高校数学A 合同式の計算規則—足し算と掛け算の根拠から約分の可否を見分ける｜武蔵野個別指導塾

和・差・積で余りを置き換える根拠を確かめ、係数と法に共通因子があるときの約分を見分けます。

よくあるのは、高校生が合同式の両辺に同じ数が見えたので、法との関係を確かめずに割ってしまう場面です。普通の等式では両辺を0でない同じ数で割れますが、合同式では割った後も同じ法でよいとは限りません。正しく割れる条件を差の倍数性から調べると、どこで結論が強くなりすぎたのかが見えます。

合同式は、整数の余りを考えるための記号です。ここでは和・差・積の置き換えと約分を扱います。累乗の周期を利用する問題は扱わず、計算の一歩ごとに法を確かめます。学習範囲の照合に使う解説では、数学Aの「数学と人間の活動」で整数の約数や倍数などを扱います。

どんな操作が問われるか

出方は大きく3つあります。1つ目は、整数を同じ余りの小さな数に置き換え、和や積の余りを求める問題です。大きな積を先に作る必要はありませんが、それぞれが同じ法について合同であることを確かめます。

2つ目は、文字を含む合同式から候補を絞る問題です。係数と法が互いに素なら、その係数を消せる場合があります。互いに素でない場合には、係数を消したまま法を維持すると解を失うことがあります。

3つ目は、計算規則が成立する理由や、成立しない操作の反例を示す問題です。例を何個か計算して一致しても、任意の整数についての証明にはなりません。一方、一般に成り立つという主張は、条件を満たす反例が1つあれば否定できます。正しい操作の証明と、誤った操作を否定する作業を区別しましょう。

差が法の倍数という意味から出発する

以下、法 m は2以上の整数、a、b は整数です。a と b を m で割った余りが等しいとき、a≡b (mod m) と書きます。これは a − b が m の整数倍であることと同じです。実際、同じ余り r を用いて a = mq + r、b = mp + r と書けば、差は m(q − p) です。逆に差が m の倍数なら、a と b は m で割ったとき同じ余りを持ちます。

図1のように、2組の差をそれぞれ法の倍数として表します。文字 k、l は別々の整数です。同じ文字を使って同じ商だと決める必要はありません。負の整数も整数倍の形に含まれるので、代表に負の数を選んでも計算できます。

図1の2組から、和の差は次のようになります。

(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d)
= mk + ml
= m(k + l)

k + l は整数なので、a + c≡b + d (mod m) です。差も同様に、(a − c) − (b − d) = m(k − l) となります。引き算では括弧の前の符号に注意してください。

積では、差をそのまま掛けるのではなく、途中に bc を入れます。

ac - bd = ac - bc + bc - bd
= (a - b)c + b(c - d)
= mkc + bml
= m(kc + bl)

最後の括弧は整数です。したがって ac≡bd (mod m) です。この根拠は、各差が法の倍数であることにあります。両辺に同じ整数を掛ける規則は、c = d とした特別な場合です。

割る操作は別に調べます。整数 c、a、b について ca≡cb (mod m) なら、m は c(a − b) を割ります。ここから m が a − b を割るといえるのは、c と m が互いに素のときです。互いに素とは最大公約数が1という意味で、両方が素数である必要はありません。m の素因数は c に含まれないため、c(a − b) の中で m に必要な素因数はすべて a − b 側にあります。よって a≡b (mod m) です。c が負でも同じ議論ができ、c = 0 のときはこの条件を満たしません。

互いに素でない場合も、約分後の法を調整できます。d を c と m の正の最大公約数とすると、c = dc₁、m = dm₁ で、c₁ と m₁ は互いに素です。m が c(a − b) を割ることは、ある整数 t を使い dc₁(a − b) = dm₁t と書けることです。等式の両辺を正の整数 d で割ると c₁(a − b) = m₁t となり、m₁ が a − b を割ります。したがって約分後に保てる法は m/d です。m/d = 1 の場合は差が1の倍数という自明な情報しか残りません。

