高校数学III 平面運動の速度と加速度—座標を時刻で微分して速さと向きを区別する｜武蔵野個別指導塾

横と縦の座標を時刻で微分し、速度成分から速さを計算して、一方の成分が0になる瞬間と点が停止する瞬間を見分けます。

よくあるのは、理系高3の演習で、動く点の横方向の速度が0になった瞬間を見て、点が停止したと答える場面です。その瞬間にも縦方向に動いていれば、点は止まっていません。座標の式から2方向の変化を別々に追い、最後に同じ時刻で合わせると、見落としを防げます。ここでは平面上の位置、速度、加速度、速さと停止を扱います。

どんな問いとして現れるか

1つ目は、時刻を与えられて速度と加速度の成分、速さを求める問いです。位置に時刻を代入した点と、微分してから時刻を代入した速度は別の量です。単位も位置は長さ、速度は長さを時間で割ったもの、加速度はさらに時間で割ったものになります。何を代入する前の式とするかを区別します。

2つ目は、点が停止する時刻や、水平または鉛直に進む時刻を探す問いです。停止は2成分が同時に0であることを要求します。水平に進むには縦の速度が0、横の速度が0でないことが必要です。鉛直に進むときは横と縦を入れ替えます。両方0なら方向を指定できないため、候補から除きます。

3つ目は、速さがある値をとる時刻を調べる問いです。速さは負にならないので、成分の和ではなく各成分の2乗の和から求めます。2乗して方程式を解いた後には、時刻の範囲と元の速さを確認します。求めた時刻が範囲外であれば、式の解でも運動の答えにはなりません。

成分から運動を見る

時刻 t における位置を P(x(t), y(t)) とします。x と y がその時刻の近くで微分可能なら、速度の成分は (x′(t), y′(t)) です。これは短い時間の位置の変化を時間で割った値の極限を、横と縦についてそれぞれ求めたものです。速度をベクトルで表すときも、ここでは成分の組として読みます。

さらに x′ と y′ が微分可能なら、加速度の成分は (x″(t), y″(t)) です。加速度は速度の変化を表し、位置や速度の大きさそのものではありません。速度が0の瞬間でも加速度が0とは限りませんし、加速度が0の瞬間でも速度が0とは限りません。

速さは速度の大きさです。横と縦の成分を直角をはさむ2辺と考えると、三平方の定理から

速さ = √{(x′(t))² + (y′(t))²}

となります。根号は0以上を表します。横方向の成分が負なら左向き、縦方向の成分が正なら上向きというように、符号は向きの判断に使います。速さには向きが含まれません。

図1のように、横成分が0でも縦成分が残ると速度は0ではありません。2成分がともに0になったときに限って速さは0になり、その瞬間に停止します。停止した瞬間の前後で必ず折り返すとは限らず、前後の成分の符号を別に調べる必要があります。

図1の縦の矢印は、横への変化がない一方で縦への変化がある状態を表します。位置の座標が0であることも速度の成分が0であることとは別です。原点を通る点が必ず止まるわけではありません。

基本例題：縦向きに進む瞬間

点 P は 0 ≦ t ≦ 3 において、位置が x = t² − 2t、y = 2t + 1 で与えられます。長さの単位を m、時間の単位を s とします。t = 1 の位置、速度、加速度、速さを求め、停止しているか答えてください。値は整数または成分の組で表します。

位置の各式は多項式なので、指定区間の各時刻の近くで微分可能であり、2回微分もできます。まず時刻を代入して位置を求めます。

x(1) = 1² - 2・1 = -1
y(1) = 2・1 + 1 = 3
P = (-1, 3)

次に、時刻を代入する前の位置をそれぞれ微分します。

x′(t) = 2t - 2
y′(t) = 2
x″(t) = 2
y″(t) = 0

したがって t = 1 の速度は (0, 2) m/s、加速度は (2, 0) m/s² です。速さは次のように求まります。

速さ = √(0² + 2²)
     = 2 m/s

図2のように点は (-1, 3) にあり、この瞬間は上向きに進みます。横の速度が0でも縦の速度が2なので停止していません。加速度が右を向くことは、この瞬間の速度の向きが右という意味ではありません。

