高校数学A 累乗の余りと周期—余りの反復表を使って大きな指数を小さく読み替える｜武蔵野個別指導塾

余りの反復表から累乗の位置を選び、指数を周期で割った余りが0の場合や末尾の数字を読み取ります。

よくあるのは、高校生が大きな指数を周期で割り、その余りが0だったので、累乗自体の余りも0と答えてしまう場面です。指数を割った余りと、累乗を割った余りは、別の割り算で得られた数です。表で最後の位置に戻ったことを確かめれば、両者を取り違えずに済みます。ここでは正の整数の指数を中心に、同じ底を何度も掛けるときの余りを追います。

要点（結論から）

• 次の余りは、前の余りに底を掛けて割り直して求めます。
• 同じ余りが再現すれば、その先の余りも繰り返します。
• 指数を周期で割った余り0は、周期の最後の位置を表します。

大きな指数は何を尋ねているか

出方の1つは、固定した整数の累乗を正の整数で割った余りを求める問題です。実際の累乗を最後まで計算すると桁が大きくなりますが、途中の余りだけを引き継げば、小さな数の掛け算に置き換えられます。

もう1つは、累乗の末尾の数字を尋ねる問題です。末尾の数字は、その数を10で割った余りです。したがって法を10として余りの表を作れば、同じ方法で調べられます。さらに、複数の累乗の和や差の余りを求めるときは、それぞれの周期と指数の位置を別に調べ、最後に和や差を割り直します。

最初に底、指数、割る数を区別してください。表の横に書く指数は何回掛けたかを表し、表の中の数は指定された数で割った余りです。周期の長さは余りの値ではありません。数学Aの「数学と人間の活動」で扱う整数の約数や倍数を土台に、余りの繰り返しを調べます。

次の余りは今の余りで決まる

整数 A と B を正整数 m で割った余りが同じとき、A ≡ B (mod m) と書きます。これは A − B が m の倍数であることと同じです。等号ではなく、m で割ったときの関係を表します。例えば A = mq + r なら、A と r の差は m の倍数です。

A = mq + r の両辺に整数 a を掛けると、aA = m(aq) + ar です。よって aA を m で割った余りは ar を m で割った余りと一致します。a が負でもこの式は成り立ちますが、求める余りは常に0以上 m 未満に直します。小さな余りだけを掛け継いでよい理由は、この差が m の倍数であることにあります。

図1のように、底を3、割る数を7として、正の指数を1から進めます。余りは順に3、2、6、4、5、1です。次は1に3を掛けるので再び3になります。同じ余りに同じ底を掛ければ次の余りも同じですから、その後も同じ6個が繰り返されます。

図1では指数1の位置から6個で一巡します。指数を6で割った余りが1、2、3、4、5なら表の対応する位置を読みます。余り0なら6の倍数なので、1番目ではなく6番目を読みます。指数を6で割った余りは表の位置を選ぶ手掛かりであり、答えの余りそのものではありません。

ただし、余りはいつも最初から繰り返すとは限りません。底と割る数に共通する因子がある場合も、実際の反復を追って確かめます。例えば底6を8で割ると、正の指数1、2、3以降の余りは6、4、0、0、…です。最初の6は戻らず、3乗以降で0が続きます。この場合は指数1、2を別に扱い、3以上で一定になると読みます。余りが再び現れた時点から先は同じ動きですが、そこより前まで同じ周期だと決めつけてはいけません。

表を作るとき、余りが何種類あるかにも注目します。法 m に対する余りは0から m − 1までの m 種類です。したがって掛ける操作を続けると、いずれ以前の余りが再び現れます。ただし、再び現れる余りが最初の余りとは限りません。表の中で同じ値を見つけたら、その2つの位置を印で結び、後の位置を含めずに間の個数を数えます。その個数が繰り返しの長さです。

指数0を扱う問題では、底が0でない場合、0乗は1です。正の指数から作った表の末尾が1だからといって、表にない指数を無条件に代入するのではなく、0乗の定義と問題の範囲を先に確認します。ここでの例題と練習は正の指数に限っているため、指数0を答えの候補として探す必要はありません。

