と余りから割られる式を逆算するところまで考えます。学習範囲には三次式の計算や整式の除法が含まれます。

問いの形を見分ける

整式の割り算には、まず割られる式と割る式が与えられ、商と余りを求める形があります。割られる式の最高次の項を、割る式の最高次の項で割って、商の最初の項を決めます。その項を割る式全体に掛けて引き、残った式に同じ操作を続けます。商を書いて終えるのではなく、余りの次数も答えの一部です。

次に、割る式と商と余りが与えられ、元の式を求める形があります。この場合は筆算を逆に進める必要はありません。「割る式・商 + 余り」を展開します。ただし、与えられた余りが本当に余りの条件を満たすか確かめます。二次式で割った余りに二次の項があれば、そのままでは余りと呼べません。

さらに、割られる式の一部が文字で示され、商や余りの情報からその文字を決める形もあります。関係式を展開し、同じ次数の係数を比べると、未知の数を求められます。このとき、求めた数を元の条件へ戻して確認すると、符号の取り違えに気づけます。

列と余りの条件を先に決める

0 でない整式 A を整式 B で割ると、商 Q と余り R を用いて A = BQ + R と表せます。割る式 B は 0 でない整式です。R が 0 でないとき、その次数は B の次数より低くなります。R = 0 のときは割り切れるといい、0 の次数を無理に決める必要はありません。B が定数であれば余りは 0 です。

例えば二次式で割るなら、余りは一次式または定数、あるいは 0 です。一次式で割るなら、余りは定数または 0 です。余りの次数が割る式以上なら、まだ商に加える項が残っています。図1のように、関係式と次数の条件を一組で覚えます。

図1の等式は、割る式と商の積に余りを加えて、割られる式を再現する関係です。余りの条件があるため、同じ式を別の商と余りに勝手に分けることはできません。実際、2組の商と余りがあるとすると、2つの余りの差は割る式と商の差の積です。商の差が 0 でなければ右辺の次数は割る式以上ですが、左辺は割る式より低い次数か 0 なので矛盾します。したがって商も余りも一致します。

筆算では、同じ次数を縦にそろえます。例えば x³ + 2x − 3 は x³ + 0x² + 2x − 3 と書けます。0x² は値を変えずに二次の列の位置を知らせます。引く式にも欠けた列があれば同じように補います。引き算では括弧全体の符号を変え、最後に同じ次数の項をまとめます。

なぜ操作を続けると次数が下がるか

割られる式の最高次の項を割る式の最高次の項で割って商の項を作ると、その商の項と割る式の積には、消したい項と同じ次数・同じ係数の項が現れます。これを引くため、最高次の項は消えます。残りの項を整理して新しい最高次を見つけ、同じ操作を続けます。各段階で次数が下がるので、やがて余りの次数が割る式より低くなるか、余りが 0 になります。

例えば割る式が 2x + 1 で、途中の最高次の項が 3x² なら、次に商へ置く項は (3/2)x です。係数が整数でなくても、最高次の項を消せることは変わりません。実際に (3/2)x(2x + 1) = 3x² + (3/2)x です。分数が出たからといって割り算が失敗したとは限らず、残りの項を正確に引きます。

余りが 0 になった場合には、それ以上の商の項はありません。途中の式が 0 でない場合は、割る式と比べる相手が商ではなく、いま残っている式の次数であることも大切です。割る式の項数や、余りの係数の大小では止めるかどうかを決めません。

基本例題：空いた二次の列を残す

問題：x³ + 2x − 3 を x − 2 で割った商と余りを、それぞれ整式で求めてください。

最初に x³ + 0x² + 2x − 3 と並べます。最高次の項 x³ を x で割ると x² なので、商の最初に x² を置きます。図2のように、掛けた式を同じ次数の列へ置いてから引きます。

x³ + 0x² + 2x - 3 - (x³ - 2x²)
= 2x² + 2x - 3
2x² + 2x - 3 - (2x² - 4x)
= 6x - 3
6x - 3 - (6x - 12)
= 9

