高校数学C 複素数変換と軌跡—逆の式と除外点から動く点の像を決定する｜武蔵野個別指導塾

逆数を含む式で円が直線に移る例を追い、逆の式と除外点から像を絞る複素数変換の軌跡を考えます。

よくあるのは、理系高3が式変形で消えた点を、動いた後の点の軌跡に戻してしまう場面です。円の方程式が出ると、円周の全点が答えに見えます。しかし元の点を代入できない場所や、逆にたどれない場所があれば、その点は像に入りません。元の点と移動後の点を区別し、行きと帰りの両方を確かめます。

どの条件を先に見るか

例えば、z が円周を動き、w = az + b で移る場合は、a が 0 でなければ z = (w − b)/a と戻せます。元の円の式に代入すれば、w の満たす式が得られます。a = 0 なら逆の式は作れず、像は定点 b です。まず係数を調べると、割れない場合を見落としません。

次に、w = 1/z のように分母がある場合です。元の条件が z = 0 を許していても、この変換ではそこを除きます。また、有限の z から w = 0 は得られません。逆の式 z = 1/w を使う際には w ≠ 0 という条件が必要です。

さらに、w = (az + b)/(cz + d) の形でも、具体的な数で整理して逆の式が作れます。ただし分母が 0 の点は最初から除き、逆に解くときの係数が 0 になる w は別に調べます。ここでは一次式と逆数を組み合わせた具体例に限り、一般の変換の分類には進みません。

像と逆向きの確認

軌跡は、指定された条件を満たす点が動いたとき、その点が実際に通る点の集まりです。元の点を z、移動後を w とすると、求めたいのは w の集まりです。z の条件と変換式を同時に使い、w に関する条件に直します。

図1のように、元の集合から像へ矢印を引くとき、順方向だけでは像が候補の図形に含まれることしか示せません。候補上の任意の w に対して、条件を満たす z を作れるかが逆方向の確認です。逆の式が作れない w は、元の変換式に直接代入して到達可能か判定します。

図1の左右はそれぞれ元の平面と像の平面を表します。白い丸は候補の中で除く点です。候補の方程式を満たすことと、変換で到達できることは別の条件です。

計算の順番は次のように整理できます。最初に元の集合と分母非零を併記し、次に w の式を z について解きます。逆の式を元の条件へ代入したら、得られた方程式を描きます。最後に、逆の式で割った量が 0 となる点を調べ、それ以外の各点から元の条件へ戻れることを示します。

絶対値の等式を二乗するとき、両辺は 0 以上なので同値です。また、非零の数を掛けて整理する操作は、非零の条件を残す限り逆向きにも使えます。条件を書かずに分母を払うと、もとの式が定義されなかった点が方程式の解として混入することがあります。

逆の式を作る途中で w の係数が 0 になる場合、直ちに解なしと決めてはいけません。その場合を元の等式に代入し、矛盾するか、元の点が複数残るかを調べます。例えば定数への変換では逆向きが一意でないため、逆の式を立てず、元の集合が空でないことを確かめて像を定点とします。逆向きの確認は、公式の形に当てはめる手順ではなく、候補を実際に作れるかという問いです。

基本例題：原点を通る円の像

点 z は |z − 1| = 1 を満たし、z ≠ 0 とします。w = 1/z のとき、w の軌跡を直線の式と除外点を用いて表してください。

まず w = 1/z なので w ≠ 0 です。逆に z = 1/w と表せます。これを元の円の式に代入し、w = u + vi とおきます。ただし u、v は実数です。

|1/w - 1| = 1
|1 - w|/|w| = 1
|1 - w| = |w|
(1 - u)² + v² = u² + v²
1 - 2u = 0
u = 1/2

ここで |w| ≠ 0 を使いました。得られた直線上では実部が 1/2 なので、w = 0 はそもそもありません。したがって候補に別の除外点はありません。図2のように元の円から原点を除き、像は直線全体です。

逆も確かめます。実部が 1/2 の任意の w は非零なので z = 1/w が定まります。上の等式を逆にたどれば |z − 1| = 1 で、z ≠ 0 です。したがって直線上の各点に対応する元の点があります。例えば w = 1/2 なら z = 2 で、|2 − 1| = 1 を満たします。図2の矢印はこの対応を示します。

