高校数学C ベクトルの実数倍—負の係数と零を含めて平行になる条件を整理する｜武蔵野個別指導塾

負の実数倍で変わる向きと長さを区別し、零の場合を分けながら平行条件を式に直せます。

よくあるのは、理系の高校生が負の実数倍を描くとき、矢印の長さは変えても向きはそのままにする場面です。係数の絶対値は長さに、符号は向きに関わります。さらに係数が0なら矢印は消え、向きを持たない零ベクトルになります。この違いを押さえると、計算で得た式が図の条件と一致するかまで調べられます。

係数から何を読むか

出方の1つは、与えられた矢印を実数倍して向きと長さを描く問題です。正なら同じ向き、負なら逆向きという判定を、長さの計算と分けて行います。係数が0の場合には、向きを答えようとせず零ベクトルとします。

もう1つは、和や差を実数倍して式を整理する問題です。括弧の前の負号を各項に配るとき、実数の分配法則と同じように扱えます。ただし、ベクトルの等式を実数の等式に直すには、使っているベクトルが平行でないなどの根拠が必要です。

さらに、2つのベクトルが平行になるように文字を決める問題があります。零でない基準ベクトルを先に選び、もう一方がその実数倍と表せるかを調べます。条件が文字によって零に変わる場合には、その値を別に確かめます。

実数倍の定義と平行の条件

以下、a、bなどはベクトルとし、零ベクトルを0と書きます。実数kに対して、aが零でなくkが正なら、kaはaと同じ向きで長さがk|a|のベクトルです。kが負なら逆向きで、長さは(-k)|a|です。まとめると長さは|k||a|です。kが0、またはaが0ならkaは0です。零ベクトルには向きがありません。

図1のように、始点を縦にそろえてa、2a、-aを描けば、倍率と向きの違いが見えます。0aは始点に重なる点で表し、向きのある矢印として描きません。

図1では2aはaの2倍の長さで同じ向き、-aは同じ長さで逆向きです。長さの倍率は符号を含まないため、-aの長さが負になることはありません。

実数s、tとベクトルa、bに対して、次の分配法則が成り立ちます。

s(a + b) = sa + sb
(s + t)a = sa + ta
s(ta) = (st)a

例えば-2(a − b)は-2a + 2bです。後ろの項も-2倍するため、符号が正に変わります。成分で見れば、各成分に同じ実数を掛ける操作なので、実数の分配法則からも確かめられます。

平行については、aが0でないとき、bがaの実数倍であることと、bがaに平行であることを対応させます。ここでは0も任意のベクトルに平行と扱います。つまりb = kaを満たす実数kがあれば、k = 0も含めて平行です。一方、基準aが0なら、kaはどのkでも0です。bが0でない場合を表せないので、基準が非零であるという条件を外せません。教科書や問題で零ベクトルを平行に含めない約束なら、両方が非零であることも確認します。

成分でa = (p, q)、b = (r, s)とすると、b = kaはr = kp、s = kqを意味します。pやqが0の場合、一律に割ることはできません。0でない成分からkを求め、残りの成分にも代入する方法なら安全です。

平行を成分で調べるときには、積の等式ps = qrも便利です。a = (p, q)が非零で、b = (r, s)とします。b = kaならr = kp、s = kqなのでps = qrです。逆にps = qrなら、pが非零のときk = r/pと置けます。等式からs = kqとなり、b = kaです。pが0のときはqが非零で、等式からr = 0です。この場合はk = s/qとすればやはりb = kaです。

この確認ではpとqを同時に0にしないことが重要です。両方が0なら積の等式はbに関係なく成立し、実数倍を表す条件にはなりません。また積の等式は向きの正負を直接示さないため、同じ向きか逆向きかが必要なら、非零成分からkを求め直します。零を除く平行を求める問題では、積の等式に加えてbの非零も必要です。

