高校数学III 近似値の誤差評価—凹凸と平均値の定理から過大過小と幅を調べる｜武蔵野個別指導塾

根号の接線近似が過大か過小かを凹凸から判断し、平均値の定理による誤差の幅と四捨五入の境界を照らして答えを決めます。

理系高3の演習で、近似の計算値を誤差のない正確な値として扱ってしまう場面がよくあります。接線の式に数を代入すると小数が出るため、そこで計算を終えたくなります。しかし接線上の値と曲線上の値は、接点を離れれば一般に一致しません。値の大小と差の幅を別々に調べると、どの程度までその数を信じてよいか判断できます。

導関数を使う接線やグラフの凹凸は、数学IIIの学習範囲に含まれます。ここではその道具を近似の誤差に使い、正確な値が求まらない場合にも成り立つ評価を考えます。

どのような形で問われるか

第1の型は、接線の値が真の値より大きいか小さいかを判定する問題です。接線を引いた点で一致することだけでは、離れた点での上下関係は決まりません。関数の凹凸を確認し、接線が曲線の上側にあるか下側にあるかを調べます。等号が成立する点も忘れずに扱います。

第2の型は、近似値と真の値の差を一定の幅に収める問題です。平均値の定理で関数値の差を導関数と変化量の積に直し、その区間で導関数を挟みます。上下関係がわかっていても、差が十分小さいという保証にはなりません。逆に誤差の絶対値が小さいだけでは、近似値が過大か過小かは決まりません。

第3の型は、指定された桁までの答えを判定できるかを問う問題です。得られた区間が丸めの境界をまたぐとき、接線の値をそのまま丸めても根拠は足りません。評価を細かくするか、別の正確な比較を加えて境界のどちら側か確かめます。

接線と真の値を区別する

関数 f が a で微分可能なとき、x = a における接線の式を L(x) = f(a) + f′(a)(x − a) とします。x が a に近いとき、f(x) を L(x) で見積もるのが接線近似です。近似値は L(x)、真の値は f(x) です。ここでは符号つきの誤差を E(x) = f(x) − L(x) と決めます。E(x) が正なら近似値は過小、負なら過大です。絶対誤差は |E(x)| なので、符号つきの差と混同しないようにします。

図1のように、接点では曲線と接線の値が一致します。下に凸の曲線では接線は曲線の下側にあり、上に凸の曲線では接線は上側にあります。ただし、調べる点までを含む区間で凹凸が保たれることが必要です。接点付近の図だけから、遠くまで同じ大小関係が続くとは結論できません。

図1では、同じ横座標における縦の差が E です。x の差ではなく、関数値の差を測っていることに注意してください。上に凸の場合は位置関係が逆になるため、符号も逆になります。

平均値の定理は、f が閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) で微分可能なら、その間のある c について f(b) − f(a) = f′(c)(b − a) が成り立つという定理です。a < b として導関数が m ≤ f′(x) ≤ M を満たせば、正の幅 b − a を掛けて次を得ます。

m(b - a) ≤ f(b) - f(a) ≤ M(b - a)

基準点が右側にある場合も、区間の端を小さい順に並べれば安全です。負の変化量を直接掛けるなら、不等号が反転します。微分可能性が区間途中で失われる場合や、導関数の範囲がその区間全体で確かめられない場合は、この評価をそのまま使えません。

接線の傾きを引いて g(x) = f(x) − L(x) と置く方法もあります。g(a) = 0、g′(x) = f′(x) − f′(a) です。g に平均値の定理を使い、g′ の幅を調べれば、誤差そのものを直接挟めます。区間が短くても幅が自動的に十分小さくなるとは限らないため、求めた数値と目的の精度を最後に比較します。

基本例題：根号の過大評価

正の数 √4.4 を f(x) = √x の x = 4 における接線で近似します。近似値を小数で求め、真の値との大小を判定し、絶対誤差が 0.01 未満であることを示してください。

f は [4, 4.4] で連続、(4, 4.4) で微分可能です。接点での値と傾きから、接線を順に作ります。

f(4) = 2
f′(x) = 1/(2√x)
f′(4) = 1/4
L(x) = 2 + (x - 4)/4
L(4.4) = 2 + 0.4/4
L(4.4) = 2.1

f″(x) = -1/(4x√x) < 0 が区間内で成り立ちます。したがって曲線は上に凸で、接線は曲線の上にあります。4.4 は接点と異なるので、√4.4 < 2.1 です。図2の縦の差は 2.1 − √4.4 であり、近似値 2.1 は過大です。

差を正確に変形して幅も確かめます。正の数同士なので有理化でき、√4.4 > 2 を使えます。

2.1 - √4.4 = (2.1² - 4.4)/(2.1 + √4.4)
             = 0.01/(2.1 + √4.4)
             < 0.01/4.1
             < 0.01

