高校数学A 二つの余り条件—一方の商を文字にして同時に成り立つ整数を探す｜武蔵野個別指導塾

商を文字に置いて解なしの判定から最小正整数の求め方まで扱うのは、二つの余りです。

よくあるのは、高校生が「ある数を別々の数で割った余り」を二つ見て、その余りを足せば元の数になると考える場面です。ところが余りは、それぞれ違う大きさのまとまりを取り去った後に残る数です。二つの余りを足しても、どちらの割り算に戻るかは決まりません。一方の割り算を式にし、残った商をもう一方の条件で絞ると、答えの候補を順序立てて探せます。

何を同時に満たすのか

出方は大きく分けて三つあります。一つ目は、二つの余りを指定し、両方を満たす最小の正整数を求める問いです。二つ目は、割る数に共通因子がある場合に、条件を満たす整数が存在するかを問うものです。三つ目は、さらに範囲を付け、その中の解を漏れなく列挙する問いです。

どの問いでも、二つの割り算は同じ整数に対して行います。片方を満たしただけの数を答えにせず、もう片方にも戻して確かめます。割る数は正整数で、指定された余りは 0 以上、割る数未満である必要があります。たとえば 7 で割った余りが 7 という条件は、通常の余りの定義を満たしません。まず条件自体が除法の形として正しいかを見ます。

余りが一つ定まっても、整数は一つに限られません。商には正の整数だけでなく、0 や負の整数も入り得ます。「整数をすべて求める」と「最小の正整数を求める」では、最後に必要な整理が違います。0 を含むか、上限と下限を含むかも問題文で確かめます。

商を入り口にすると何が見えるか

正整数 a で整数 n を割った余りが r なら、整数 q を使って n = aq + r と書けます。ただし 0 ≤ r < a です。逆に、整数 q とこの範囲の r について n = aq + r が成り立てば、n を a で割った余りは r です。q が負でも同じ式を使えます。余りの範囲を守るため、負の整数でも余りは負にしません。

もう一つの除数を b、余りを s とすると、同じ n は n = bp + s とも書けます。ここで p も整数です。図1のように、二つの式の右辺は同じ数に着きます。一方の式をもう一方の条件に代入することで、n の代わりに商 q を調べられます。

図1では、両方の矢印が同じ n を指しています。余り r と s を足す操作は、この二つの式のどちらからも導かれません。たとえば商が変われば、余りが同じでも元の数は変わります。まずは「まとまりの大きさ × 商 + 余り」という形を書き、それぞれの商が別の整数であることを意識します。

存在の見通しにも、この二つの式を使えます。等しい右辺を引き算すると aq − bp = s − r です。a と b の共通の約数 d は左辺の両項を割り切るため、右辺 s − r も割り切ります。したがって、二つの余りの差が共通の約数で割り切れなければ、解はありません。差が負でも、割り切れるかどうかは同じように調べられます。

特に最大公約数を g とすると、g が s − r を割り切ることは必要です。実は十分でもあります。a = gu、b = gv と置くと u と v は互いに素です。差が g の倍数なら、q を 0 から v − 1 まで動かした uq の b/g による余りは重複しません。重複すると u(q₁ − q₂) が v の倍数となり、互いに素なので q₁ − q₂ も v の倍数ですが、この範囲内では二つが同じとき以外に起こらないからです。よって 0 から v − 1 までの余りが一度ずつ現れ、必要な余りに合う q が見つかります。

この理由は存在を保証しますが、実際の答えを得るには q を決める計算が必要です。また、a と b が互いに素なら g = 1 なので、差は必ず g で割り切れます。互いに素でない場合も、差が g の倍数なら解があります。単に「共通因子があるから解なし」とするのは誤りです。

一つ解 n₀ が見つかった後は、他の解 n との差を見ると整理できます。n − n₀ は a と b の両方で割り切れます。したがって最小公倍数を L とすると、差は L の倍数です。逆に n₀ に L の整数倍を加えても両方の余りは変わりません。解は n = n₀ + Lt、t は任意の整数、と表せます。この説明で、見つけた候補だけでなく、それ以外の解も尽くせます。

基本例題：一方の商を順に調べる

整数 n を 7 で割ると 3 余り、9 で割ると 5 余ります。条件を満たす整数をすべて整数パラメータで表し、最小の正整数も求めてください。

7 と 9 は正整数で、3 と 5 はそれぞれの余りの範囲にあります。まず 7 で割った商を q とし、q は整数とします。

n = 7q + 3
7q + 3 を 9 で割った余り = 5
7q を 9 で割った余り = 2

最後の行は、7q + 3 = 9p + 5 から 7q = 9p + 2 と移して得られます。q の余りを 9 で分けて調べると、図2のように 0 から 8 までで、余り 2 に当たるのは q の余りが 8 のときです。

