高校数学C ベクトルの大きさの展開—和と差の長さから内積を逆に求める｜武蔵野個別指導塾

和と差の長さを二乗して内積を逆算し、平行四辺形の対角線の条件が実現するかも確かめられます。

よくあるのは、理系の高校生が2本のベクトルの和の大きさを、それぞれの大きさの和にしてしまう場面です。矢印をつなげば道のりは足せますが、和の大きさは出発点から到着点までの距離です。曲がる方向によって、その距離は変わります。向きの情報を内積として残し、長さの二乗を展開するところから考えます。

どの量を残して計算するか

問題の出方には、まず2本の長さと内積から和や差の長さを求める型があります。長さ自体を足す前に、和の内積を分配法則で展開します。結果は長さの二乗ですから、最後に非負の平方根を選びます。

次は和または差の長さを手がかりに、未知の内積を求める型です。展開式を内積について解けば、向きの情報が数値として戻ります。さらに和と差の両方が与えられると、その二乗の差から内積が直接求まります。

もう一つは平行四辺形の辺と対角線の関係を使う型です。対角線の長さの二乗を足すと内積の項が消えます。与えられた長さが実際のベクトルに対応するか、負の二乗や矛盾する条件が出ないかも確かめます。

二乗にすると見える向きの情報

a、bを平面のベクトルとします。|a|、|b|はそれぞれの大きさであり、非負の数です。a・bは内積という数で、ベクトルではありません。内積の分配法則と交換法則、およびa・a = |a|²から、次の式を得ます。

|a + b|² = (a + b)・(a + b)
          = a・a + a・b + b・a + b・b
          = |a|² + 2a・b + |b|²
|a - b|² = (a - b)・(a - b)
          = |a|² - 2a・b + |b|²

両式を足すと内積が消え、引くと各ベクトルの長さの二乗が消えます。この操作が、対角線の関係と内積の復元を生みます。

|a + b|² + |a - b|² = 2|a|² + 2|b|²
|a + b|² - |a - b|² = 4a・b

図1のように、同じ始点Oからa、bを辺として平行四辺形を作ると、Oから反対側の頂点への対角線はa + bです。もう一方の対角線は向きを選べばa − bです。向きを逆にしても大きさは変わりません。2本の対角線の二乗の和が、4辺の長さの二乗の和に等しいことを式は表します。

図1の対角線には異なる符号の内積が現れます。a・bが正なら和の二乗は辺の二乗の和より大きく、差の二乗は小さくなります。負なら逆です。内積が0なら両者の二乗は等しくなります。

これらの展開式は零ベクトルを含んでも成り立ちます。一方、なす角を内積から求める際には両方が非零である必要があります。図がつぶれた場合にも式は使えますが、図から角度を読み取ろうとしないことが条件の区別です。

逆算の前に確認すること

和の長さと2本の長さが与えられた場合、内積は「和の二乗から各長さの二乗を引き、2で割る」ことで求まります。差の場合は引く順序が逆です。公式を暗記するときも、もとの展開式に戻して符号を確かめると、両者を取り違えにくくなります。

a・b = (|a + b|² - |a|² - |b|²)/2
a・b = (|a|² + |b|² - |a - b|²)/2

一方、両方の対角線の長さしか与えられない場合、内積は求まっても辺の長さをそれぞれ決められるとは限りません。二乗の和からわかるのは2本の辺の長さの二乗の和です。何が決まり、何がまだ残っているかを式の数と未知の量で見分けます。

例えば和と差の長さが等しければ、二乗の差は0なので内積は0です。両方が非零なら垂直ですが、どちらかが零の場合は角度を定められません。式の結論と角度に関する結論の条件を分けておきます。

基本例題：和の長さを内積から出す

ベクトルa、bについて、|a| = 3、|b| = 4、a・b = 6とします。|a + b|と|a − b|を根号を用いて求めてください。

図2のように、長さをそのまま足さず、まず二乗にします。与えられた内積は正なので、和の二乗が差の二乗より大きくなるはずです。

|a + b|² = |a|² + 2a・b + |b|²
          = 3² + 2・6 + 4²
          = 37
|a - b|² = |a|² - 2a・b + |b|²
          = 3² - 2・6 + 4²
          = 13

