高校数学A 偶奇による整数の証明—偶数と奇数の式を使い尽くして積や平方の性質を示す｜武蔵野個別指導塾

別々の奇数を2m+1と2n+1で表し、積や平方の性質と逆向きの主張を吟味する偶奇の証明です。

よくあるのは、2つの奇数をどちらも 2k+1 と書き、別々の整数を扱っているつもりになる場面です。同じ文字を使うと、2つの数は等しいという余計な条件が付きます。等しくない奇数も含めて主張するには、文字を分けてから計算します。整数を偶数と奇数に分ける理由から、逆向きの主張が成り立つかを調べるところまで、式の意味を追いましょう。

どの向きに何を示すのか

偶奇の証明には、例えば次の3つの型があります。2つの整数の偶奇が指定され、和や積の偶奇を示す型。整数の平方の偶奇から、もとの整数の偶奇を判断する型。そして、ある主張の逆が成り立つかを調べる型です。いずれも、何を仮定して何を結論にするのかを最初に区別します。

「積が偶数なら少なくとも一方が偶数」と「一方が偶数なら積が偶数」は、仮定と結論を入れ替えた別の主張です。一方を示しただけでは、もう一方を示したことになりません。逆が正しいことも誤っていることもあるので、証明または反例で判定します。

扱う文字は、特に断らない限り負の数と0を含む整数です。偶奇は正の数に限った分類ではありません。数学Aの整数の学習範囲にある倍数の考え方を使い、数列の一般論には進まず、2で割れるかどうかに焦点を当てます。

2つの形が整数を覆う理由

整数を2で割ると、余りは0または1です。余りが0の整数が偶数、余りが1の整数が奇数です。したがって、ある整数 k を使って偶数は 2k、奇数は 2k+1 と表せます。k も整数であることが重要です。例えば負の奇数 -5 は k = -3 として 2k+1 に入ります。0は 2・0 なので偶数です。

逆に、整数 k に対して 2k は2の倍数であり、2k+1 は2の倍数より1大きいので奇数です。偶数と奇数は重なりません。もし 2a = 2b+1 なら 2(a-b) = 1 となり、左辺は2の倍数なのに右辺はそうではないからです。この2種類で整数を漏れなく分けられることが、場合分けの土台です。

図1のように、整数 x と y の偶奇を別々に決めれば4通りです。x と y にそれぞれ使う整数の文字も別に置きます。たとえ結果的に2つの値が等しい場合でも、別の文字を使う書き方にはその場合が含まれます。

図1の各行は、例えば奇数と奇数なら x = 2m+1、y = 2n+1 と表します。m と n はそれぞれ任意の整数で、等しくても異なっていてもかまいません。同じ k にすると x = y に限られ、異なる奇数の組を説明できません。

積の偶奇は4通りを計算して判断できます。一方でも偶数なら、その因数に2が含まれるため積も2の倍数です。両方が奇数なら、(2m+1)(2n+1) = 2(2mn+m+n)+1 で奇数です。括弧の中が整数であることまで言えば、奇数の定義に戻れます。

平方は同じ整数を2回掛けた積です。偶数の平方は偶数、奇数の平方は奇数です。さらに、奇数の平方を2で割った余りが1であることから、平方が偶数ならもとの整数も偶数だとわかります。もしもとが奇数なら平方も奇数となり、偶数という仮定に反するためです。このように結論が成り立たない場合を調べる方法も使えます。

基本例題：異なる奇数の積

問題：a、b をそれぞれ整数とし、どちらも奇数とします。積 ab が奇数であることを証明してください。a と b が等しいとは限りません。

まず、a と b を独立に表します。m、n を整数として、a = 2m+1、b = 2n+1 とおけます。図2のように積を展開し、2の倍数と1に分けます。

ab = (2m+1)(2n+1)
   = 4mn+2m+2n+1
   = 2(2mn+m+n)+1

m、n は整数なので、2mn+m+n も整数です。よって ab は整数の2倍に1を足した形であり、奇数です。これで任意の2つの奇数について示せました。図2の m と n は別々に選べるので、同じ奇数を2回掛ける場合も、異なる奇数を掛ける場合も含みます。