この円は原点を通るので、原点に近づく元の点に対して像の絶対値は大きくなります。ただし原点そのものは代入しません。図の直線が画面外へ延びることと、無限遠を通常の点として加えることは区別します。

標準例題：直線から円へ

点 z は実部が 2 の直線上を動きます。w = 1/z の軌跡を、中心と半径を示した円から必要な点を除いて表してください。

この直線は原点を通らないため、どの z も非零です。それでも有限の z の逆数は 0 にならないので、w ≠ 0 を保持します。w = u + vi とおくと、逆の式は次の形です。

z = 1/w
  = (u - vi)/(u² + v²)
実部 z = u/(u² + v²)

実部が 2 という条件と、正の数 u² + v² を用いて整理します。

u/(u² + v²) = 2
u = 2u² + 2v²
u² - u/2 + v² = 0
(u - 1/4)² + v² = 1/16

候補は中心 1/4、半径 1/4 の円です。しかし w = 0 もこの方程式を満たします。元の式 w = 1/z は 0 を与えないので、この点を除きます。

逆に、この円上で w ≠ 0 なら u² + v² > 0 です。平方完成を逆にたどって u/(u² + v²) = 2 を得るので、z = 1/w の実部は 2 です。よって円から原点を除いた全点が実際に得られます。例えば w = 1/2 なら z = 2 となり、元の直線の条件に戻ります。

基本例題との分かれ目は、方程式が w = 0 を含むかどうかです。逆数が 0 を取らないことはどちらも同じですが、基本例題の直線は原点を通らず、ここで得た円は原点を通ります。除外の条件を機械的に付けるのでなく、候補上にその点があるかまで調べます。

発展例題：分数式の定数を分ける

点 z は |z| = 2 を満たします。w = (z + 1)/(z − 1) の軌跡を、中心と半径を明示して求めてください。

元の円周上では |z| = 2 なので z ≠ 1 です。変換式を整理すると、逆の式が得られます。

w(z - 1) = z + 1
wz - w = z + 1
(w - 1)z = w + 1

w = 1 なら最後の式は 0 = 2 となり、元の z は存在しません。w ≠ 1 のとき、z = (w + 1)/(w − 1) です。元の絶対値条件に戻します。

|(w + 1)/(w - 1)| = 2
|w + 1| = 2|w - 1|
(u + 1)² + v² = 4((u - 1)² + v²)
3u² - 10u + 3v² + 3 = 0
(u - 5/3)² + v² = 16/9

したがって候補は中心 5/3、半径 4/3 の円です。この円に w = 1 を代入すると左辺は 4/9 で、右辺 16/9 と一致しません。到達しない w = 1 は候補上にないため、円周全体が答えです。

逆に円周上の任意の w は 1 と異なります。z = (w + 1)/(w − 1) と置けば、上の計算を逆にたどり |z| = 2 です。また z = 1 と仮定すると w + 1 = w − 1 となって矛盾します。元の分母も非零なので、その w は確かに得られます。円上の w = 3 に対して z = 2 と戻ることも、元の式で確かめられます。

別の見方として、最初に w = 1 + 2/(z − 1) と分ける方法もあります。z − 1 の円と逆数を追って最後に平行移動しますが、各段階の除外点を記録する必要があります。逆の式で一度に戻す方法なら、候補上の任意の点に対する十分性を直接示せます。

誤答を元の式に戻す

標準例題で「(u − 1/4)² + v² = 1/16 の円周」と答える誤りを考えます。平方完成までは正しいものの、w = 0 を含めてしまっています。原因は、u/(u² + v²) = 2 の分母を払う前に必要だった u² + v² ≠ 0 を捨てたことです。

図3のように、候補の円は原点を通ります。原点では逆の式 z = 1/w が定義されず、元の w = 1/z からも得られません。そこで原点に白丸を付け、「原点を除く」と明記します。

図3の円の他の点は逆の式で元へ戻せます。穴を付ける理由を「割れなかったから」と言うだけでなく、元の変換がその点を取れないことまで言えば、除外の根拠が明確です。

反対に、逆の式の分母を見て、候補上にない点を円から除くという表現も不正確です。基本例題で w = 0 を調べれば直線上にありません。発展例題でも w = 1 は候補の円上にありません。候補との共通部分を確認してから答えを書きます。