大きさは非負ですから、答えは|a + b| = √37、|a − b| = √13です。二乗の値37と13を足すと50で、2・3² + 2・4²とも一致します。差は24で、4a・b = 24にも戻ります。

図2の数値が実際に作れることも確かめます。a = (3, 0)、b = (2, 2√3)と置くと、bの長さの二乗は4 + 12 = 16、内積は6です。和は(5, 2√3)、差は(1, -2√3)なので、それぞれの成分の二乗和は37、13です。図の形はこの組に対応します。

標準例題：差の長さから内積を戻す

ベクトルp、qについて、|p| = 5、|q| = 6、|p − q| = 7とします。p・qを整数で、|p + q|を根号を用いて求めてください。

差の長さが与えられているので、差の二乗の式を先に使います。和の長さを直接推測する必要はありません。p・qを文字のまま残してから移項します。

|p - q|² = |p|² - 2p・q + |q|²
7² = 5² - 2p・q + 6²
49 = 61 - 2p・q
2p・q = 12
p・q = 6
|p + q|² = 5² + 2・6 + 6²
            = 73
|p + q| = √73

答えはp・q = 6、|p + q| = √73です。差の式に戻すと25 − 12 + 36 = 49です。和と差の二乗の和も73 + 49 = 122で、2・25 + 2・36と一致します。√73は正なので二乗して73になることも確認できます。

存在も成分で点検できます。p = (5, 0)、q = (6/5, 12√6/5)なら、qの長さの二乗は36/25 + 864/25 = 36、内積は6です。差の成分は(19/5, -12√6/5)で、その二乗和は49です。未知数を含む式が解けても元の条件に戻ることまで見れば、計算と条件の取り違えを区別できます。

発展例題：対角線から辺の条件を吟味する

平行四辺形の隣り合う2辺を表すベクトルu、vについて、|u| = 2、|v| = tとします。tは非負です。2本の対角線の長さがそれぞれ3と5であるとき、tとu・vを求めてください。内積は、長い対角線がu + vの場合とu − vの場合に分け、根号または整数で答えてください。

対角線の長さの二乗の和は、どちらを和と呼ぶかによらず一定です。まず辺の長さを決め、その後に二乗の差で内積を求めます。順番を逆にすると、符号の違う2通りを見落としがちです。

|u + v|² + |u - v|² = 2|u|² + 2|v|²
3² + 5² = 2・2² + 2t²
34 = 8 + 2t²
2t² = 26
t² = 13
t = √13

tは大きさなので負の平方根は選びません。長い対角線がu + vなら、二乗の差は25 − 9です。

4u・v = |u + v|² - |u - v|²
       = 25 - 9
       = 16
u・v = 4

長い対角線がu − vなら、同じ差は9 − 25です。

4u・v = 9 - 25
       = -16
u・v = -4

答えはt = √13で、内積は順に4、-4です。逆に代入すると、内積が4のとき和の二乗は4 + 8 + 13 = 25、差の二乗は4 − 8 + 13 = 9です。内積が-4ならこの2つが入れ替わります。したがって、求めた値は対角線の指定を満たします。

存在の確認としてu = (2, 0)、v = (2, 3)を取ると、辺の長さは2と√13、和と差の長さは5と3です。vを(-2, 3)に変えれば内積は-4となり、和と差の長さが入れ替わります。どちらも平行でない2辺なので、つぶれない平行四辺形が作れます。

もし対角線の条件からt²が負になれば、非負の実数tは存在しません。また、t²が非負でも、それだけで指定された内積を持つ2本が存在すると決められません。例えば成分を具体的に作って元の長さと内積を満たすか確認することで、計算上の候補と実現できる答えを区別できます。

誤答をほどく：長さを先に足してしまう

|a| = 3、|b| = 4、a・b = 6の基本例題で、|a + b| = 3 + 4 = 7とするのは誤りです。図3のように、3と4は折れ線の2辺の長さです。和の大きさはその両端を結ぶ長さであり、同じ道筋とは限りません。