図2の行は q を 9 で割った余りを示し、その下に 7q を 9 で割った余りを並べています。q に 9 を加えると 7q は 63 増え、9 で割った余りは変わりません。表の範囲で漏れなく調べれば、すべての整数 q に対する結論が出ます。

q = 9t + 8   （t は任意の整数）
n = 7(9t + 8) + 3
n = 63t + 59

t = 0 なら n = 59、t = -1 なら n = -4 です。63 ずつ増えるため、その間に別の正の解はなく、最小の正整数は 59 です。負の商を初めから除かずに一般解を出し、最後に正の範囲を見ると、最小である根拠も明確になります。

元の条件へ戻します。59 = 7・8 + 3、59 = 9・6 + 5 なので、余りは両方とも指定どおりです。さらに 63 は 7 と 9 の両方の倍数なので、任意の整数 t について 63t + 59 も同じ余りを持ちます。表で必要な q を尽くしたことと合わせて、解が過不足なく表されたとわかります。

標準例題：共通因子があっても解ける場合

整数 n を 6 で割ると 1 余り、8 で割ると 5 余ります。すべての整数解と最小の正整数を求めてください。一般解には任意の整数パラメータを使います。

6 と 8 の最大公約数は 2 です。余りの差 5 − 1 = 4 は 2 で割り切れるので、共通因子だけを理由に解なしとはできません。6 で割った商を整数 q と置きます。

n = 6q + 1
6q + 1 = 8p + 5   （p は整数）
6q = 8p + 4
3q = 4p + 2

最後の式は各項を 2 で割った等式です。3q を 4 で割ると 2 余るので、q を 4 で割った余りを 0、1、2、3 と調べます。対応する 3q の余りは順に 0、3、2、1 です。求める q は余り 2 の場合です。

q = 4t + 2   （t は任意の整数）
n = 6(4t + 2) + 1
n = 24t + 13

t = 0 では 13、t = -1 では -11 です。よって最小の正整数は 13 です。13 = 6・2 + 1、13 = 8・1 + 5 と戻せます。24 は両方の除数の倍数なので、任意の t でも余りは変わりません。q の余りを全通り調べたので、他の形の解はありません。

ここで 6 と 8 の積 48 を解の間隔にすると、13 と 61 は表せても 37 を落とします。実際に 37 = 6・6 + 1 = 8・4 + 5 です。二つの数の積は共通の倍数ですが、共通因子があると最小公倍数より大きくなり得ます。すべての解を書くには、間隔が最小公倍数 24 であることを確認します。

発展例題：範囲の中の解を尽くす

整数 n を 9 で割ると 4 余り、6 で割ると 1 余ります。37 ≤ n ≤ 137 を満たす n を小さい順にすべて求めてください。端の 37 と 137 も範囲に含みます。

9 と 6 の最大公約数は 3 で、余りの差 4 − 1 = 3 は 3 で割り切れます。6 で割った商を整数 q と置いて、もう一方に代入します。

n = 6q + 1
6q + 1 = 9p + 4   （p は整数）
6q = 9p + 3
2q = 3p + 1

2q を 3 で割った余りが 1 です。q の余りを 0、1、2 とすると、2q の余りは順に 0、2、1 です。よって q = 3t + 2、t は整数です。

n = 6(3t + 2) + 1
n = 18t + 13
37 ≤ 18t + 13 ≤ 137
24 ≤ 18t ≤ 124
4/3 ≤ t ≤ 62/9

整数 t は 2、3、4、5、6 です。これらを n の式に代入すると、答えは 49、67、85、103、121 です。t = 1 では n = 31 で下限未満、t = 7 では n = 139 で上限を超えます。間隔は正の 18 なので、この両端より外の整数 t も範囲に入りません。

条件への復元は、最初の数と増分を使って確かめられます。49 = 9・5 + 4 = 6・8 + 1 です。18 は 9 と 6 の両方の倍数なので、49 に 18 を順に加えた他の四つも余りが同じです。各数は指定範囲内にあり、端の外側も調べたので、個数は 5 個です。

範囲を先に眺めて候補を見つける方法もありますが、一つ見つかった時点では漏れがないとは言えません。一般解を出してから t の範囲を決めると、両端が含まれる場合にも同じ手順で判断できます。逆に、解なしの場合は範囲を絞る前に止められます。

余りを足した答えをどう直すか

基本例題で余り 3 と 5 を足し、n = 8 とする誤答を考えます。8 は 7 で割ると 1 余り、9 で割ると 8 余ります。どちらも指定に合いません。図3のように、足した値を元の二つの割り算に戻すと、ずれをすぐに見つけられます。

図3の左にある 8 は、二つの余りの和にすぎません。右の 59 は、7 で割った商を調べて得た候補です。59 の余りはそれぞれ 3 と 5 に戻ります。誤りの原因は、異なる大きさのまとまりを取り去った残りを、そのまま元の数の一部分として合算したことです。修正するときは 7q + 3 と置き、9 で割った余りを商 q に対する条件へ移します。