また、元の分母が 0 の点を元の集合から除く操作と、像の点を除く操作は同じではありません。元の点 z = 0 が使えないことから、像で何が欠けるかは変換式と元の集合を使って調べます。名前が似ている点をそのまま移してはいけません。

練習：像を求める5問

各問で軌跡を円または直線の式と必要な除外点で表し、逆向きも確かめてください。u、v は w = u + vi の実部と虚部です。

1. |z − 3| = 3、z ≠ 0 のとき、w = 1/z の軌跡を求めてください。
2. z の実部が 3 のとき、w = 1/z の軌跡を求めてください。
3. |z| = 3 のとき、w = 2z − i の軌跡を求めてください。
4. |z| = 1 のとき、w = 1/(z − 2) の軌跡を求めてください。
5. |z| = 1、z ≠ 1 のとき、w = (z + 1)/(z − 1) の軌跡を求めてください。

解答と戻し方

1. w ≠ 0、z = 1/w として代入します。

|1/w - 3| = 3
|1 - 3w| = 3|w|
(1 - 3u)² + 9v² = 9u² + 9v²
1 - 6u = 0
u = 1/6

答えは実部 1/6 の直線全体です。この直線は原点を通らず、その任意の点から z = 1/w と戻せば元の円と z ≠ 0 を満たします。例えば w = 1/6 なら z = 6 で、|6 − 3| = 3 です。

2. w ≠ 0 とし、z = (u − vi)/(u² + v²) を代入します。

u/(u² + v²) = 3
u² - u/3 + v² = 0
(u - 1/6)² + v² = 1/36

答えは中心 1/6、半径 1/6 の円から原点を除いたものです。円上の非零の w について計算を逆にたどると、z の実部は 3 です。w = 1/3 では z = 3 となり、元の直線にあります。

3. 係数 2 は非零なので z = (w + i)/2 と戻せます。

|(w + i)/2| = 3
|w + i| = 6

答えは中心 -i、半径 6 の円周です。円上の任意の w に逆の式を使うと |z| = 3 です。例えば w = 6 − i に対して z = 3 であり、変換式も元の値を与えます。除外点はありません。

4. |z| = 1 では z ≠ 2 なので変換できます。w ≠ 0 として z = 2 + 1/w を代入します。

|2 + 1/w| = 1
|2w + 1| = |w|
(2u + 1)² + 4v² = u² + v²
3u² + 4u + 3v² + 1 = 0
(u + 2/3)² + v² = 1/9

答えは中心 -2/3、半径 1/3 の円周です。原点はこの円上にありません。円上の任意の w から z = 2 + 1/w と戻すと |z| = 1 で、z ≠ 2 も成り立ちます。w = -1 なら z = 1 で、元の条件と式を満たします。

5. 元の条件では z = 1 を除きます。変換式を z について解きます。

w(z - 1) = z + 1
(w - 1)z = w + 1
z = (w + 1)/(w - 1)

w = 1 は元の式に代入すると矛盾するため得られません。w ≠ 1 で |z| = 1 を使います。

|w + 1| = |w - 1|
(u + 1)² + v² = (u - 1)² + v²
4u = 0
u = 0

答えは虚軸全体です。w = 1 は虚軸上にないので、新たな除外点はありません。虚軸上の任意の w から逆の式で戻すと |z| = 1、かつ z ≠ 1 です。w = 0 なら z = -1 で、元の変換でも 0 が得られます。

要点

元の分母が非零か先に確かめます。
逆の式を作る際に割る量の非零条件を残します。
候補の図形と到達しない点の重なりを調べます。
候補の各点から元の条件へ戻して軌跡を確定します。

途中式から見えるつまずき

候補の円を描けても除外点の根拠を言えないときは、分母を払う直前の式へ戻ります。そこに書かれた非零条件が何を保証したか、元の変換でも同じ点を取れないかを順に確かめます。

個別指導で確認するなら、まず候補上の具体的な1点から z を求め、元の条件に戻る計算を説明してもらいます。次に候補上の任意の点へ同じ操作を広げ、逆の式の分母が消える場合を別に調べます。行きと帰りがつながると、円や直線の方程式がそのまま像になるかを自分で判定できます。