高校数学C 共役を含む方程式—実部と虚部に分けて解と条件を確かめる｜武蔵野個別指導塾

実部と虚部を比較し、解なしや無数の解を分類する題材は、共役方程式です。

よくあるのは、理系の高3が z と z の共役を別々の未知数として連立し、計算で得た2つの値をそのまま解とする場面です。2つの値には実部が等しく虚部の符号が反対という約束があります。その約束がない連立方程式を解いても、もとの複素数の方程式を満たすとは限りません。まず1つの複素数を実数2つで表し、等式と条件の両方に戻して答えを確かめましょう。

どの形から手を付けるか

共役を含む方程式には、初めに見る場所が異なる3つの型があります。いずれも、z = x + yi とおき、x、y を実数として扱うことが共通の出発点です。z の共役は x − yi なので、別の文字を使ってもこの関係は消せません。

1つ目は、z とその共役の一次式が1つの複素数に等しい型です。左辺を実部と虚部に整理し、右辺のそれぞれと比べます。複素数の等式1本から実数の式2本が得られますが、2本が同じ条件になる場合や矛盾する場合もあるため、式の本数だけで解の個数は決められません。

2つ目は、共役を含む式が実数になる条件です。実数の虚部は0ですから、式全体の虚部を取り出して0とおきます。実部まで0とおくと、必要のない条件を加えてしまいます。問題に実部の値が指定されている場合は、その指定を別に使います。

3つ目は、係数に実数の文字が入り、解の個数を分類する型です。文字を含む係数で割る前に、その係数が0になる場合を分けます。0になる値では、残った等式が 0 = 0 か 0 = 0 でない数かを確かめます。前者はその変数に制限がなく、後者は矛盾です。

共役は同じ点から決まる

x、y を実数とすると、z = x + yi の共役は x − yi です。複素数平面では z は座標 (x, y)、その共役は (x, -y) に対応します。図1のように、実部はそのままで虚部の符号が反対です。実軸上の点では y = 0 なので、z とその共役は一致します。

図1の縦方向の位置を別々に選ぶことはできません。たとえば z が 2 + 3i なら、共役は必ず 2 − 3i です。共役を表す記号を別の文字 w に置き換えて計算する場合も、最後に w が実際に z の共役であることを確かめる必要があります。最初から x、y を使えば、この関係を保ったまま計算できます。

実数 a、b、c、d に対して a + bi = c + di となる条件は、a = c かつ b = d です。片方が違えば複素数として等しくありません。特に a + bi が実数である条件は b = 0 であり、a の値は指定されなければ自由です。純虚数を求める場合は、実部が0という条件に加え、虚部が0ではないことまで確かめます。実部が0という条件だけなら、複素数0も含まれます。

複素数の係数が付くと、i² = -1 によって実部と虚部が交差します。たとえば (1 + i)(x + yi) は、x + yi + xi + yi² から (x − y) + (x + y)i です。i の付いた項だけを機械的に集める前に、i² を -1 に直しましょう。共役付きの項にも係数をそのまま掛け、共役の符号と係数の符号を別々に確認します。

基本例題：2本の条件に戻す

次の方程式を満たす複素数 z を、a + bi の形で求めてください。ただし a、b は実数です。

z + 2(z の共役) = 9 - 3i

z = x + yi、z の共役 = x − yi とおきます。x、y は実数です。左辺を順に整理すると、

z + 2(z の共役)
= (x + yi) + 2(x - yi)
= x + yi + 2x - 2yi
= 3x - yi

実部と虚部をそれぞれ比較します。虚部は「-y」であって「y」ではありません。

3x = 9
-y = -3
x = 3
 y = 3

よって候補は z = 3 + 3i です。共役は 3 − 3i なので、もとの左辺に戻すと、

(3 + 3i) + 2(3 - 3i)
= 3 + 3i + 6 - 6i
= 9 - 3i

右辺に一致します。実部の式は x を、虚部の式は y をそれぞれ1つに定めるので、ほかに解はありません。図2のように実部の条件 x = 3 と虚部の条件 y = 3 はそれぞれ縦の直線と横の直線を表し、その交点が答えに対応します。線を描くこと自体が計算の代わりになるのではなく、2つの条件を同時に満たす点を確認するための図です。

この例では2つの係数がどちらも0ではありませんでした。もし虚部の式が 0y = 0 なら y は任意です。一方、0y = 2 なら満たす y はありません。分母が0になるときに機械的に割らず、残った等式に戻ることが、後の分類につながります。

標準例題：係数にも i がある場合

次の方程式を満たす複素数 z を、実部と虚部を分数で表す a + bi の形で求めてください。

(1 + i)z + (2 - i)(z の共役) = 7 + i

z = x + yi とおくと、共役は x − yi です。まず各項を別々に展開し、i² = -1 を使います。

(1 + i)z
= (1 + i)(x + yi)
= x + yi + xi + yi²
= (x - y) + (x + y)i

(2 - i)(z の共役)
= (2 - i)(x - yi)
= 2x - 2yi - xi + yi²
= (2x - y) + (-x - 2y)i

2つを足して右辺と比べます。

(3x - 2y) - yi = 7 + i
3x - 2y = 7
-y = 1
y = -1
3x + 2 = 7
3x = 5
x = 5/3

したがって z = 5/3 − i です。途中の3は0でないため、x を求める割り算は可能です。逆に連立式を満たす x、y を使えば上の変形を逆にたどれるので、この候補以外の解はありません。

