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高校数学C 内積と三角形の面積—長さとなす角を消去して面積を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 平面ベクトルを掘り下げる

二辺の長さと内積から面積を求める式を導き、根号の中が0や負になる条件を図形の成立と結び付けます。

よくあるのは、理系の高校生が二辺の長さと内積を使って高さに相当する量を出し、そのまま三角形の面積にしてしまう場面です。底辺と高さの積は、同じ二辺で作る平行四辺形の面積です。三角形なら最後に2で割ります。式を覚える前に、どの二辺を使い、どこで高さを作るのかを押さえましょう。

数字から何を選ぶか

面積の問いには、まず二辺の長さとその間の角が与えられる型があります。このときは底辺と高さから S = (1/2)ab sin θ と求められます。角の正弦を直接求められるなら、内積の式に移す必要はありません。

次に、二辺の長さと内積が与えられる型があります。内積から余弦を求め、sin² θ + cos² θ = 1 を使えば、角そのものを特定しなくても面積を出せます。余弦が負でも、三角形の高さは負になりません。正弦の符号を角の範囲から判断します。

もう一つは、二辺のベクトルが成分や別のベクトルの和で与えられる型です。長さの二乗と内積を先に計算して、同じ式に入れます。面積が0になる条件を尋ねられたときも、この式の根号の中を調べます。ただし0になったときは3点が一直線上にあり、通常の意味の三角形はできないことを答えに添えます。

二辺から高さを取り出す

点Aから点B、点Cへ向かうベクトルを、それぞれa（ベクトル）、b（ベクトル）とします。長さを |a|、|b| と書き、a・b は内積を表します。まず両方が零ベクトルでないとします。このとき、なす角 θ は 0 ≦ θ ≦ π の範囲に定まります。

図1のようにABを底辺と見ると、Cから直線ABまでの高さは |b| sin θ です。鈍角のとき垂線の足は辺の延長上に移りますが、高さは直線までの距離なので同じ式を使えます。θ が0またはπなら高さは0です。

図1では、高さを示す線が底辺と垂直です。三角形の面積をSとすると、底辺と高さの積の半分です。

S = (1/2)|a||b| sin θ
 a・b = |a||b| cos θ
cos θ = (a・b)/(|a||b|)
sin² θ = 1 - (a・b)²/(|a|²|b|²)

0 ≦ θ ≦ π では sin θ ≧ 0 です。したがって二乗から戻すときは非負の平方根を選びます。θが0またはπなら、その値は0です。各長さが正であることに注意して整理します。

sin θ = √(1 - (a・b)²/(|a|²|b|²))
S = (1/2)√(|a|²|b|² - (a・b)²)

これが内積による面積の式です。根号の中は |a|²|b|² sin² θ と等しいので、実際のベクトルから得た値なら負になりません。もし負になったら、内積や長さの二乗の計算、または与えられた条件が両立するかを見直します。根号の中を絶対値で強引に正にしてはいけません。

片方が零ベクトルなら、上の余弦の割り算は使えません。その場合は2点が重なり、面積は0です。面積の式の右辺も0になるため、式自体は零ベクトルを含めて使えますが、導出では別に扱います。両方が非零のとき、面積0は sin θ = 0、つまり同方向か逆方向であることと同値です。

与えられた値が図を作れるか

長さが正の2本に対して、内積を長さの積で割った値は余弦です。したがって、その値が -1 から1までに入っていることが必要です。両端の値なら二辺は同じ直線上にあり、面積は0です。範囲の内側なら高さは正となります。この判定を先に行えば、根号の中が負になったときに計算ミスと条件の矛盾を切り分けられます。

例えば長さがそれぞれ2と4で内積が9という条件は、長さの積が8なので成立しません。角の余弦が 9/8 となり、取りうる範囲を超えるからです。一方、内積が -8 なら逆向きに並ぶ配置があり、面積は0です。値が負であることと、配置が不可能であることは別の判断です。

基本例題：長さと内積から面積へ

Aを共通の始点とするベクトル a、b について |a| = 5、|b| = 4、a・b = 12 とします。三角形ABCの面積を整数で求めてください。ただし a はベクトル AB、b はベクトル AC です。

図2のように、ABの方向にACを分けて高さを考えます。両辺の長さは正で、内積から cos θ = 12/20 = 3/5 です。これは -1 以上1以下なので、与えられた値は角の条件と矛盾しません。

面積の式に入れると、次のようになります。

|a|² = 25
|b|² = 16
(a・b)² = 144
S = (1/2)√(25・16 - 144)
  = (1/2)√256
  = 8

答えは8です。図2のようにABを底辺とすると、cos θ = 3/5、sin θ = 4/5 です。高さは 4・(4/5) = 16/5 なので、別の方法でも S = (1/2)・5・(16/5) = 8 と戻せます。高さと底辺の積は16であり、それを面積とする誤りを避けられます。

条件への確認として、Aを(0, 0)、Bを(5, 0)、Cを(12/5, 16/5)と置けます。ACの長さの二乗は 144/25 + 256/25 = 16、内積は 5・(12/5) = 12 です。求めた面積を作る配置が、元の長さと内積を確かに満たします。

標準例題：成分から必要な3つの数を作る

A(1, 2)、B(5, 3)、C(2, 5)とします。三角形ABCの面積を分数または整数で求めてください。座標の点をそのまま内積に入れるのではなく、同じ始点Aからの二辺を作ります。

a = ベクトル AB = (5 - 1, 3 - 2) = (4, 1)
b = ベクトル AC = (2 - 1, 5 - 2) = (1, 3)
|a|² = 4² + 1² = 17
|b|² = 1² + 3² = 10
a・b = 4・1 + 1・3 = 7