基本例題：表の最後に戻る指数

問題　正整数の指数について、3 の 42 乗を7で割った余りを0以上7未満の整数で求めてください。

図2のように、まず指数1から順に余りを求めます。前の余りに3を掛け、7で割り直します。

3 ≡ 3 (mod 7)
3² ≡ 3・3 = 9 ≡ 2 (mod 7)
3³ ≡ 2・3 = 6 (mod 7)
3⁴ ≡ 6・3 = 18 ≡ 4 (mod 7)
3⁵ ≡ 4・3 = 12 ≡ 5 (mod 7)
3⁶ ≡ 5・3 = 15 ≡ 1 (mod 7)
3⁷ ≡ 1・3 = 3 (mod 7)

図2の最後の位置から次に進むと、最初の余り3に戻ります。そこで指数42を周期の長さ6で割ります。

42 = 6・7 + 0

余り0は7周目の終点を示します。表の6番目は1なので、答えは 1 です。実際に 3⁶ を7で割ると104余り1で、42乗は6乗を7個掛けたものです。各因子を1に置き換えた積も1ですから、元の累乗を7で割る条件に戻しても一致します。

指数の余りを0と出したところで止めると、元の問いに答えたことになりません。何を何で割った結果なのかを式の左側に書き、最後に「3 の 42 乗を7で割った余り」と単位にあたる説明を添えると区別できます。

標準例題：末尾の数字に直す

問題　正整数の指数について、7 の 38 乗の末尾の数字を1桁の整数で求めてください。

末尾の数字は10で割った余りです。底7を掛けては10で割った余りを求めます。

7¹ ≡ 7 (mod 10)
7² ≡ 7・7 = 49 ≡ 9 (mod 10)
7³ ≡ 9・7 = 63 ≡ 3 (mod 10)
7⁴ ≡ 3・7 = 21 ≡ 1 (mod 10)
7⁵ ≡ 1・7 = 7 (mod 10)

指数1から余り7、9、3、1の4個が繰り返されます。指数38を4で割ると次のようになります。

38 = 4・9 + 2

余り2は2番目に対応します。したがって答えは 9 です。確かめると、7⁴ は10で割ると余り1です。38 = 4・9 + 2 なので、元の数は 7⁴ を9個と 7² を掛けたものになり、10で割った余りは 1 を9個と9を掛けた9です。末尾の1桁も9と一致します。

指数を10で割る方法では、この表の4個ごとの位置を一般には決められません。法10は元の累乗を割る数、4は実際に表から見つけた周期の長さです。数がたまたま似て見えても、役割を分けて記録します。

発展例題：異なる周期を合わせる

問題　正整数の指数について、3 の 35 乗と 2 の 35 乗の和を7で割った余りを0以上7未満の整数で求めてください。

底が違うので周期も別々に調べます。3の累乗は先ほどの表から6個で繰り返します。2の累乗は次のように進みます。

2¹ ≡ 2 (mod 7)
2² ≡ 2・2 = 4 (mod 7)
2³ ≡ 4・2 = 8 ≡ 1 (mod 7)
2⁴ ≡ 1・2 = 2 (mod 7)

2の累乗の余りは2、4、1の3個で繰り返します。指数35について、それぞれの長さで割ります。

35 = 6・5 + 5
35 = 3・11 + 2

3の累乗は6個の表の5番目なので5、2の累乗は3個の表の2番目なので4です。和に戻すと次の通りです。

3 の 35 乗 + 2 の 35 乗 ≡ 5 + 4 (mod 7)
5 + 4 = 9
9 = 7・1 + 2

答えは 2 です。最後の9は7以上なので、そのまま余りにはできません。元の和から各項を対応する余りに置き換えた差はそれぞれ7の倍数であり、その和も7の倍数です。9をさらに7で割った余り2は、元の和を割った余りと一致します。

指数が共通だからといって余りの表が同じとは限りません。片方だけの周期で両方を読む方法は、この例では2の累乗の位置を示す根拠を欠きます。一方、両方の表を先に作れば、同じ指数でも各表で位置を決められます。

余り0を見たときの立て直し

図3のように、基本例題で「42を6で割ると余り0なので答えは0」とする誤答を考えます。この0は指数の割り算の結果です。求めたいのは3 の 42 乗を7で割った余りなので、割られる数も割る数も異なります。

修正するときは、図3の2つの割り算を別々に書きます。42 = 6・7 + 0 は、6個ずつの並びを7周して終わることを表します。6番目の余りは1なので、累乗の余りは1です。0を表の外の空白と考えず、ちょうど一巡した終点として読むと位置が定まります。