元の式への代入も、分数のまま確かめます。z の共役 = 5/3 + i です。

(1 + i)(5/3 - i) = 8/3 + (2/3)i
(2 - i)(5/3 + i) = 13/3 + (1/3)i
(8/3 + (2/3)i) + (13/3 + (1/3)i) = 7 + i

係数に i が付く場合、実部の式と虚部の式に x と y の両方が現れることがあります。この例では足し合わせた結果、虚部から先に y が決まりました。実部から先に x を表して代入しても同じ解に至りますが、係数で割るときはそれが0でないことを確認します。

発展例題：文字によって解の個数が変わる

t を実数とします。次の方程式の解の個数を t の値によって分類し、解がある場合は z を a + bi の形で表してください。a、b は実数とします。

tz + (z の共役) = 2 + (t - 1)i

z = x + yi とおくと、t は実数なので次のように整理できます。

t(x + yi) + (x - yi) = 2 + (t - 1)i
(t + 1)x + (t - 1)yi = 2 + (t - 1)i
(t + 1)x = 2
(t - 1)y = t - 1

ここで t + 1 と t − 1 が0になる場合を先に分けます。どちらも0でないときに限り、両辺をそれぞれの係数で割れます。

t が -1 でも 1 でもない場合は、

x = 2/(t + 1)
y = (t - 1)/(t - 1)
y = 1

よって解は z = 2/(t + 1) + i の1個です。t + 1 と t − 1 はともに0でないため、この変形に問題はありません。

t = 1 の場合、元の2本の実数の式は 2x = 2、0y = 0 となります。x = 1、y は任意の実数ですから、解は z = 1 + yi の形で無数にあります。0y = 0 は y = 0 を意味しません。どの実数 y を入れても成立する式です。

t = -1 の場合は、実部の式が 0x = 2 となります。これを満たす実数 x はないので、虚部の式を満たす y があっても解はありません。矛盾する条件が1つでもあると、両方を同時に満たす z は存在しません。

分類を元の複素数の式に戻して確かめます。t が -1、1 のいずれでもない場合、x = 2/(t + 1)、y = 1 を左辺に入れた実部は (t + 1)・2/(t + 1) = 2、虚部は (t − 1)・1 = t − 1 です。したがって右辺と一致します。t = 1 なら z + (z の共役) = 2 で、1 + yi を入れると y によらず 2 です。t = -1 なら左辺は実部が0の複素数となり、実部が2の右辺とは一致しません。解なしの結論も元の式で確認できます。

この問題では t が実数であることを使って、tz の実部を tx、虚部を ty としました。t が複素数なら同じ整理はできず、その実部と虚部にも分ける必要があります。また、t = 1 の無数の解は実部が1という条件を満たす点の集まりです。個数の判定に必要なのは、自由に選べる実数が残るかどうかです。

誤答からたどる、独立ではない2つの値

次の方程式について、z とその共役を独立した複素数 z、w として「z + w = 2 だから z = 0、w = 2 も解」とした答案を考えます。

z + (z の共役) = 2

計算された2つの値は、確かに z + w = 2 を満たします。しかし z = 0 の共役は 0 であり、w = 2 ではありません。図3のように、式を満たすために別々に選んだ2点が共役の関係にあるとは限りません。もとの左辺に z = 0 を入れると 0 + 0 = 0 なので、右辺の2と一致しません。

原因は、w = z の共役という条件を連立の途中で落としたことです。修正するには z = x + yi とおき、共役を x − yi と表します。すると左辺は 2x です。

(x + yi) + (x - yi) = 2
2x = 2
x = 1

虚部については 0 = 0 ですから、y は任意の実数です。解は z = 1 + yi であり、これを入れると (1 + yi) + (1 − yi) = 2 となります。たとえば y = 0 も y = 2 も条件を満たしますが、z = 0 は含まれません。

別の誤りとして、z と共役を別文字とおいて元の式とその共役の式を連立し、得た値が互いに共役か調べずに終える場合があります。元の式の共役を取るときは係数も右辺も共役にします。その連立で候補を絞れても、最後には共役関係と元の式を両方確認します。2本の式が同じ条件に戻る場合もあり、形式上2本あることから一意性を決めることはできません。