両方の長さの二乗は正です。内積を使う面積の式に入れて、根号の中を先に計算します。

S = (1/2)√(17・10 - 7²)
  = (1/2)√121
  = 11/2

答えは 11/2 です。座標を使う別の確認として、ABの長さは √17 です。ACをAB方向に射影した長さは 7/√17、高さの二乗は 10 − 49/17 = 121/17 です。高さは正なので 11/√17 となり、底辺と高さの積の半分は再び 11/2 です。

この手順は、角度を求める途中で三角比の表を使わずに済みます。ただし、内積7は面積ではありません。内積は二辺の向きの重なりを表す量で、高さはその重なりを長さの二乗から取り除いて得ます。共通の始点を別の頂点に変えるなら、二辺を両方ともその頂点から取り直します。

発展例題：面積0と指定値を分ける

A(0, 0)、B(2, 1)、C(t, 3)とします。tは実数です。三角形ABCの面積が3となるtをすべて求め、面積が0となるtも求めてください。答えは分数または整数で表します。

まず二辺と、その長さの二乗、内積を求めます。ABは零ベクトルではありませんが、tによっては3点が一直線上に並びます。その場合も式の値は0として扱えます。

a = ベクトル AB = (2, 1)
b = ベクトル AC = (t, 3)
|a|² = 5
|b|² = t² + 9
a・b = 2t + 3
|a|²|b|² - (a・b)² = 5(t² + 9) - (2t + 3)²
                              = t² - 12t + 36
                              = (t - 6)²
S = (1/2)√((t - 6)²)
  = (1/2)|t - 6|

平方根は0以上ですから、√((t − 6)²) を t − 6 とそのまま置くことはできません。S = 3 のとき、絶対値を外すために二つの場合に分けます。

|t - 6| = 6
t - 6 = 6 または t - 6 = -6
t = 12 または t = 0

面積0は |t − 6| = 0 から t = 6 です。t = 6 ではベクトル AC = (6, 3) = 3(2, 1) なので、A、B、Cは一直線上です。非零の二辺が平行でも、面積を正の値として扱わないようにします。

元の条件にも戻します。t = 0 では AC = (0, 3)、内積は3、長さの二乗は9です。面積の式の根号の中は 5・9 − 3² = 36 です。t = 12 では AC = (12, 3)、内積は27、長さの二乗は153で、根号の中は 5・153 − 27² = 36 です。どちらも面積は3となります。別にAB方向の単位ベクトルを (2/√5, 1/√5) とすると、各場合の高さは 6/√5 で、底辺 √5 との積の半分も3です。

間違えた面積を図で直す

図3のように、底辺6、高さ4の三角形を考えます。「6・4 = 24だから面積は24」とした解答は、底辺と高さの積を求めたところで止まっています。二つの合同な三角形を合わせた平行四辺形の面積が24です。

図3の色のついた三角形は平行四辺形の半分です。正しくは S = (1/2)・6・4 = 12 です。内積の式でも、根号の値が底辺と高さの積に当たるため、最後の (1/2) を落とせません。

別の誤りは、内積が負なら面積も負とすることです。内積の符号は角が鈍角かどうかに関係しますが、面積は距離の積の半分なので負にはなりません。また、根号の中が負なら「面積が負」と読むのではなく、与えられた長さと内積の両立や計算を検査します。零ベクトルでは角を定められないことも、式を使う前に分けます。

自分で確かめる5問

各問の答えは分数または整数で表してください。a、b はそれぞれ共通の始点から出る二辺のベクトルとします。

|a| = 3、|b| = 5、a・b = 9 のとき、面積を求めてください。
a = (3, 0)、b = (2, 4) のとき、面積を求めてください。
|a| = 2、|b| = 7、a・b = -14 のとき、面積と二辺の向きの関係を求めてください。
a = (1, 2)、b = (4, k) のとき、面積が2となる実数kをすべて求めてください。
|a| = 2、|b| = 3、a・b = 7 という条件を満たす二つの平面ベクトルが存在するか答えてください。

5問の解き方

長さはともに正です。まず根号の中を計算します。

S = (1/2)√(3²・5² - 9²)
  = (1/2)√144
  = 6

答えは6です。cos θ = 9/15 = 3/5、sin θ = 4/5 なので、高さを 5・(4/5) = 4 としても (1/2)・3・4 = 6 です。長さ3と5、内積9に戻る配置は、a = (3, 0)、b = (3, 4) で確かめられます。

成分から長さと内積を作ります。

|a|² = 9
|b|² = 20
a・b = 6
S = (1/2)√(9・20 - 6²)
  = (1/2)√144
  = 6

答えは6です。元の成分ではaが横向きで、bの高さは4です。底辺3、高さ4に戻しても面積は6です。

非零の二辺について計算します。

S = (1/2)√(2²・7² - (-14)²)
  = (1/2)√0
  = 0
cos θ = -14/(2・7)
      = -1
θ = π

答えは面積0、二辺は逆向きです。例えば a = (2, 0)、b = (-7, 0) とすれば、両方の長さと内積が元の条件に戻り、3点は一直線上です。

kを含んだまま式を作ります。

|a|² = 5
|b|² = 16 + k²
a・b = 4 + 2k
S = (1/2)√(5(16 + k²) - (4 + 2k)²)
  = (1/2)√((k - 8)²)
  = (1/2)|k - 8|
|k - 8| = 4
k - 8 = 4 または k - 8 = -4
k = 12 または k = 4

元のベクトルに戻すと、k = 12では長さの二乗が160、内積が28で、根号の中は 5・160 − 28² = 16 です。k = 4では長さの二乗が32、内積が12で、根号の中は 5・32 − 12² = 16 です。どちらも面積は2です。別にaに垂直な方向の成分を考えると、高さはどちらも 4/√5、底辺は √5 です。