答えを位置の式に戻すと、t = 1 で確かに (-1, 3) です。また、その前後で y は時間が1 s 増えるごとに2 m 増えます。図2の上向きの速度と一致します。x は t = 1 で変化の向きを変えますが、y は増え続けるので点全体は停止しません。

標準例題：停止時刻をそろえる

点 Q の位置は 0 ≦ t ≦ 4 で x = t² − 4t + 5、y = t² − 4t + 1 です。単位は m と s です。停止する時刻とその位置、停止時の加速度を整数または成分の組で求めてください。

各座標は多項式なので必要な微分が可能です。停止の条件を立てる前に、速度と加速度を別々に作ります。

x′(t) = 2t - 4
y′(t) = 2t - 4
x″(t) = 2
y″(t) = 2

停止には両方の速度成分が0になる同じ t が必要です。ここでは2つの条件が一致します。

2t - 4 = 0
t = 2

2 は指定された区間に含まれます。位置に戻すと

x(2) = 4 - 8 + 5 = 1
y(2) = 4 - 8 + 1 = -3

です。したがって、2 s に (1, -3) m で停止し、そのときの加速度は (2, 2) m/s² です。元の位置の式に代入した2つの値が答えの座標と一致し、両速度成分も同じ時刻に0です。

なお、t が2より小さいときは両速度成分が負、2より大きいときは両方が正です。この例では停止の前後で進む向きが反対になります。加速度が0でなくても停止できることは、速度が一瞬0でもその後に変化することを考えると納得できます。もし2つの速度成分の零点が異なれば、各成分が別々に0になる時刻はあっても同時停止はありません。

発展例題：速さの条件を時刻に戻す

点 R の位置は 0 ≦ t ≦ 3 で x = t² − 2t、y = 2t² − 4t + 3 です。単位は m と s です。速さが 2√5 m/s となる時刻をすべて求め、それぞれの位置を整数の組で答えてください。

多項式の座標は区間を含む範囲で微分可能です。まず速度の成分を求め、共通の因子を見ます。

x′(t) = 2t - 2
y′(t) = 4t - 4
       = 2(2t - 2)

これにより速さは

√{(2t - 2)² + (4t - 4)²}
= √{5(2t - 2)²}
= √5 |2t - 2|

です。平方根を外すときに絶対値が必要です。速さの条件は次のように解けます。

√5 |2t - 2| = 2√5
|2t - 2| = 2
2t - 2 = 2 または 2t - 2 = -2
t = 2 または t = 0

どちらも指定区間に含まれます。t = 0 は端点ですが、この問題では含まれるので落としません。位置を元の式から求めます。

x(0) = 0、y(0) = 3
x(2) = 4 - 4 = 0
y(2) = 8 - 8 + 3 = 3

答えは 0 s と 2 s、位置はいずれも (0, 3) m です。同じ位置を通っていても、速度は順に (-2, -4)、(2, 4) m/s と異なります。それぞれの速さは √20 = 2√5 m/s なので、元の条件に戻しても成立します。位置が同じだから同じ時刻だと決めることはできません。

速さを2乗して解く方法でも、両辺が0以上であることを確認してから計算します。負の値を速さとして指定された場合は、方程式を2乗する前に実現しないと判断します。また時刻の範囲外の根が出た場合は、運動に戻して除きます。

条件が合わないときの調べ方

停止の候補が現れない場合も、答えのない理由を式で残します。たとえば横成分の零点と縦成分の零点が異なれば、それぞれの時刻で他方の成分を代入して確かめます。片方の成分が区間内で常に正なら、その時点で停止は起こりません。方程式を解く前に符号がわかる場合は、その根拠を書いて候補を除けます。

速さの方程式では、平方根を消す操作によって本来の条件を見失いやすくなります。右辺が負なら解はなく、右辺が0なら両成分が0であることと同じです。正の値なら候補を元の根号の式に代入し、指定時刻に実際にその大きさとなることを確認します。端点を含むかどうかも、方程式の計算後ではなく問題文に戻して判断します。