基本例題：逆向きの矢印を描く

a = (2, 1)とします。b = -2a、c = (1/2)aの成分を求め、それぞれのaに対する向きと長さの倍率を答えてください。

図2のように、各矢印の始点をそろえると、負の係数による反転を読み取れます。図の横と縦の移動量は、問題の成分に対応します。

各成分に係数を掛けます。

b = -2(2, 1)
b = (-4, -2)
c = (1/2)(2, 1)
c = (1, 1/2)

bは係数が負なのでaと逆向きで、長さは2倍です。cは係数が正なので同じ向きで、長さは1/2倍です。図2でもbの終点はaと反対側にあります。

元の条件に戻して、bの各成分がaの各成分の-2倍、cの各成分が1/2倍であることを確かめます。別に長さの二乗を見ると、|a|² = 5、|b|² = 20、|c|² = 5/4です。いずれも非負なので、長さの比はそれぞれ2と1/2です。符号は長さの比からは得られないため、向きの判定は係数に戻って行います。

標準例題：分配して係数を比べる

a = (1, 0)、b = (0, 1)とします。2(xa − b) − 3(a + yb) = a + 5bを満たす実数x、yを求めてください。

aとbは平行でなく、それぞれ横と縦の成分を担います。そのため両辺のaの係数とbの係数を比較できます。先に括弧を外し、負号を各項へ配ります。

2xa - 2b - 3a - 3yb = a + 5b
(2x - 3)a + (-2 - 3y)b = a + 5b
2x - 3 = 1
2x = 4
x = 2
-2 - 3y = 5
-3y = 7
y = -7/3

求めた値を元の左辺に戻します。

2(2a - b) - 3(a - (7/3)b)
= 4a - 2b - 3a + 7b
= a + 5b

右辺に一致します。成分でも左辺は(1, 5)となり、右辺の(1, 5)と同じです。もしaとbが平行なら、異なる係数の組が同じベクトルを表す場合があり、係数を別々に比べることはできません。たとえばb = aならa + b = 2aですが、aとbの係数をそのまま比べれば誤った等式が生じます。

発展例題：零になる場合を残して調べる

実数tに対し、a = (t − 1, 2)、b = (3, t + 1)とします。bがaに平行となるtをすべて求め、対応する実数倍の係数も答えてください。零ベクトルは平行に含めます。

まずaの第2成分は常に2なので、aはどのtでも0ではありません。よってb = kaと置いてよく、係数kを使って2つの成分を比べます。

3 = k(t - 1)
t + 1 = 2k
k = (t + 1)/2
3 = (t + 1)(t - 1)/2
6 = t² - 1
t² = 7
t = √7 または t = -√7

ここではt − 1で割らず、第2成分の2で割りました。2は0でないので、途中で候補を落としません。得られた係数は順に(√7 + 1)/2、(1 − √7)/2です。前者は正、後者は負なので、それぞれ同じ向き、逆向きです。

逆に、この2つが元の条件を満たすかも確かめます。どちらもt² = 7なので、k = (t + 1)/2とおけばk(t − 1) = (t² − 1)/2 = 3、また2k = t + 1です。したがって両成分が一致し、b = kaが実際に成り立ちます。必要な条件から候補を得るだけでなく、候補が十分であることまで確認できました。

零の扱いも見ます。bの第1成分は3なのでbは0になりません。aも非零なので、この例では零を平行に含めるかどうかで答えは変わりません。もしbが0になる候補があれば、約束に従いk = 0を認めるか判定します。

誤答を矢印と式から直す

aを右向きの非零ベクトルとし、b = -3aとします。「bはaと同じ向きで長さが3倍」とする答えは、長さは正しいものの向きが誤りです。負号が表す反転を落としています。

図3のように、正しいbは左向きです。始点の位置を縦にそろえて比べると、長さが3倍であることと向きが逆であることを別々に読めます。

図3の誤った矢印は3aを表しています。これをb = -3aに直すには、長さを保ったまま向きを反転します。式でも-3a + 3a = 0となることが確認できます。

別の失敗は、0 = kaからk = 0を導くとき、aが非零であることを見落とすことです。aが非零なら|ka| = |k||a| = 0からk = 0です。しかしa = 0なら任意のkで等式が成立します。割る前に基準が零でないかを書くと、この例外を取りこぼしません。

