高校数学A 負の整数の商と余り—除法の範囲条件を使って余りを正しい区間へ戻す｜武蔵野個別指導塾

負の整数の商と余りを、等式と範囲の両方から確かめ、商の調整や符号反転の場合分け、一意性の証明までたどります。

よくあるのは、高校生が負の整数を割り、式の計算は合っているのに負の余りを書いてしまう場面です。積と余りの和が元の数に戻っていても、それだけでは除法の答えとして十分ではありません。余りの範囲まで確かめると、商をどちらへ動かせばよいかも見えてきます。

数学Aの「数学と人間の活動」で扱う整数の学習につながる内容です。ここでは割る数を正の整数に限り、負の整数を含む除法の式と商・余りの決まり方を考えます。合同記号を使った計算には進みません。

どんな問いで範囲を見るか

第一の型は、負の整数を正の整数で割り、商と余りを求める問いです。正の数について見慣れた計算を符号ごと反転すると、余りが負になることがあります。そのときは等式を保ちながら商と余りの組を直します。

第二の型は、与えられた等式から正しい商と余りを選ぶ問いです。等式が合う組は何組も作れますが、余りの範囲を満たす組を選ばなければなりません。余りがちょうど除数と同じ場合も範囲外です。

第三の型は、商と余りが一通りに定まる理由を説明する問いです。計算例をいくつ並べても、他の整数に対する一意性の証明にはなりません。2組があると仮定し、余りの差の大きさを調べます。

除法の式と余りの居場所

整数 a と正整数 b に対し、整数 q、r を用いて a = bq + r、0 ≤ r < b と表します。この q が商、r が余りです。a は被除数、b は除数です。余りには0を含みますが、b 自身は含みません。b = 1 なら許される余りは0のみです。

たとえば除数が7なら、余りは0、1、2、3、4、5、6のいずれかです。図1のように左端の0は含み、右端の7は含みません。余りが整数であることと区間の両方を使って候補が決まります。

図1の端点を見比べると、7は0へ戻すべき値です。式 a = 7q + 7 は a = 7(q + 1) + 0 と書き直せます。商を1増やした分だけ余りから7を引いており、合計は変わりません。

逆に、余りが負なら商を1減らして余りに除数を足します。a = bq + r = b(q − 1) + (r + b) です。ただし1回で範囲に入るとは限りません。大きく範囲を外れた式なら、範囲に入るまで同じ操作を続けるか、除数の倍数をまとめて移します。

この方法で必ず組を作れる理由もあります。整数 a に対し、b の整数倍のうち a 以下で最大のものを bq とします。正の b の倍数は一定の間隔で並ぶため、その次の倍数 b(q + 1) は a より大きくなります。r = a − bq と置けば、0 ≤ r < b です。a が負でも、数直線の左側へ倍数をたどれば同じ考えが使えます。

一意性を確かめます。同じ a、b に対し、条件を満たす2組を (q, r)、(Q, R) とすると、次の式が成り立ちます。

a = bq + r
a = bQ + R
b(q - Q) = R - r

r、R はともに0以上 b 未満なので、-b < R − r < b です。左辺は b の整数倍です。この範囲にある b の整数倍は0しかないので、q − Q = 0 です。すると R − r も0となり、q = Q、r = R です。存在と一意性の両方があるため、条件を満たす組を1つ見つければ答えが確定します。

商を選ぶ見通し

商は、a/b を数直線上で見たとき、その値以下の整数のうち最大のものです。これは 0 ≤ a − bq < b の各辺を正の b で割ると、q ≤ a/b < q + 1 となるためです。負の数では0に近い整数を選ぶとは限りません。たとえば比が -3 と -2 の間なら、求める商は左側の -3 です。

この見方は計算の見当をつけるために便利ですが、最後は a = bq + r に戻し、整数 r が範囲内かを調べます。小数を途中で丸めると境界を越えるおそれがあるので、倍数との差を整数のまま扱うと確実です。割り切れる場合は比そのものが整数であり、商はその整数、余りは0です。