差が正であることと合わせ、0 < 2.1 − √4.4 < 0.01 です。例えば差が 0.01 未満という情報から、差が 0 であるとはいえません。実際、2.1² = 4.41 であり、元の 4.4 に戻らないことでも一致しないと確認できます。図2は接点と対象の位置関係を示し、差の小ささは式による評価で保証しています。

標準例題：導関数の範囲で誤差を挟む

f(x) = 1/x を x = 2 の接線で近似します。x = 5/2 での近似値を分数で求め、接線近似の誤差 E = f(5/2) − L(5/2) を、平均値の定理を使って 0 以上 1/8 以下と評価してください。あわせて正確な誤差も分数で求めます。

f は [2, 5/2] で連続、内部で微分可能です。0 を含まないので、途中で分母が消える心配もありません。

f(2) = 1/2
f′(x) = -1/x²
f′(2) = -1/4
L(x) = 1/2 - (x - 2)/4
L(5/2) = 1/2 - 1/8
L(5/2) = 3/8

g(x) = f(x) − L(x) と置くと、g(2) = 0 です。g は同じ区間で連続かつ内部で微分可能であり、導関数は次の通りです。

g′(x) = 1/4 - 1/x²

2 ≤ x ≤ 5/2 では 0 ≤ g′(x) ≤ 1/4 です。平均値の定理により、ある c が 2 < c < 5/2 に存在して、次が成り立ちます。

E = g(5/2) - g(2)
  = g′(c)(1/2)
0 ≤ E ≤ (1/4)(1/2)
0 ≤ E ≤ 1/8

評価の両端は必ず実際の誤差になるという意味ではありません。正確に計算すると、次のように区間内に入ります。

f(5/2) = 2/5
E = 2/5 - 3/8
  = 1/40

元の関数に戻すと (5/2)(2/5) = 1 です。また 3/8 + 1/40 = 2/5 であり、近似値に符号つき誤差を加えると真の値になります。f″(x) = 2/x³ > 0 からも下に凸で、接線が過小と確認できます。評価は粗いものの、正確な値が計算しにくい関数にも同じ考え方を使えます。

発展例題：負の変化量と丸めの境界

f(x) = √x を x = 9 で接線近似します。√8.7 の近似値を小数で求め、平均値の定理から真の値が 2.949 と 2.95 の間にあることを示してください。さらに真の値を小数第2位まで四捨五入した値を答えてください。

[8.7, 9] は正の範囲なので、f とその接線との差は閉区間で連続、開区間で微分可能です。まず接線を求めます。

f(9) = 3
f′(9) = 1/6
L(x) = 3 + (x - 9)/6
L(8.7) = 3 - 0.3/6
L(8.7) = 2.95

f″(x) < 0 なので接線は曲線より上です。よって √8.7 < 2.95 です。一方、g(x) = f(x) − L(x) と置くと g(9) = 0 であり、区間内では次が成り立ちます。

g′(x) = 1/(2√x) - 1/6
0 ≤ g′(x)

導関数の上限は √8.7 > 2.94 から導けます。実際に 2.94² = 8.6436 < 8.7 で、両辺が正です。すると 1/(2√x) ≤ 1/(2√8.7) < 1/5.88 であり、1/5.88 − 1/6 = 1/294 です。1/294 は 1/300 より大きいため、まだ目標の幅は得られません。そこで、さらに √8.7 > 2.95 − 0.01 = 2.94 という粗い評価からは 1/294 を使います。

0 ≤ g′(x) < 1/294
g(8.7) - g(9) = g′(c)(-0.3)
-0.3/294 < g(8.7) ≤ 0

ここで 8.7 < c < 9 です。-0.3/294 = -1/980 なので、これだけでは誤差が 0.001 未満とはいえません。より強く √8.7 > 2.949 を示すには 2.949² = 8.696601 < 8.7 を使います。これを導関数に戻すと、g′(x) < 1/5.898 − 1/6 = 17/5898 < 1/300 です。したがって次の評価を得ます。

-0.001 < g(8.7) ≤ 0
2.949 < √8.7 ≤ 2.95

接線との大小は厳密なので右端も等号を除けます。さらに 2.949 > 2.945 ですから、区間全体が小数第2位への四捨五入で 2.95 になる範囲にあります。答えは 2.95 です。近似値と丸めた答えの数字は同じですが、両者が同じ意味であるわけではありません。

誤答から差の向きを直す

「√4.4 の接線近似が 2.1 だから、√4.4 = 2.1」と書くのは誤りです。接線と曲線が一致するのは接点であり、対象点での一致は別に調べなければなりません。2.1 を二乗すると 4.41 なので、元の 4.4 と異なります。