基本例題：積を小さな代表に置き換える

整数 37 と 43 の積に 8 を足した数を、7 で割った余りを求め、0以上7未満の整数で答えてください。

37 = 7・5 + 2、43 = 7・6 + 1 なので、それぞれ 2、1 に置き換えられます。図2のように、8 も 1 に置き換え、積を作った後に足します。

37 ≡ 2 (mod 7)
43 ≡ 1 (mod 7)
8 ≡ 1 (mod 7)
37・43 ≡ 2・1 (mod 7)
37・43 + 8 ≡ 2・1 + 1 (mod 7)
2・1 + 1 = 3

答えは余り 3 です。図2の矢印は、値が等しいという意味ではなく、法7で同じ余りを持つ数への置き換えを表します。確かめに元の数を計算すると、37・43 + 8 = 1599 です。1599 = 7・228 + 3 であり、余りは指定範囲内です。各置き換えの法を7にそろえたことが、和と積の規則を使える理由です。

もし 37 を 3 に置き換えたら、差 34 は7の倍数ではありません。後の計算がきれいに進んでも、最初の置き換えが失敗しています。大きい数から小さい数へ移すときは、差が法の倍数かを先に確かめます。

標準例題：互いに素な係数を消す

整数 x が 5x≡15 (mod 9) を満たすとき、x を9で割った余りを求め、0以上9未満の整数で答えてください。

5 と9の最大公約数は1です。右辺を5・3と見れば、両辺の5を法9のまま消せます。

5x ≡ 15 (mod 9)
5x ≡ 5・3 (mod 9)
x ≡ 3 (mod 9)

求める余りは 3 です。この操作は逆向きにも成り立ちます。x≡3 (mod 9) に両辺5を掛ければ、もとの式を得ます。したがって候補を失うことも増やすこともありません。x = 9t + 3 と置くと、5x − 15 = 45t で、任意の整数 t に対して9の倍数です。代表の x = 3 では 5x = 15 となり、もとの条件にも戻ります。

右辺が係数の整数倍に見えないときでも、法の倍数を足して係数の倍数にできることがあります。ただし、見つけた代表が本当に同じ余りか確認し、係数と法の最大公約数を先に調べます。普通の分数を作って余りを読む方法は、整数の合同という定義をそのまま適用できないため、ここでは使いません。

発展例題：法を変えて解を残す

整数 x が 6x≡18 (mod 15) を満たすとき、x を15で割った余りをすべて求め、0以上15未満の整数で答えてください。

6 と15の最大公約数は3なので、6をそのまま消して法15を保つことはできません。まず差が15の倍数であると書き、共通因子3で等式を割ります。t は整数です。

6x - 18 = 15t
3(2x - 6) = 3・5t
2x - 6 = 5t
2x ≡ 6 (mod 5)
2x ≡ 2・3 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 5)

最後は2と5が互いに素なので、法5のまま2を消しました。逆に x≡3 (mod 5) なら x − 3 = 5s と書け、6x − 18 = 30s は15の倍数です。よって変形前後の条件は同値です。

0以上15未満の整数のうち、5で割ると3余る数は 3、8、13 です。実際にそれぞれ 6x − 18 は 0、30、60 となり、いずれも15の倍数です。3つの候補は範囲内の5刻みを尽くしているため、ほかにありません。法を5に変えると情報が弱まるように見えますが、この変形では元の条件と同値です。元の法15で余りを答えるため、最後に法5の1つの余りから3つの代表を拾う必要があります。

なお、6x≡18 (mod 15) から x≡3 (mod 15) とすると、8 と13を落とします。x = 8 を代入すると 48 − 18 = 30 なので元の条件を満たしますが、8 − 3 = 5 は15の倍数ではありません。1つの具体例によって、その約分が一般には正しくないとわかります。

誤答を差に戻して直す

図3のように、4x≡4 (mod 6) から x≡1 (mod 6) とする計算を考えます。ここで x は整数です。一見すると両辺を4で割っただけですが、4と6の最大公約数は2です。

誤答の原因は、6 が 4(x − 1) を割ることと、6 が x − 1 を割ることを同一視した点です。例えば x = 4 なら左辺の4xは16で、16 − 4 = 12 は6の倍数です。しかし 4 − 1 = 3 は6の倍数ではありません。図3の反例は元の条件を満たし、誤った結論を満たさないので、約分の失敗を示します。

修正すると、最大公約数2で法も割り、x≡1 (mod 3) を得ます。実際に 4(x − 1) = 6t を2で割れば 2(x − 1) = 3t です。2と3は互いに素なので、x − 1 は3の倍数です。逆に x − 1 = 3s なら 4(x − 1) = 12s は6の倍数です。法6の余りで表せば 1、4 の2つが残ります。