図3では和の二乗は37なので、和の大きさは√37です。7とすると二乗が49となり、展開から得た37と合いません。誤りの原因は、向きの情報を落としたまま長さの和に置き換えたことです。

修正するときは、式の左辺をまず|a + b|²と書き、右辺に2a・bを残します。差の場合はその項が負になる点も確かめます。2本が同じ向きを向く場合には長さの和と一致しますが、数値だけで同じ向きと決めることはできません。

練習：式の行き先を選ぶ5問

各問のベクトルは平面上にあります。長さは非負として扱い、根号を用いる場合は正の値を答えてください。

1. |a| = 2、|b| = 3、a・b = -1のとき、|a + b|と|a − b|を根号で求めてください。
2. |c| = 4、|d| = 5、|c + d| = 7のとき、c・dを整数で求めてください。
3. |e + f| = 6、|e − f| = 2のとき、e・fを整数で求めてください。
4. |g| = 1、|h| = 2、|g + h| = 2のとき、|g − h|を根号で求めてください。
5. |j| = 1、|k| = 1、|j + k| = 3という条件を満たすベクトルが存在するか答えてください。

練習の解答と確かめ

1. 和と差の式へ、負の内積を符号ごと代入します。

|a + b|² = 2² + 2・(-1) + 3²
          = 11
|a - b|² = 2² - 2・(-1) + 3²
          = 15
|a + b| = √11、|a - b| = √15

二乗の和は26で、辺の二乗の和の2倍に戻ります。実際にa = (2, 0)、b = (-1/2, √35/2)とすれば、長さと内積は指定どおりで、和と差の成分の二乗和も11、15です。

2. 和の二乗から内積の項を取り出します。

7² = 4² + 2c・d + 5²
49 = 41 + 2c・d
2c・d = 8
c・d = 4

16 + 2・4 + 25 = 49なので元の和の長さに戻ります。c = (4, 0)、d = (1, 2√6)なら長さはそれぞれ4、5で、和の成分(5, 2√6)の二乗和も49です。

3. 2本の二乗の差を使うと、それぞれの長さは不要です。

4e・f = |e + f|² - |e - f|²
       = 6² - 2²
       = 32
e・f = 8

逆にe = (4, 0)、f = (2, 0)と取ると、和と差の長さは6と2、内積は8です。平行な場合にも式は成立します。

4. 和と差の二乗の和を使います。

|g - h|² = 2|g|² + 2|h|² - |g + h|²
          = 2・1² + 2・2² - 2²
          = 6
|g - h| = √6

和の式からg・h = -1/2です。g = (1, 0)、h = (-1/2, √15/2)とすれば、与えた辺の長さと和の長さを満たし、差の二乗も6となります。

5. 対角線の二乗の和を使うと、存在すると仮定した場合に次を得ます。

|j - k|² = 2・1² + 2・1² - 3²
          = -5

大きさの二乗は負にならないため矛盾します。したがって条件を満たすベクトルは存在しません。負の数の平方根を長さとして採用せず、元の条件が成立しないと判断します。

手元に残す式

和の二乗には内積の2倍を足し、差の二乗には引きます。
和と差の二乗の和は、2本の長さの二乗の和の2倍です。
和と差の二乗の差は、内積の4倍です。
長さを求めるときは非負の平方根を選びます。
候補を元の長さと内積へ戻し、存在も確かめます。

どの行で迷ったかを見分ける

展開前に|a + b| = |a| + |b|と書いたなら、折れ線の道のりと両端の距離を図で指し分けます。展開後に符号が逆になったなら、(a − b)・(a − b)の4項を一つずつ書き、負の項が2つあることを確かめます。

個別に式を説明するときは、和と差の二乗を足すと何が消え、引くと何が残るかを声に出してみてください。最後に得た長さを二乗して元の条件に戻せれば、平方根の符号と内積の符号を別々に点検できます。向きの違いは、内積の項に現れます。