図3のように近似値を元の条件へ戻すと、等号の誤用を見つけられます。正しくは √4.4 ≒ 2.1 と書き、必要に応じて √4.4 < 2.1 と誤差の幅を添えます。近似記号は差が小さいという文脈を表しますが、それ単独では何桁正しいかを保証しません。

もう一つの誤りは、負の変化量を掛けても不等号を変えないことです。例えば 0 ≤ g′(c) < 1/300 に -0.3 を掛ければ、-0.001 < -0.3g′(c) ≤ 0 です。左右の向きが逆になります。図の上下だけを頼りにせず、真の値から近似値を引いた差の定義に戻って符号を点検してください。

練習問題

以下の近似値と誤差は指定の形で求めてください。各問題で、使う区間における連続性と微分可能性を確認します。

1. f(x) = √x の x = 16 の接線を使い、√16.8 の近似値を小数で求め、過大か過小か判定してください。
2. f(x) = 1/x の x = 4 の接線を使い、1/5 の近似値と符号つき誤差を分数で求めてください。
3. f(x) = x² の x = 3 の接線を使い、2.8² の近似値と絶対誤差を小数で求めてください。
4. f(x) = 1/x の x = 1 の接線を使い、x = 6/5 における誤差が 0 以上 1/5 以下と平均値の定理で示してください。
5. f(x) = √x の x = 25 の接線を使い、√24.5 の近似値を小数で求め、真の値を小数第1位まで四捨五入してください。

練習問題の答えと考え方

1. 正の区間 [16, 16.8] で f は連続、内部で微分可能です。f(16) = 4、f′(16) = 1/8 なので接線は L(x) = 4 + (x − 16)/8 です。L(16.8) = 4.1 となります。f″(x) < 0 なので接線は曲線より上にあり、4.1 は過大です。実際に 4.1² = 16.81 > 16.8 と、元の数に戻しても確認できます。

2. [4, 5] は分母が正であり、f は連続、内部で微分可能です。f(4) = 1/4、f′(4) = -1/16 より L(x) = 1/4 − (x − 4)/16 です。L(5) = 3/16、真の値は 1/5 ですから E = 1/5 − 3/16 = 1/80 です。3/16 + 1/80 = 1/5、さらに 5・(1/5) = 1 と元の式に戻せます。符号が正なので近似値は過小です。

3. 多項式は [2.8, 3] で連続、内部で微分可能です。接線は L(x) = 9 + 6(x − 3) なので L(2.8) = 7.8 です。真の値は 2.8² = 7.84 ですから絶対誤差は 0.04 です。7.8 + 0.04 = 7.84 と戻ります。f″(x) = 2 > 0 による下に凸という判定とも一致します。

4. [1, 6/5] は分母が正で、関数と接線との差 g は連続、内部で微分可能です。L(x) = 1 − (x − 1)、g′(x) = 1 − 1/x² です。この区間で 0 ≤ g′(x) ≤ 1 なので、平均値の定理から 0 ≤ g(6/5) − g(1) ≤ 1・(1/5) です。g(1) = 0 より指定の評価が得られます。真の誤差は 5/6 − 4/5 = 1/30 で、この幅の中にあります。6/5 と 5/6 の積は 1 です。

5. [24.5, 25] は正の区間で、f は連続、内部で微分可能です。f(25) = 5、f′(25) = 1/10 より、L(24.5) = 5 − 0.5/10 = 4.95 です。4.9² = 24.01 < 24.5 < 24.5025 = 4.95² なので、正の平方根は 4.9 と 4.95 の間です。小数第1位への丸めの境界は 4.95 ですから答えは 4.9 です。近似値 4.95 を先に丸めると 5.0 となり、真の値の丸めと食い違う点に注意します。

要点

接線の値と真の値を分け、誤差の引き算の順を決めます。 凹凸による上下関係は対象までの区間で確かめます。 平均値の定理では連続性、微分可能性と導関数の範囲を確認します。 負の区間幅を掛けると不等号が反転します。 丸めの境界を評価区間がまたぐときは、さらに絞ります。

つまずきの見分け方

近似値を書けても誤差の符号が決まらないときは、答案の E = 真の値 − 近似値という行を指して、正の場合にどちらが大きいかを問い直します。個別指導では、接線の式の接点と傾きを先に確認し、次に対象点までの区間を答案に書いてもらいます。幅を評価できないときは導関数の上下限が区間全体で成り立つか、負の数を掛けた行で不等号を反転したかを調べます。数値を丸める直前には、誤差の幅と丸めの境界を並べて比較します。根拠のある範囲が、近似値の使い道を決めます。