高校数学III 直線運動の速度と加速度—位置の微分と符号から進む向きを読み直す｜武蔵野個別指導塾

負の加速度で速さが増す例や停止しても折り返さない例を解き、速度の符号で区切った各区間の位置から移動距離を求めます。

よくあるのは、理系高3の演習で加速度が負と出た瞬間に「減速」と書いてしまう場面です。負の向きに進む物体では、加速度が負なら、速度はさらに負になり、速さが増すことがあります。直線上の正の向きを決め、速度と加速度をそれぞれ符号つきで見ると、この食い違いを解けます。ここでは位置から速度と加速度を求め、停止、折り返し、移動距離まで扱います。積分や運動方程式は使いません。

問いの入口を分ける

直線運動の問題には、大きく3つの入口があります。1つ目は位置の式から、指定した時刻の速度、加速度、速さを求める問題です。速度は向きを含む量ですが、速さはその絶対値です。単位と正負まで答えると、数値が何を表すか明確になります。

2つ目は停止と進行方向の変化を調べる問題です。速度が0の時刻は停止の候補です。しかし、その前後で速度の符号が変わらなければ、停止しても同じ向きに進みます。調べる区間に入る候補を選び、各区間の符号を比べます。

3つ目は一定時間の変位や移動距離を求める問題です。変位は終点の位置から始点の位置を引いた符号つきの差です。移動距離は実際に進んだ長さなので、向きを変える時刻で区切り、各区間の位置の差の絶対値を足します。最初と最後の位置が同じでも、途中で往復していれば距離は0ではありません。

位置、速度、加速度の役割

直線に原点と正の向きを定め、時刻 t 秒の位置を x(t) m とします。位置がその時刻で微分可能なら、速度は v(t) = x′(t) m/s です。さらに速度が微分可能なら、加速度は a(t) = v′(t) m/s² です。以下の式は必要な区間で微分可能です。端点の速度を扱う際は、その周囲にも同じ式が定義されるものとします。

v > 0 なら正の向き、v < 0 なら負の向きに進み、v = 0 ならその瞬間に停止します。速さは |v| m/s であり、負になりません。a の符号は速度の変化の向きを表します。v と a がともに正なら速度が増え、速さも増えます。ともに負なら速度はより負になり、やはり速さは増えます。符号が反対なら、その時点の近くでは速さが減ります。

図1のように、速度と加速度の符号を同時に見ると、向きと速さの変化を別々に判断できます。v が0でない区間では、v > 0 のとき |v| = v、v < 0 のとき |v| = -v です。それぞれの導関数は a と -a ですから、上の判定が導かれます。v = 0 ではこの判定をそのまま使わず、前後の速さを調べます。

図1の4通りは、どちらも0でない場合の判定です。加速度が0なら、その瞬間の値だけで前後の速さの増減を断定できません。また、位置の正負は原点のどちら側にいるかを表し、進む向きは速度の符号が表します。学習指導要領でも、導関数に関連して点の運動の速度と加速度を扱います。

基本例題：負の加速度と負の速度

点が直線上を動き、時刻 t 秒の位置が x(t) = 4 − t² m で与えられます。0 ≦ t ≦ 3 とし、正の向きは位置が増える向きです。t = 2 における位置、速度、加速度、速さを整数と単位で求め、その前後で速さが増えるか答えてください。

位置は多項式で、区間の周囲で2回微分可能です。位置とその2段階の導関数を順に書きます。

x(t) = 4 - t²
v(t) = -2t
a(t) = -2
x(2) = 4 - 2² = 0
v(2) = -2・2 = -4
a(2) = -2
|v(2)| = |-4| = 4

したがって、位置は 0 m、速度は -4 m/s、加速度は -2 m/s²、速さは 4 m/s です。t > 0 では速度と加速度がともに負なので、速さは増えます。実際、t > 0 で |v(t)| = 2t ですから、時刻とともに増加します。

図2のように、t = 1、2、3 での位置はそれぞれ 3、0、-5 m です。同じ1秒でも進む長さは前半が3 m、後半が5 mであり、負の向きに進みながら速くなっています。位置の差を元の式に戻して得られるので、速度の符号と図の向きも照合できます。