誤答を直す：片方の零点で止めない

基本例題で「t = 1 では x′(1) = 0 だから停止する」とする答えを考えます。横の変化がその瞬間に0という計算自体は正しいものの、縦の変化を調べていません。y′(1) = 2 なので、速度の組は (0, 2) です。図3のように、片方の条件からもう片方を勝手に0とする矢印は引けません。

修正するときは、速度成分を2行に並べ、両方が同じ時刻で0か確かめます。片方の式が恒等的に0なら、もう片方が0になる時刻を区間内で探します。両方が恒等的に0なら、指定区間の各時刻で停止しています。逆に零点が共有されなければ停止時刻はありません。

方向を問う場合にも同様の確認が必要です。横成分が0という条件は、縦成分が0でないことと組にして初めて鉛直方向に進む条件になります。図3の判定を速度全体に適用してから、向きを言葉に直します。

練習問題

いずれも座標の単位は m、時刻の単位は s とします。答えは整数、分数、根号または成分の組で正確に表してください。

1. 0 ≦ t ≦ 3 で x = t² + t、y = 3t − 2 とします。t = 2 の位置、速度、加速度、速さを求めてください。
2. 0 ≦ t ≦ 4 で x = t² − 6t、y = 2t² − 12t + 4 とします。停止時刻とその位置を求めてください。
3. 0 ≦ t ≦ 3 で x = t² − 2t、y = t² − 4t とします。停止する時刻があるか調べてください。
4. 0 ≦ t ≦ 4 で x = 2t + 1、y = t² − 6t とします。水平方向に進む時刻と、そのときの速度を求めてください。
5. 0 ≦ t ≦ 4 で x = t² − 4t、y = 3t² − 12t とします。速さが 4√10 m/s となる時刻と、それぞれの位置を求めてください。

練習問題の答えと道筋

各座標は多項式なので、指定された範囲で必要な微分が可能です。端点も、式がその外側に定義されている多項式として微分します。

1. 速度は (2t + 1, 3)、加速度は (2, 0) です。t = 2 で位置は (6, 4) m、速度は (5, 3) m/s、加速度は (2, 0) m/s²、速さは √34 m/s です。位置の式に2を代入すると (4 + 2, 6 − 2) = (6, 4) となり、速度の2成分の2乗の和も 25 + 9 = 34 です。

2. 速度は (2t − 6, 4t − 12) です。両方が0になるのは t = 3 で、範囲内です。位置は (9 − 18, 18 − 36 + 4) = (-9, -14) m です。答えは 3 s、(-9, -14) m です。元の速度の両成分に3を代入するとともに0になります。

3. 速度は (2t − 2, 2t − 4) です。横成分が0になるのは t = 1、縦成分が0になるのは t = 2 です。両方が同時に0となる時刻はなく、停止しません。実際に t = 1 では速度が (0, -2)、t = 2 では (2, 0) m/s であり、各候補でも動いています。

4. 速度は (2, 2t − 6) です。縦成分を0とすると t = 3 で、横成分は2なので停止ではありません。したがって 3 s に水平方向へ進み、速度は (2, 0) m/s です。位置は元の式から (7, -9) m であり、その時刻は範囲内です。

5. 速度は (2t − 4, 6t − 12) です。速さは √10 |2t − 4| なので、条件から |2t − 4| = 4、t = 0 または 4 です。両方とも区間の端に含まれます。位置の式に戻すと、どちらも (0, 0) m です。速度は順に (-4, -12)、(4, 12) m/s で、それぞれの速さは √160 = 4√10 m/s です。

手元に残す要点

位置の各成分を時刻で微分すると速度、もう一度微分すると加速度です。
速さは速度成分の2乗の和の平方根です。
停止は両速度成分が同じ時刻に0となる条件です。
向きを答えるときは速度が0でないことも確かめます。
求めた時刻を範囲と元の位置・速度に戻します。

つまずきの診断

答えが合わないときは、まず位置に代入した値を速度として使っていないか、微分前後の式に単位を書いて確かめます。停止の候補が出ない場合は、2成分の零点を別々に書き、共通する時刻があるかを見ます。個別に確認するなら、片方の成分が0になる時刻を示し、もう片方の値と速さをその場で問い直すと、条件を同時に使えているかが見えます。平面上の運動は、2方向を同じ時刻で読み合わせることで捉えられます。