もう1つの失敗は、両辺が整数で割り切れないのに、係数だけを消そうとすることです。例えば 4x≡3 (mod 6) では、4x − 3 は奇数であり、偶数の6の倍数にはなりません。解がないと先に判定できます。右辺も共通因子で割れる形になっているかを見て、無理な約分を避けましょう。

練習問題

次の5問では、文字はすべて整数とします。余りを求める問題では、答えを0以上、指定された法未満の整数で示してください。

1. 29・34 + 22 を5で割った余りを求めてください。
2. 7x≡28 (mod 9) を満たす x の、9で割った余りを求めてください。
3. 8x≡24 (mod 14) を満たす x の、14で割った余りをすべて求めてください。
4. 6x≡5 (mod 9) を満たす整数 x が存在するか判定し、理由を述べてください。
5. a≡2 (mod 7)、b≡5 (mod 7) のとき、a² − ab + b² を7で割った余りを求めてください。

練習問題の解答と解き方

1

29、34、22 を5で割った余りにそれぞれ置き換えます。

29 ≡ 4 (mod 5)
34 ≡ 4 (mod 5)
22 ≡ 2 (mod 5)
29・34 + 22 ≡ 4・4 + 2 (mod 5)
4・4 + 2 = 18
18 ≡ 3 (mod 5)

答えは 3 です。元の値は 1008 = 5・201 + 3 なので、余りを戻しても一致します。途中の18は余りとしては範囲外なので、最後にもう一度5で割ります。

2

7 と9は互いに素です。右辺を7の倍数として表し、同じ法のまま約分します。

7x ≡ 28 (mod 9)
7x ≡ 7・4 (mod 9)
x ≡ 4 (mod 9)

答えは 4 です。x = 9t + 4 とすると 7x − 28 = 63t なので任意の整数 t で元の条件を満たします。逆向きは約分の条件から保証されます。

3

8と14の最大公約数は2です。差を14の倍数と置き、等式の両辺を2で割ります。

8x - 24 = 14t
4x - 12 = 7t
4x ≡ 12 (mod 7)
4x ≡ 4・3 (mod 7)
x ≡ 3 (mod 7)

4と7は互いに素です。法14の余りとしては 3、10 です。元の差はそれぞれ 0、56 で、いずれも14の倍数です。逆に x − 3 が7の倍数なら 8x − 24 も14の倍数なので、条件は同値です。

4

存在しません。6x は3の倍数ですが、5は3で割ると2余ります。もし 6x − 5 が9の倍数なら3の倍数でもあるはずですが、実際は3で割ると1余るため矛盾します。係数と法の共通因子が右辺を割らない場合、無理に割る前に解なしと判断できます。

5

積の規則を繰り返し使います。

a² ≡ 2・2 (mod 7)
ab ≡ 2・5 (mod 7)
b² ≡ 5・5 (mod 7)
a² - ab + b² ≡ 4 - 10 + 25 (mod 7)
4 - 10 + 25 = 19
19 ≡ 5 (mod 7)

答えは 5 です。a = 7u + 2、b = 7v + 5 とおけば、積の保存により任意の整数 u、v で同じ余りです。代表 a = 2、b = 5 を元の式に戻しても19となり、7で割った余りは5です。

手元に残す要点

• 同じ法の合同式は、和・差・積を取っても保たれます。
• 係数と法が互いに素なら、その係数を法を変えずに消せます。
• 共通因子があれば、最大公約数で法も割った条件を調べます。
• 求める法の範囲へ代表を戻し、元の条件に代入します。

どこで止まったかを見分ける

置き換えが不安なときは、左右の数の差を書いて法で割れるかを確かめます。積の証明が止まるなら、ac − bd に bc を加減する行を自分の言葉で説明してみます。約分で止まるなら、係数と法の最大公約数、変更後の法、元の法で必要な代表の数を順に書き出します。

個別指導では、正しく消せる式と消せない式を並べ、元の式を満たす反例を本人が代入できるかを確かめます。答えだけでなく、法を変える理由と、変えた後に候補を拾い直す理由を言葉にすると、次の問題でも使える判断になります。差が法の倍数かを追うことが、合同式の計算を支えます。