図2の間隔は位置の差に対応します。t = 0 の速度は0ですが、その直後は負です。観察区間の外側を含めて折り返しを問うのでなければ、端点の前後を勝手に補って判定しないようにします。

標準例題：停止を境に距離を足す

時刻 t 秒の位置が x(t) = t³ − 6t² + 9t m である点を、0 ≦ t ≦ 4 で観察します。停止時刻と各区間の進行方向、0秒から4秒までの変位と移動距離を、整数と単位で求めてください。

この位置は多項式なので、区間の周囲で微分可能です。まず速度を因数分解します。

v(t) = 3t² - 12t + 9
v(t) = 3(t - 1)(t - 3)
v(t) = 0 より t = 1, 3

両方とも観察区間の内部にあります。0 ≦ t < 1 では2因子がともに負なので v > 0、1 < t < 3 では符号が異なるので v < 0、3 < t ≦ 4 ではともに正なので v > 0 です。各停止時刻の左右で符号が変わるため、どちらでも折り返します。

位置を区切りの時刻に戻します。

x(0) = 0
x(1) = 1 - 6 + 9 = 4
x(3) = 27 - 54 + 27 = 0
x(4) = 64 - 96 + 36 = 4
変位 = x(4) - x(0) = 4 - 0 = 4
移動距離 = |4 - 0| + |0 - 4| + |4 - 0|
移動距離 = 4 + 4 + 4 = 12

答えは、停止が 1秒と3秒、進行方向が順に正、負、正、変位が 4 m、移動距離が 12 m です。元の位置をたどると、0 mから4 m、0 m、4 mへ動きます。終点と始点の差は4 mでも、往復した2区間の長さは消えません。停止時刻の位置を省いて端点の差だけを距離とすると、この往復を失います。

発展例題：停止しても折り返さない

時刻 t 秒の位置が x(t) = (t − 2)³ + 5 m である点を、0 ≦ t ≦ 4 で観察します。停止時刻、その前後の進行方向、0秒から4秒までの移動距離を整数と単位で求めてください。停止の前後で速さがどう変わるかも答えてください。

位置は多項式で区間の周囲で2回微分可能です。速度と加速度を順に求めます。

v(t) = 3(t - 2)²
a(t) = 6(t - 2)
v(t) = 0 より t = 2

平方は負にならず、t = 2 以外では正です。したがって停止するのは2秒で、その前後はいずれも正の向きです。速度の符号が変わらないので折り返しません。停止という事実と折り返しという事実は別々に判定します。

0 ≦ t < 2 では v > 0、a < 0 なので速さは減ります。2 < t ≦ 4 では v > 0、a > 0 なので速さは増えます。停止時には速さが0であり、前後の区間を別々に見て結論をつなぎます。

x(0) = (-2)³ + 5 = -3
x(2) = 0³ + 5 = 5
x(4) = 2³ + 5 = 13
移動距離 = |5 - (-3)| + |13 - 5|
移動距離 = 8 + 8 = 16

答えは2秒に停止、前後とも正の向き、移動距離は16 mです。位置は -3 m、5 m、13 mと増えており、各部分の8 mを足すと16 mです。途中で一瞬止まっても戻っていないので、今回は端点の位置の差とも一致します。

誤答をほどく：負の加速度なら減速？

基本例題の t = 2 について、「a = -2 だから減速する」とする答えを考えます。加速度が負であることからわかるのは、速度がその近くで減少することです。速度が正なら0に近づきますが、速度が負なら0から遠ざかります。速さは速度の絶対値なので、後者では増えます。

図3では、速度が -2 m/s から -4 m/s へ変化しています。どちらも負の向きで、絶対値は2から4へ増えます。加速度の符号だけを見た答えを直すには、まずその区間の v の符号を確認し、次に |v| の変化を調べます。

別の誤りは、v = 0 の解を見つけた時点で折り返しと決めることです。発展例題では v = 3(t − 2)² で、2の左右とも正でした。符号表の区間を実際に埋めてから、停止と折り返しを別々に書けば修正できます。

手を動かす5問

次の位置はいずれも単位が m、時刻 t の単位が秒で、示した区間の周囲でも同じ式で定義されます。正の向きは位置が増える向きです。数値は整数または分数で、量には単位を付けて答えてください。

