高校数学III 微分法の応用｜接線・増減・グラフから不等式と近似へ｜武蔵野個別指導塾

数学IIIの微分計算を学んだ理系高校生が、接線と法線、平均値の定理、増減と極値、凹凸、漸近線、最大最小、不等式と方程式、運動と近似を学ぶ30本の目次です。基本・標準・発展の例題と練習問題を通じて、公式を使う条件と答えを元の場面に戻す確認の手順をたどれます。

接点の置き方に迷うときは接線の節から、増減表で止まるときは零点と定義域の区切り方から読み進めてください。平均値の定理は連続性と微分可能性の条件を確かめて使います。

概形を描けるようになったら、区間上の最大最小、不等式、実数解の個数へ進みます。運動では速度の符号と速さを分け、近似では正確な値との違いと誤差の向きを確かめます。

接線と法線

• 高校数学III 接点がわかる接線—関数値と微分係数を分けて直線の式を組み立てる
• 高校数学III 曲線外の点からの接線—接点を文字で置いて通過条件から候補を絞る
• 高校数学III 接線の本数—接点の方程式の増減から与点の位置で場合分けする
• 高校数学III 平行な接線—傾きの条件から接点を探して直線の一致を調べる
• 高校数学III 共通接線—二つの接点の傾きと切片を同時にそろえる
• 高校数学III 法線の方程式—接線との垂直条件と傾きが零の場合を分ける

平均値の定理と極値

• 高校数学III ロルの定理—閉区間と開区間の条件を分けて水平接線を探す
• 高校数学III 平均値の定理の点—割線の傾きと等しい微分係数を区間内で求める
• 高校数学III 平均値の定理による評価—導関数の上下限から関数値の差を挟む
• 高校数学III 増減表の区切り方—導関数の零点と定義域の切れ目を区別して並べる
• 高校数学III 停留点と極値—導関数の符号が変わるかを左右から判定する
• 高校数学III 極値を持つ条件—文字を含む導関数の零点と符号変化を分類する
• 高校数学III 指数対数関数の極値—正の因子を分けて符号判定と値の代入を進める

凹凸・漸近線と概形

• 高校数学III グラフの凹凸—第二次導関数の符号と接線の位置を対応させる
• 高校数学III 変曲点の判定—第二次導関数の零点から凹凸の変化を確かめる
• 高校数学III 垂直な漸近線—分母の零点の左右極限と除去できる穴を見分ける
• 高校数学III 水平斜めの漸近線—無限遠で直線との差が零に近づくことを示す
• 高校数学III 分数無理関数の概形—定義域と増減と凹凸を一枚の図にまとめる
• 高校数学III 指数対数関数の概形—極値と変曲点と端の振る舞いをつなぐ

最大最小・不等式と方程式

• 高校数学III 区間上の最大最小—端点と内点の候補を比べて存在まで答える
• 高校数学III 動く区間の最大最小—区間端と極値点の位置関係で場合分けする
• 高校数学III 図形量の最適化—長さの制約を定義域へ戻して最大最小を決める
• 高校数学III 微分による不等式証明—両辺の差の増減と基準点から大小を示す
• 高校数学III 常に成り立つ不等式—関数の値域から文字の範囲と境界を決める
• 高校数学III 方程式の解の存在と一意性—連続性と単調性を別の根拠にして示す
• 高校数学III 方程式の実数解の個数—水平線と曲線の交点を境界値ごとに数える

運動と近似

• 高校数学III 直線運動の速度と加速度—位置の微分と符号から進む向きを読み直す
• 高校数学III 平面運動の速度と加速度—座標を時刻で微分して速さと向きを区別する
• 高校数学III 接線による近似式—基準点と小さな変化を選んで関数値を見積もる
• 高校数学III 近似値の誤差評価—凹凸と平均値の定理から過大過小と幅を調べる

解答が合っていても、接点の条件、区間の端、等号の成立まで説明できるか確かめてください。迷った箇所の問題と途中式を並べると、戻るべき節を選べます。