別の誤りは、最初の数個が違うのに、後で同じ余りが出た周期を最初まで延ばすことです。先ほどの底6、法8では、1乗の余り6と3乗以降の余り0は異なります。周期に入る前の部分を線で区切り、問題の指数がどちらにあるか先に判定します。掛ける底や法を変更した場合も、古い表を流用せず、その条件で次の余りを確かめます。

練習問題

いずれも指数は正整数です。余りを求める問題では0以上、割る数未満の整数で答えてください。

1. 2 の 23 乗を5で割った余りを求めてください。
2. 4 の 27 乗を7で割った余りを求めてください。
3. 9 の 46 乗の末尾の数字を1桁の整数で求めてください。
4. 5 の 31 乗と 3 の 31 乗の和を8で割った余りを求めてください。
5. 6 の 19 乗を9で割った余りを求め、反復が最初の項から始まるかも答えてください。

練習の解答と解き方

1

2の累乗を5で割ると、正の指数1から余りは次の順です。

2¹ ≡ 2 (mod 5)
2² ≡ 4 (mod 5)
2³ ≡ 8 ≡ 3 (mod 5)
2⁴ ≡ 6 ≡ 1 (mod 5)
2⁵ ≡ 2 (mod 5)
23 = 4・5 + 3

4個周期の3番目なので、答えは 3 です。23乗は4乗を5個と3乗を掛けたものです。各4乗の余りは1、3乗の余りは3なので、元の累乗を5で割っても3に戻ります。

2

4¹ ≡ 4 (mod 7)
4² ≡ 16 ≡ 2 (mod 7)
4³ ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)
4⁴ ≡ 4 (mod 7)
27 = 3・9 + 0

3個周期の終点ですから、答えは 1 です。27乗は3乗を9個掛けたものです。各因子の余りが1なので元の数の余りも1です。指数を割った余り0は位置を決める数であり、ここでの答えではありません。

3

9¹ ≡ 9 (mod 10)
9² ≡ 81 ≡ 1 (mod 10)
9³ ≡ 9 (mod 10)
46 = 2・23 + 0

2個周期の2番目なので、末尾の数字は 1 です。46乗は2乗を23個掛けたものです。各因子の末尾が1で、その積を10で割った余りも1ですから、求めた1桁と合います。

4

5¹ ≡ 5 (mod 8)
5² ≡ 25 ≡ 1 (mod 8)
5³ ≡ 5 (mod 8)
3¹ ≡ 3 (mod 8)
3² ≡ 9 ≡ 1 (mod 8)
3³ ≡ 3 (mod 8)
31 = 2・15 + 1
5 + 3 = 8
8 = 8・1 + 0

両方とも2個周期で、31乗の余りは順に5、3です。和を8で割った余りは 0 です。元の2項との差がそれぞれ8の倍数である5と3を足すと8になり、元の和も8で割り切れます。和を割る最後の操作まで必要です。

5

6¹ ≡ 6 (mod 9)
6² ≡ 36 ≡ 0 (mod 9)
0・6 = 0

2乗以降の余りは0のままなので、19乗の余りは 0 です。反復は最初の項からは始まらず、2乗から一定です。元の19乗は 6² に17個の6を掛けた数です。6² = 9・4 なので、19乗も9の倍数となり、余り0を元の条件に戻して確かめられます。

要点

• 次の余りは、前の余りに底を掛けて割り直して求めます。
• 同じ余りが再現すれば、その先の余りも繰り返します。
• 指数を周期で割った余り0は、周期の最後の位置を表します。
• 繰り返しの前に別の部分がないか確かめます。
• 末尾の数字は10で割った余りです。

どこで止まったかを見分ける

表は作れるのに答えが違うときは、指数を割った式と、元の累乗を割る式を指で示して説明してみてください。2つの余りを同じものとして扱っているなら、周期の表に周回の境目を書き込み、余り0が終点を指す理由を確かめます。

個別指導では、途中から一定になる場合も含め、同じ余りの次が必ず同じになる根拠を式で言えるか確かめます。さらに、和の余りが法以上になった場合に割り直せるか、求めた値を元の条件に戻せるかを見ると、表の読み違いと最後の計算違いを分けられます。指数の位置と累乗の余りを別々に追うことが、周期を使い切る鍵です。