1. x(t) = 7 − 3t²、0 ≦ t ≦ 2。t = 1 の速度、加速度、速さと、その前後の速さの増減を求めてください。
2. x(t) = t² − 4t + 1、0 ≦ t ≦ 5。停止時刻、各区間の向き、移動距離を求めてください。
3. x(t) = (t − 1)³ − 2、0 ≦ t ≦ 3。停止時刻、折り返しの有無、移動距離を求めてください。
4. x(t) = -t³ + 3t² + 9t、0 ≦ t ≦ 4。停止時刻、各区間の向き、変位と移動距離を求めてください。
5. x(t) = t³ − 3t² + 4、0 ≦ t ≦ 3。加速度が0となる時刻、そのときの速度と速さ、直前と直後の速さの増減を求めてください。

答えとたどり方

1. 多項式を微分すると v = -6t、a = -6 です。t = 1 では速度 -6 m/s、加速度 -6 m/s²、速さ 6 m/s です。この時刻の近くでは v と a が負で、|v| = 6t は増えます。位置も x(0) = 7、x(1) = 4、x(2) = -5 なので、連続する1秒間の移動は3 m、9 mと増え、負の向きの加速と整合します。

2. v = 2t − 4 = 2(t − 2) です。停止は2秒、2秒より前は負、後は正の向きです。x(0) = 1、x(2) = -3、x(5) = 6 ですから、距離は |-3 − 1| + |6 − (-3)| = 4 + 9 = 13 m です。1 mから -3 mまで4 m戻り、そこから6 mまで9 m進むので、元の位置で確かめても13 mです。

3. v = 3(t − 1)² です。1秒で停止しますが、前後では正なので折り返しません。x(0) = -3、x(1) = -2、x(3) = 6 です。距離は |-2 − (-3)| + |6 − (-2)| = 1 + 8 = 9 m です。始点から終点への位置の差も9 mで、同じ向きに進んだことと合います。

4. v = -3t² + 6t + 9 = -3(t − 3)(t + 1) です。区間内の停止は3秒で、0 ≦ t < 3 では正、3 < t ≦ 4 では負です。x(0) = 0、x(3) = 27、x(4) = 20 なので、変位は20 m、距離は27 + 7 = 34 mです。0 mから27 mへ進み20 mへ戻る経路に答えを戻すと、変位と距離を区別できます。

5. v = 3t² − 6t = 3t(t − 2)、a = 6t − 6 です。加速度が0となるのは1秒で、そのとき速度は -3 m/s、速さは3 m/sです。0 < t < 1 では v < 0、a < 0 なので速さは増え、1 < t < 2 では v < 0、a > 0 なので減ります。例えば位置を式に戻すと x(0) = 4、x(1) = 2、x(2) = 0 です。さらに v(1/2) = -9/4、v(1) = -3、v(3/2) = -9/4 m/s であり、速さの増減を両側から照合できます。

移動距離の計算では、停止時刻が観察区間の外にあれば区切りとして採用しません。また、停止時刻が区間の端にあるときは、その端の位置として扱います。速度が0にならない区間では符号が一定であることを式から確かめ、両端の位置の差の絶対値をその区間の距離にします。候補を求めるだけでなく、時刻の範囲と符号の両方を確認する手順です。

加速度の値が負でも、負の向きに進む場合と正の向きに進む場合では、速さの変化が異なります。計算結果の符号に単位を添え、その符号がどの量に属するかを確認すると、位置、速度、加速度を混同せずに済みます。

覚えておくこと

位置を微分すると速度、速度を微分すると加速度です。 速さは速度の絶対値で、増減には速度と加速度の符号を使います。 停止後に折り返すかは、速度の左右の符号で判定します。 移動距離は向きが変わる時刻で区切り、位置の差の絶対値を足します。

どこでつまずいたか

答えが負の速さになったら、速度と速さの定義を取り違えていないかを見ます。停止時刻は合っているのに距離が合わない場合は、位置を代入した時刻と、各区間の絶対値を順に確かめます。個別指導で確認するなら、符号表の1区間を選び、因子の符号から進行方向まで声に出してつなげてもらいます。加速度だけで判断した場合は、負の速度がさらに負になる数を置き、絶対値の変化に戻ります。向きと速さを分けると、直線上の動きが式から見えてきます。