等式だけから商を探すときは、商を1増やすと余りを b 減らし、商を1減らすと余りを b 増やします。どちらも合計を変えない操作ですが、移動の向きを取り違えると被除数が変わります。操作前後の積と余りの変化を足して0になるか確かめれば、符号の間違いを見つけられます。

基本例題：負の余りを直す

整数 -53 を正整数 7 で割ったときの商と余りを整数で求めてください。

まず正の 53 について、7の倍数を使います。53 は 7を7個集めた数より4大きいので、符号を反転した式は次のようになります。

53 = 7・7 + 4
-53 = 7・(-7) - 4
-53 = 7・(-7) + (-4)

ここで -4 は負です。等式は正しいものの、余りとしては採用できません。商を1減らし、余りに7を足します。

-53 = 7・(-8) + (-4 + 7)
-53 = 7・(-8) + 3

3 は 0 ≤ 3 < 7 を満たします。したがって商は -8、余りは3です。図2のように -53 は -56 から右へ3進んだ位置にあります。商 -7 に対応する -49 は -53 より右なので、その位置からの差を余りにすると負になります。

図2の左側の倍数から数え直して、7・(-8) + 3 = -56 + 3 = -53 です。元の被除数に戻り、余りも区間内です。商を単に負にするだけでなく、2つの条件を別々に確認します。

標準例題：範囲外の組から戻す

整数 a について a = 9・(-6) + 23 とわかっています。a を正整数9で割った商と余りを整数で求めてください。

23 は9以上なので、このままでは余りではありません。23 から9の倍数を取り出し、その分を商に移します。

23 = 9・2 + 5
a = 9・(-6) + 9・2 + 5
a = 9・(-6 + 2) + 5
a = 9・(-4) + 5

5 は 0 ≤ 5 < 9 を満たします。よって商は -4、余りは5です。元の条件から a = -54 + 23 = -31 であり、答えからも -36 + 5 = -31 と戻ります。

余りが範囲を大きく超えているので、商を1増やす操作を1回だけ行って終えると、余りは14でまだ範囲外です。等式が保たれても、最終行で範囲を再確認する必要があります。また、a を先に計算して -31 を直接割っても同じ組になります。どちらの方法でも正しい余りの範囲は変わりません。

発展例題：負にしたときの商を文字で表す

正整数 b と整数 a、q、r が a = bq + r、0 ≤ r < b を満たすとします。-a を b で割った商と余りを、r = 0 と r > 0 の場合に分けて q、r、b で表し、理由を示してください。

まず r = 0 なら、符号を反転しても余りは0です。

a = bq
-a = b(-q) + 0

b は正なので 0 ≤ 0 < b です。商は -q、余りは0です。

次に 0 < r < b とします。単純に符号を反転すると余りに当たる項が負になるため、b を1個移します。

-a = -bq - r
-a = b(-q - 1) + b - r
-a = b(-q - 1) + (b - r)

0 < r < b から 0 < b − r < b です。したがって商は -q − 1、余りは b − r です。2つの場合は r = 0 と r > 0 を分けており、もとの範囲にある整数 r を漏れなく扱っています。

答えを元の式へ戻すと、後の場合は b(-q − 1) + (b − r) = -bq − r = -a です。前の場合も b(-q) + 0 = -a です。余りが0のときに後の式を使うと余りが b となり、上端を含まない条件に反します。この境目を分けることが必要です。

誤答を式と範囲に分解する

基本例題で「-53 = 7・(-7) − 4 だから商 -7、余り -4」とする誤答を考えます。等式自体は成立していますが、余り -4 は0以上という条件に反します。原因は、正の数の商と余りをそのまま符号反転しても、余りの条件は保存されると思ったことです。

図3のように、商を -7 から -8 にすると、積は7小さくなります。和を元に戻すには余りを7大きくし、-4 + 7 = 3 とします。図3の修正後の式では、値の一致と範囲の両方が成り立ちます。

別の失敗として、-53 = 7・(-9) + 10 から商 -9、余り10とする場合もあります。今度は余りが負ではありませんが、7未満ではありません。商を1増やし、余りから7を引けば -53 = 7・(-8) + 3 です。下限だけでなく上限も必要です。