式の右辺を奇数の形にまとめる前に「明らかに奇数」とするより、括弧内が整数だと書くと定義とのつながりが残ります。逆に、いくつかの奇数の積を計算して奇数だったとしても、それだけでは無限にある組を証明したことにはなりません。

検算として a = -3、b = 7 を代入します。ともに奇数で、積は -21 です。-21 = 2・(-11)+1 なので結論に合います。ただし、この1組の確認は上の一般的な証明の代わりではありません。

標準例題：平方からもとの数へ戻る

問題：整数 x、y について、x²+y² が偶数なら x と y は同じ偶奇であることを証明してください。また、逆の主張も成り立つか判定し、理由を示してください。答えは両方の向きを文章で述べてください。

まず、仮定は平方の和が偶数であることです。結論が成り立たない場合は、x と y の一方が偶数、他方が奇数です。例えば x = 2m、y = 2n+1 とすると、m、n は整数で、次のようになります。

x²+y² = (2m)²+(2n+1)²
       = 4m²+4n²+4n+1
       = 2(2m²+2n²+2n)+1

これは奇数であり、仮定に反します。x が奇数、y が偶数の場合も和の順序を入れ替えれば同じです。異なる偶奇の2通りを除いたので、残るのは両方偶数または両方奇数です。したがって x と y は同じ偶奇です。

逆は「x と y が同じ偶奇なら x²+y² は偶数」です。両方偶数なら、x = 2m、y = 2n とおけるので、

x²+y² = 4m²+4n²
       = 2(2m²+2n²)

となり偶数です。両方奇数なら、x = 2m+1、y = 2n+1 とおけるので、

x²+y² = 4m²+4m+1+4n²+4n+1
       = 2(2m²+2m+2n²+2n+1)

となり、こちらも偶数です。2つの場合を尽くしたので、逆も成り立ちます。例えば x = -3、y = 5 では平方の和は 9+25 = 34 で偶数です。別の偶奇の組 x = 2、y = -3 では平方の和は 4+9 = 13 で奇数となり、場合分けと一致します。

発展例題：積の偶奇と逆の吟味

問題：整数 a、b について、a+b が奇数なら ab は偶数であることを証明してください。さらに「ab が偶数なら a+b は奇数」という逆の主張について、成否を判定し、成り立たない場合は整数の組を1組示してください。

和が奇数という仮定から、2つの数が異なる偶奇であることを先に示します。両方偶数とすると、整数 m、n を用いて a = 2m、b = 2n なので、

a+b = 2m+2n
    = 2(m+n)

となり偶数です。両方奇数とすると a = 2m+1、b = 2n+1 なので、

a+b = (2m+1)+(2n+1)
    = 2(m+n+1)

となり、やはり偶数です。いずれも仮定に反するため、a、b は異なる偶奇です。したがって、一方は整数 t を用いて 2t と書けます。他方を整数 u とすれば、

ab = (2t)u
   = 2(tu)

です。tu は整数なので、ab は偶数です。ここではどちらが偶数かを決める必要はありません。一方に2を因数として取り出せれば、積が偶数であることを示せます。

逆は成り立ちません。反例として a = 0、b = 4 とすると、ab = 0 で偶数ですが、a+b = 4 も偶数です。逆の仮定は満たし、その結論は満たさないため、この1組で逆の主張を否定できます。両方が偶数の場合を見落とすと、積が偶数だから一方が奇数だと誤ってしまいます。

もとの主張についても、例えば a = -2、b = 7 なら和は5で奇数、積は -14 で偶数です。この代入は条件と結論の照合です。一般の証明は、偶数同士と奇数同士を除き、残る場合を調べた上の議論が担っています。

誤答をほどく：文字の共有と逆向き

「2つの奇数を a = 2k+1、b = 2k+1 とおく。だから積は奇数」という答案を考えます。式自体は同じ奇数の平方について正しく計算できても、問題の a、b が異なる場合を扱えていません。図3のように同じ文字では等しい組に範囲が狭まります。

図3の修正では a = 2m+1、b = 2n+1 とし、m、n を独立した整数とします。m = n の場合も排除しないので、等しい組と異なる組の両方を扱えます。「別の文字」から「必ず異なる値」と読み違えないことも大切です。