もう一つの失敗は、解が存在しない条件で探し続けることです。整数 n を 6 で割ると 1 余り、8 で割ると 4 余るとします。もし解があるなら、整数 q、p により次の式が成り立ちます。

n = 6q + 1 = 8p + 4
6q - 8p = 3

左辺は偶数ですが、右辺は奇数です。これは成り立たないので、正の整数にも負の整数にも解はありません。片方の候補をいくら並べても見つからない理由を、余りの差と共通因子から説明できます。差が割り切れるときは矛盾が消えるだけで、具体的な最小値までは決まらない点にも注意します。

練習：条件を式に移す

各問で割る数は正整数です。整数の範囲と答えの形を確かめてから解いてください。

1. 整数 x を 5 で割ると 2 余り、7 で割ると 4 余ります。すべての整数解を整数パラメータで表し、最小の正整数も求めてください。
2. 整数 y を 8 で割ると 6 余り、9 で割ると 1 余ります。すべての整数解を整数パラメータで表し、最小の正整数も求めてください。
3. 整数 z を 6 で割ると 2 余り、9 で割ると 5 余ります。0 以上 71 以下の解を小さい順にすべて求めてください。0 と 71 を範囲に含みます。
4. 整数 w を 8 で割ると 3 余り、6 で割ると 2 余ります。そのような整数が存在するか、理由を付けて答えてください。負の整数と 0 も調べる対象です。
5. 正整数 v を 7 で割っても 8 で割っても余りは 0 です。そのような v の最小値を求め、なぜそれより小さい正の解がないか説明してください。

練習の解答と戻し方

1. x = 5q + 2 とし、q は整数とします。7 で割る条件から 5q を 7 で割った余りは 2 です。q の余り 0、1、2、3、4、5、6 に対し、5q の余りは 0、5、3、1、6、4、2 です。したがって q = 7t + 6、t は任意の整数です。

x = 5(7t + 6) + 2
x = 35t + 32

最小の正整数は 32 です。32 = 5・6 + 2 = 7・4 + 4 と戻せます。35 は 5 と 7 の両方の倍数なので、一般解の各値も二つの条件を満たします。商の余りを全通り調べたため、解の取りこぼしはありません。

2. y = 8q + 6 とすると、整数 p に対して 8q + 6 = 9p + 1 です。

8q = 9p - 5
8q = 9(p - 1) + 4

よって 8q の 9 による余りは 4 です。8 は 9 より 1 小さいので、q の余りが 5 のときに限って 8q の余りが 4 になります。実際、q = 9t + r と 0 ≤ r < 9 で表すと、8q = 9(8t + r) − r です。r = 0 なら余り 0、1 ≤ r ≤ 8 なら余り 9 − r となるためです。

q = 9t + 5   （t は任意の整数）
y = 8(9t + 5) + 6
y = 72t + 46

最小の正整数は 46 です。46 = 8・5 + 6 = 9・5 + 1 で、72 は両方の倍数です。負の t では 46 − 72 以下となり正ではありません。

3. z = 6q + 2 とし、もう一方を z = 9p + 5 とします。q、p は整数です。

6q + 2 = 9p + 5
6q = 9p + 3
2q = 3p + 1
q = 3t + 2   （t は任意の整数）
z = 18t + 14

2q の 3 による余りが 1 となるのは q の余りが 2 のときです。0 ≤ 18t + 14 ≤ 71 から -14 ≤ 18t ≤ 57 となり、整数 t は 0、1、2、3 です。答えは 14、32、50、68 です。14 = 6・2 + 2 = 9・1 + 5 であり、増分 18 は両方の倍数です。t = -1 と 4 はそれぞれ範囲外なので、端の確認も済みます。

4. w = 8q + 3 = 6p + 2 と置くと、8q − 6p = -1 です。左辺は偶数、右辺は奇数で矛盾します。したがって整数解はありません。商を負にしても左辺が偶数であることは変わらず、0 も含めて除外できます。

5. 二つの条件は v が 7 と 8 の共通の倍数であることを表します。7 と 8 は互いに素なので最小公倍数は 56 です。56 = 7・8 = 8・7 と戻すと、両方の余りが 0 です。共通の倍数は 56 の整数倍で、正のもののうち最小は 56 です。0 は条件を満たしますが、問題が求める正整数には含みません。

手元に残す要点

商を整数で置き、一方の余り条件をもう一方へ代入します。 余りの差が除数の最大公約数で割り切れなければ、整数解はありません。 一つの解に最小公倍数の整数倍を加えると、解を過不足なく表せます。 最小値や範囲の条件は一般解に戻し、元の二つの割り算で検算します。

どこで止まっているかを見分ける

式が立たないときは、片方の割り算について「除数、商、余り」を声に出して n = aq + r に対応させます。式は立つのに解なしを判断できないときは、二つの式を引き、左辺が共通因子で割り切れる理由を説明してみます。候補が一つ見つかったところで止まる場合は、次の解までの間隔と、そこに別の解が入らない理由を尋ねます。

個別指導では、本人が選んだ商の式からもう一方の余り条件を導き、正負を含む商を漏れなく表せるかを確かめます。最後に答えを二つの割り算へ戻し、最小や範囲の端まで説明できれば、二つの余り条件を一つの整数として扱えています。