最初の引き算で残った 2x² を x で割ると 2x です。次に 6x を x で割ると 6 です。余り 9 は定数で、割る式の一次より次数が低いので止めます。したがって商は x² + 2x + 6、余りは 9 です。

元へ戻すと次のようになります。掛けた結果と余りの和が、問題にある割られる式に一致します。

(x - 2)(x² + 2x + 6) + 9
= x³ + 2x² + 6x - 2x² - 4x - 12 + 9
= x³ + 2x - 3

もし最後の 9 を書き忘れると、元の定数項は -12 になります。割り切れたと思い込まず、最後に残った式と次数を読むことが必要です。商の各項は、その時点の最高次の項を消すために選んでいます。

標準例題：二次式で割るときの止めどころ

問題：2x³ − x² + 4 を x² + x − 1 で割った商と余りを整式で求めてください。

一次の列を補い、2x³ − x² + 0x + 4 と書きます。2x³ を x² で割り、商の初項を 2x とします。割る式の各項に 2x を掛け、全体を引きます。

2x³ - x² + 0x + 4 - (2x³ + 2x² - 2x)
= -3x² + 2x + 4

残った最高次の項 -3x² を x² で割ると -3 です。次も割る式全体に掛けて引きます。

-3x² + 2x + 4 - (-3x² - 3x + 3)
= 5x + 1

余りは一次式なので、二次式である割る式より次数が低くなりました。商は 2x − 3、余りは 5x + 1 です。一次の項が残っているからといって、さらに x² で割ろうとする必要はありません。

検算では逆に積と和を作ります。

(x² + x - 1)(2x - 3) + 5x + 1
= 2x³ - 3x² + 2x² - 3x - 2x + 3 + 5x + 1
= 2x³ - x² + 4

元の一次の係数が 0 に戻ることも確認できます。割る式に複数の項があるので、商の各項を最高次の項にしか掛けない誤りに注意します。引く前に積を別の括弧にまとめると、符号を点検しやすくなります。

発展例題：余りの条件から係数を逆算する

問題：整式 P(x) = x³ + ax² + bx + 5 を x² − 2x + 2 で割ると、商が x + 3、余りが 4x − 1 です。定数 a、b を求めてください。

割る式は二次式で、指定された余りは一次式ですから、余りの次数の条件を満たしています。関係式に与件を代入して展開します。

P(x) = (x² - 2x + 2)(x + 3) + 4x - 1
= x³ + 3x² - 2x² - 6x + 2x + 6 + 4x - 1
= x³ + x² + 5

問題の P(x) と同じ次数の係数を比べると、a = 1、b = 0 です。一次の項が見えなくなっても、その係数は 0 です。定数項も問題の 5 と一致します。

逆に a = 1、b = 0 を与えられた式へ戻すと P(x) = x³ + x² + 5 です。上の積と和がこの式に一致し、余りも二次未満ですから、指定された商と余りの条件を満たします。係数比較で一部の項が合うだけでは不十分で、未知数のない定数項も確認します。もし定数項が一致しなければ、比較から得た値を入れても条件を満たす式は存在しません。

筆算で確かめる方法もあります。x³ + x² + 0x + 5 から x(x² − 2x + 2) を引くと 3x² − 2x + 5 が残り、さらに 3(x² − 2x + 2) を引くと 4x − 1 です。この方法は商が与えられた条件と一致するか、操作をたどって確認したいときに使えます。一方、積と和に戻す方法なら、与えられた商と余りを直接使えます。

誤答の跡から直す場所を探す

基本例題で x³ + 2x − 3 から x³ − 2x² を引く際、「2x と -2x² が並んだので 4x」とする誤答を考えます。原因は二次の列を詰め、異なる次数の項を同じ列で扱うことです。図3のように 0x² を補えば、引く対象は 0x² と -2x² だと見えます。