除数が0の式は、この除法の条件に入れられません。0 ≤ r < 0 を満たす r が存在しないからです。負の除数もここでの前提 b > 0 を満たさないので、同じ範囲をそのまま使って答えを決めないようにします。問題の条件が壊れている場合は、無理に商と余りを出さず、どの前提が欠けているか示します。

練習問題

各問で除数は正整数です。商と余りを問う場合は、それぞれ整数で答えてください。

1. 整数 -62 を8で割った商と余りを求めてください。
2. 整数 -77 を11で割った商と余りを求めてください。
3. 整数 c が c = 13・(-5) − 18 を満たします。c を13で割った商と余りを求めてください。
4. 整数 d を6で割ると商が -4、余りが5です。d を求め、d を負にした数を6で割った商と余りも求めてください。
5. 整数 e について e = 5q + r、0 ≤ r < 5 を満たす整数 q、r が2組あるとします。2組が一致する理由を、余りの差の範囲から説明してください。

練習問題の解答と解き方

1. まず 62 = 8・7 + 6 です。符号を反転した後、余りに8を足します。

-62 = 8・(-7) - 6
-62 = 8・(-8) + 2

商は -8、余りは2です。0 ≤ 2 < 8 であり、-64 + 2 = -62 と戻ります。

2. 77 = 11・7 なので、余りは0です。

-77 = 11・(-7) + 0

商は -7、余りは0です。0 ≤ 0 < 11 であり、11・(-7) + 0 = -77 と元の数に戻ります。割り切れるときは商をさらに減らす必要はありません。

3. -18 は -13 − 5 と書けますが、まだ余りが負です。もう1個の13を商から移します。

c = 13・(-5) - 18
c = 13・(-6) - 5
c = 13・(-7) + 8

商は -7、余りは8です。0 ≤ 8 < 13 です。元の条件では c = -65 − 18 = -83、答えからも -91 + 8 = -83 です。

4. まず与えられた商と余りから d を復元します。

d = 6・(-4) + 5
d = -24 + 5
d = -19
-d = 19
19 = 6・3 + 1

よって d = -19、-d の商は3、余りは1です。5 と1はいずれも0以上6未満です。6・(-4) + 5 = -19、6・3 + 1 = 19 なので、もとの条件と符号反転の両方に戻ります。

5. 2組を (q, r)、(Q, R) とします。等式と範囲から次のように進めます。

5q + r = 5Q + R
5(q - Q) = R - r
-5 < R - r < 5

この範囲にある5の整数倍は0なので、q − Q = 0 です。したがって R − r = 0 でもあり、q = Q、r = R です。2組は一致します。等式だけなら別の組も作れるため、余りの範囲が証明に欠かせません。

問題5では2組が存在すると仮定して一致を示しました。この議論は、具体的な商を求める計算とは役割が異なります。見つけた組が条件に合うことは存在の確認であり、他の組がないことは一意性の確認です。両方を区別して書くと、計算結果と一般的な理由を混同せずに済みます。

また、除数を決める前に余りの候補を並べることはできません。余りの上限は被除数の絶対値ではなく除数で決まります。問題文から割る数を先に拾い、その数を使って不等式を書いてから計算すると、どこを確認すべきか明確になります。

手元に残す要点

• 正整数 b に対する余りは 0 ≤ r < b を満たします。
• 等式の確認と余りの範囲の確認を両方行います。
• 余りが負なら商を減らし、その分の除数を余りに足します。
• 余りが0のときは符号反転しても余りは0です。
• 一意性は2つの余りの差が除数の倍数になることから示せます。

どこで止まったかを見分ける

等式は合うのに範囲を外すなら、商を動かしたとき積がいくつ変わるかを声に出して説明してみてください。範囲は合うのに元の数に戻らなければ、移した除数の符号を追います。個別指導では、負の余りと除数以上の余りをそれぞれ直し、余り0の境目も本人の式で確かめます。

商と余りは、元の整数に戻る式と余りの区間をそろえると決まります。