もう1つの誤りは、「奇数の平方は奇数」から「平方が奇数ならもとの数は奇数」と、根拠なしに矢印を逆向きにすることです。この逆は実際には正しいものの、偶数の平方は偶数であることを使い、もとの数が偶数なら仮定に反すると示す必要があります。答えが正しい場合でも、逆を無条件に使う推論は修正します。

逆が誤る例もあります。「2つとも奇数なら積は奇数」は正しいですが、その逆を判定するときは別途考えます。こちらは一方が偶数なら積が偶数なので、積が奇数なら両方奇数と示せます。これに対し発展例題の逆は、両方偶数という反例で失敗しました。元の主張が正しいかどうかと、逆が正しいかどうかは別々に調べます。

自分で試す5問

いずれも文字は0と負の数を含む整数です。証明問題は仮定から結論まで示し、判定問題は理由または反例を添えてください。

1. 奇数 p と偶数 q の和 p+q が奇数であることを証明してください。
2. 整数 r が奇数なら r²-1 が偶数であることを証明してください。
3. 整数 s、t の積 st が奇数なら、s と t はともに奇数であることを証明してください。
4. 「整数 u、v の和が偶数なら、u と v はともに偶数である」という主張の成否を判定してください。
5. 整数 w について、w² が奇数であることと w が奇数であることが互いに導けると証明してください。

解答と解き方

1. p は奇数、q は偶数なので、整数 m、n を使って p = 2m+1、q = 2n とおきます。

p+q = (2m+1)+2n
    = 2(m+n)+1

m+n は整数ですから p+q は奇数です。例えば p = -7、q = 6 では和は -1 で、確かに奇数です。異なる条件を持つ2つの数に別々の文字を与えた点も確かめます。

2. r = 2k+1 とおきます。k は整数です。

r²-1 = (2k+1)²-1
     = 4k²+4k
     = 2(2k²+2k)

括弧内は整数なので r²-1 は偶数です。r = -5 を戻すと、25-1 = 24 で2の倍数です。r の符号に制限を加えずに証明できています。

3. s または t が偶数だと仮定します。例えば s = 2k なら、

st = (2k)t
   = 2(kt)

となって積は偶数です。t が偶数の場合も同様で、いずれも積が奇数という仮定に反します。よってどちらも偶数ではありません。整数は偶数か奇数なので、s、t はともに奇数です。s = -1、t = 9 なら積は -9 で、主張に合います。

4. 主張は成り立ちません。u = 3、v = 7 とすると、和は 3+7 = 10 で偶数ですが、u と v はともに奇数です。与えられた仮定が成立し、結論が成立しないので反例です。和が偶数になるのは偶数同士のほかに奇数同士の場合もあります。

5. まず w が奇数なら、整数 k を用いて w = 2k+1 とおけます。

w² = (2k+1)²
   = 4k²+4k+1
   = 2(2k²+2k)+1

よって w² は奇数です。逆に w² が奇数で、w が偶数だとすると w = 2h とおけて、

w² = (2h)²
   = 2(2h²)

となり、w² は偶数です。これは仮定に反するため w は奇数です。例えば w = -7 なら w² = 49 で両方奇数、w = 0 なら平方も偶数です。2方向をそれぞれ示したことで、互いに導けると結論できます。

手元に残す要点

整数は偶数 2k と奇数 2k+1 のどちらかです。 異なる整数は別の文字で表し、等しい場合も含めます。 平方や積を2の倍数、またはそれに1を加えた形へ直します。 逆向きの主張は、別に証明するか反例で否定します。

説明が止まったときの見分け方

式を展開できても、括弧の中が整数である理由を言えない場合は、2k または 2k+1 の定義に戻ります。偶数と奇数のどちらにも入らない整数があると思っている場合は、負の数と0を2で割った余りを使って分類を確認します。2つの文字を同じにしてしまう場合は、異なる奇数の組を1つ挙げて、その組を表せるかを問い直します。

個別指導で確かめるなら、平方の和の例で4通りのうち何を除き、何が残ったかを本人の言葉で説明してもらいます。続いて発展例の逆について、反例が仮定を満たし結論を満たさないかを順に確かめます。偶奇の分類と主張の向きがそろえば、式は証明の根拠として働きます。