図3の修正では、0x² − (-2x²) = 2x² です。2x は一次の列に残り、結果は 2x² + 2x − 3 となります。符号を直したつもりでも、次数が違う項をまとめていないか確認します。

もう一つの失敗は、括弧の先頭だけ符号を変えることです。標準例題の -3x² − 3x + 3 を引くとき、後ろの 2項にも引き算が及びます。括弧の前のマイナスを各項へ配り、+3x² + 3x − 3 としてからまとめます。計算途中で最高次が消えなければ、商の項か掛け算、引き算のいずれかをその場で調べます。最高次が消えても他の係数は間違うことがあるため、最後には元の式へ戻します。

練習：まず5問を解く

いずれも商と余りは整式で答え、係数を求める問題は数で答えてください。

1. x³ − 3x + 4 を x + 1 で割った商と余りを求めてください。
2. 2x³ + 3x² − 1 を x − 1 で割った商と余りを求めてください。
3. x³ + 3x² + 2 を x² + 1 で割った商と余りを求めてください。
4. 割る式が x² − x + 1、商が 2x + 1、余りが -3x + 2 のとき、割られる式を展開して求めてください。
5. P(x) = x³ + ax² + bx − 2 を x² + x + 1 で割ると、商が x − 2、余りが 3x です。a、b を求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 答えは商 x² − x − 2、余り 6 です。x² を立てて x³ + x² を引き、-x² − 3x + 4 を得ます。次に -x を立てて -x² − x を引くと -2x + 4、さらに -2 を立てて -2x − 2 を引くと 6 です。(x + 1)(x² − x − 2) + 6 = x³ − 3x + 4 となり、元の式に戻ります。余りは定数です。

2. 答えは商 2x² + 5x + 5、余り 4 です。欠けた一次の列を 0x とし、2x²、5x、5 の順に商へ置きます。順に引いた残りは 5x² + 0x − 1、5x − 1、4 です。(x − 1)(2x² + 5x + 5) + 4 = 2x³ + 3x² − 1 と戻せます。定数の余りは一次より低い次数です。

3. 答えは商 x + 3、余り -x − 1 です。x(x² + 1) を引くと 3x² − x + 2、3(x² + 1) を引くと -x − 1 です。(x² + 1)(x + 3) − x − 1 = x³ + 3x² + 2 です。余りは一次なので二次式で割る操作を終えます。

4. 答えは 2x³ − x² − 2x + 3 です。積を展開すると 2x³ − x² + x + 1 となり、余りを足すと答えになります。逆にこの答えから (x² − x + 1)(2x + 1) を引けば -3x + 2 です。余りの次数は割る式より低く、与えられた商と余りに戻ります。

5. 答えは a = -1、b = 2 です。関係式を展開します。

(x² + x + 1)(x - 2) + 3x
= x³ - 2x² + x² - 2x + x - 2 + 3x
= x³ - x² + 2x - 2

係数を比べると答えが得られます。元の P(x) に代入すると上の式と一致し、定数項も -2 です。余り 3x は二次より低い次数ですから、問題の条件へ戻せています。

手元に残す要点

• 欠けた次数に係数 0 を置き、同じ次数を縦にそろえます。
• 商の項を決めたら、割る式全体に掛けて引きます。
• 余りが 0 か、割る式より低い次数になったら止めます。
• 割る式・商 + 余りを展開し、元の式へ戻します。

つまずきを見分ける問い

途中式が合わないときは、「今消したい最高次の項はどれか」「その項を消すには商に何を置くか」と声に出してみてください。列を指しながら説明できれば、商の項を決める理由を点検できます。最高次が消えない場合は、積か引き算に戻ります。最高次は消えるのに答えが違う場合は、残りの列の符号を順に確かめます。

個別指導で確認するなら、書いた余りを指して「割る式より次数が低いか」と尋ね、さらに「割る式・商 + 余り」を生徒自身に展開してもらうと、止める判断と逆算の両方が見えます。途中の空欄を 0 の係数で埋める習慣が、整式の除法の道筋を支えます。