成分の比を取るときも失敗の仕方を想像できます。例えば基準の横成分が0なら、横成分どうしの比は定義できません。この場合、まず縦成分が非零であることを確認して係数を決め、横成分が0になるか検査します。両方の成分を比で割る手順より、等式に代入する手順の方が、0を含む場合まで扱えます。

図だけで平行らしく見えても、作図の誤差から厳密な平行とは結論できません。図は符号や向きを予想する手掛かりにして、最後は成分の等式を確かめます。反対に式から得た係数の符号が図と食い違うときは、引き算や実数倍の符号を再点検します。

手を動かして確かめる5問

成分や係数は整数、既約分数、または根号を含む正確な形で答えてください。零ベクトルは平行に含めます。

1. u = (-3, 2)のとき、v = -2uの成分と、uに対する向きおよび長さの倍率を求めてください。
2. u = (4, -2)、v = (1, 3)のとき、3u − 2(u − v)の成分を求めてください。
3. u = (0, -5)、v = (0, 15)について、v = kuとなる実数kを求めてください。
4. u = (2, 1)、v = (1, -1)のとき、xu + yv = (7, 1)を満たす実数x、yを求めてください。
5. u = (m, 2)、v = (6, m)が平行となる実数mと、それぞれのv = kuの係数kを求めてください。

答えと途中の考え方

1. 各成分を-2倍します。

v = -2(-3, 2)
v = (6, -4)

負の係数なので逆向き、長さは2倍です。元の成分に戻すと6 = -2・(-3)、-4 = -2・2です。長さの二乗は13と52であり、倍率2とも一致します。

2. まず分配法則で整理します。

3u - 2(u - v)
= 3u - 2u + 2v
= u + 2v
= (4, -2) + (2, 6)
= (6, 4)

元の形から計算してもu − v = (3, -5)、3u = (12, -6)なので、(12, -6) − (6, -10) = (6, 4)です。負号を配った結果が一致します。

3. uは第2成分が-5なので非零です。第2成分から係数を決め、第1成分に戻します。

15 = -5k
k = -3
-3(0, -5) = (0, 15)

第1成分は0のまま一致します。第1成分の0で割ろうとせず、非零の成分を選ぶことが要点です。

4. 成分ごとに等式を作ります。

2x + y = 7
x - y = 1
3x = 8
x = 8/3
y = 5/3

元の式へ戻すと、(8/3)(2, 1) + (5/3)(1, -1) = (21/3, 3/3) = (7, 1)です。2つのベクトルは互いの実数倍ではないので、成分の連立から係数が定まります。

5. uの第2成分は2なので、どのmでもuは非零です。v = kuとして成分を比較します。

6 = km
m = 2k
k = m/2
6 = m²/2
m² = 12
m = 2√3 または m = -2√3

それぞれk = √3、k = -√3です。どちらもkm = m²/2 = 6、2k = mとなるため、元の2成分を満たします。第1成分を使う際にmで割らなかったので、m = 0を無断で除外していません。実際にm = 0ではu = (0, 2)、v = (6, 0)であり平行ではありません。

覚えておくこと

• 非零ベクトルの正の実数倍は同じ向き、負の実数倍は逆向きです。
• 長さは係数の絶対値倍で、0倍は零ベクトルです。
• 分配法則では括弧内の各項に係数を掛けます。
• 実数倍で平行を調べるときは基準ベクトルが非零か確認します。
• 零を平行に含めるかは問題の約束に合わせます。

つまずきを見分けるには

答えの符号だけが合わないときは、分配前の式に戻り、各項に掛かる数を書き出します。図が合わないときは、係数の符号による向きと絶対値による長さを別に言葉にします。個別指導で式を確かめる場面なら、まず基準が零でない理由を説明し、次に実数倍の各成分を元の条件へ戻してもらうと、計算と条件のどちらで迷ったかが見えます。負の符号は矢印を反転させ、零は向きを消します。