練習問題

各問の z は複素数です。実数の文字を使う場合はその範囲を明記し、解は a + bi の形で表してください。分数は正確な形のまま扱います。

1. z + 3(z の共役) = 8 − 4i を解いてください。
2. (2 + i)z + (z の共役) = 8 + 7i を解いてください。
3. z = 2 + yi、y は実数とします。(3 − i)z が実数となる y と、そのときの z を求めてください。
4. t を実数とします。tz − (z の共役) = (t − 1) + (t + 2)i の解の個数を t によって分類し、解を求めてください。
5. 実数 c に対し、z + i(z の共役) = 4 + ci を考えます。解が存在する c の条件と、そのときの解を求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 共役の虚部の符号を保つ

z = x + yi、x、y は実数とします。

(x + yi) + 3(x - yi) = 8 - 4i
4x - 2yi = 8 - 4i
4x = 8
-2y = -4
x = 2
 y = 2

解は z = 2 + 2i です。元の左辺は (2 + 2i) + 3(2 − 2i) = 8 − 4i で、右辺に戻ります。実部と虚部の条件がそれぞれ1つずつ値を定めます。

2. 交差する項を集める

z = x + yi、x、y は実数とします。i² = -1 に注意して展開します。

(2 + i)(x + yi) + (x - yi) = 8 + 7i
(2x - y) + (x + 2y)i + x - yi = 8 + 7i
(3x - y) + (x + y)i = 8 + 7i
3x - y = 8
x + y = 7
4x = 15
x = 15/4
y = 7 - 15/4
y = 13/4

解は z = 15/4 + (13/4)i です。元の左辺では、(2 + i)z = 17/4 + (41/4)i、共役は 15/4 − (13/4)i です。和は 32/4 + (28/4)i = 8 + 7i となり、指定された等式に一致します。

3. 実数条件は虚部を0にする

(3 - i)(2 + yi)
= 6 + 3yi - 2i - yi²
= (6 + y) + (3y - 2)i

実数となる条件は 3y − 2 = 0 です。実部は0と限らないので、そのまま残します。

3y = 2
y = 2/3
z = 2 + (2/3)i

元の積に戻すと (3 − i)(2 + (2/3)i) = 20/3 です。虚部が0なので確かに実数であり、実部が0である必要はありません。一次式 3y − 2 = 0 の解は1つです。

4. 0になる係数で場合を分ける

z = x + yi、x、y は実数とおきます。

t(x + yi) - (x - yi) = (t - 1) + (t + 2)i
(t - 1)x + (t + 1)yi = (t - 1) + (t + 2)i
(t - 1)x = t - 1
(t + 1)y = t + 2

t が 1 でも -1 でもなければ、両方の係数が0でないので、

x = (t - 1)/(t - 1)
x = 1
y = (t + 2)/(t + 1)

解は z = 1 + ((t + 2)/(t + 1))i の1個です。元の左辺の実部は t − 1、虚部は (t + 1)(t + 2)/(t + 1) = t + 2 となります。

t = 1 では 0x = 0、2y = 3 です。x は任意の実数、y = 3/2 なので、解は z = x + (3/2)i で無数にあります。元の左辺 z − (z の共役) に戻すと 3i となり、右辺にも一致します。

t = -1 では -2x = -2、0y = 1 です。後者は矛盾し、解はありません。元の式でも左辺の虚部は常に0ですが、右辺の虚部は1なので一致しません。

5. 2本の式が同じ条件になるとき

z = x + yi、x、y は実数とします。

(x + yi) + i(x - yi) = 4 + ci
(x + yi) + xi + y = 4 + ci
(x + y) + (x + y)i = 4 + ci
x + y = 4
x + y = c

同じ x + y に異なる値を要求することはできないので、c が4でないときは解がありません。c = 4 のとき、2本は同じ条件となります。x を任意の実数とすれば y = 4 − x ですから、解は z = x + (4 − x)i で無数にあります。

この形を元に戻すと、z の共役は x − (4 − x)i です。したがって z + i(z の共役) の実部も虚部も x + (4 − x) = 4 となり、右辺 4 + 4i に一致します。c が4でないときは、元の左辺の実部と虚部が必ず等しいのに右辺では異なるため、解がないことも確認できます。

手元に残す要点

• 共役は z = x + yi に対して x − yi です。x、y は実数です。
• 複素数の等式では実部と虚部をそれぞれ等しくします。
• 実数条件は虚部が0という条件です。
• 文字を含む係数で割る前に0の場合を分け、矛盾と自由な変数を見ます。
• 答えを元の式と共役の関係に戻して確かめます。

途中のどこで止まったかを見分ける

符号を間違えたのか、実部と虚部の比較で条件を落としたのか、場合分けの前に割ったのかによって、見直す行は変わります。まず z = x + yi の下に共役を一行で書き、その次に展開後の実部と虚部を別々に示してみましょう。2本の実数の式が正しければ、その後の連立や分類に焦点を絞れます。

個別指導で確かめるなら、0y = 0 と 0y = 2 の違いを自分の言葉で説明し、求めた候補を元の複素数の式へ代入するところまで見ます。値が1つに決まる場合だけでなく、任意の実数が残る場合と矛盾する場合も扱うと、解の個数の判断が確かになります。共役の関係を保つことが、候補を正しい解へ絞る鍵です。